Локалізація нелінійних хвиль у дефектних, шаруватих і модульованих системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР ім. Б.І. ВЄРКІНА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.04.02 - теоретична фізика

ЛОКАЛІЗАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ ХВИЛЬ У ДЕФЕКТНИХ, ШАРУВАТИХ І МОДУЛЬОВАНИХ СИСТЕМАХ

ГЕРАСИМЧУК Ігор Вікторович

Харків - 2001

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Останнім часом великий інтерес з точки зору теорії і технологічних застосувань викликають дослідження нелінійних хвиль в шаруватих структурах різного типу. Найбільш перспективними в цьому відношенні є магнітні багатошарові системи для створення елементів запису/прочитування інформації, які засновані на магнітооптичних властивостях і явищі гігантського магнітоопіру, періодичні акустичні системи для ліній затримки, а також шаруваті оптичні системи, що використовуються у волоконній оптиці і теж для створення оптичних ліній затримки. Необхідно відзначити високотемпературні надпровідні сполуки (ВТНП-сполуки) і їхні ізоструктурні аналоги, що містять шари з різними провідними і пружними властивостями, і квазідвовимірні магнетики. Часто перераховані шаруваті системи виявляють яскраво виражені нелінійні властивості [1,2]. Одночасний вплив шаруватості середовища, що істотно впливає на дисперсію лінійних хвиль і їхній спектр, і нелінійності середовища призводить до виникнення цілого ряду суттєво нових фізичних явищ, таких як залежність прозорості середовища від потужності хвилі, просторова локалізація нелінійних хвиль в періодичних структурах і виникнення щілинних солітонів.

Таким чином, актуальною є проблема теоретичного дослідження характеру локалізації нелінійних стаціонарних хвиль, що розповсюджуються в ангармонійному середовищі вздовж площинно-паралельних шарів (площинних дефектів) або в модульованих середовищах, тобто у шаруватих речовинах, в яких матеріальні параметри періодично модульовані. Важливим є такий ефект: завдяки, з одного боку, лінійній локалізації хвиль на дефектних шарах і, з іншого боку, нелінійній самолокалізації хвиль внаслідок ангармонійності середовища, виникає можливість так званої “суперлокалізації” хвильового потоку в області з великою кількістю ідентичних площинно-паралельних шарів. Це явище спостерігалося експериментально [1,2], а в рамках дискретних моделей для амплітуд хвиль в окремих хвилеводах, що описуються феноменологічними різницевими рівняннями з довільними параметрами, обговорювалося, наприклад, в роботі [3]. І тільки у найпростішому випадку врахування ангармонізмів лише в тонких дефектних шарах між широкими областями лінійного середовища, за умови суттєвих спрощень, проводилося послідовне виведення цих дискретних рівнянь [4]. Тому виникає необхідність послідовного теоретичного дослідження явища просторової локалізації у випадку, коли усе шарувате середовище є істотно нелінійним. Оскільки знаходження ефективних характеристик окремих дефектних шарів і їхньої ефективної взаємодії становить досить складну мікроскопічну задачу, потрібна розробка спеціального методу дослідження таких систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі теоретичної ядерної фізики фізико-технічного факультету Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, а також у відділі “Квантова теорія і нелінійна динаміка макроскопічних систем” Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України в межах тематичного плану досліджень за темою НДР “Теоретичні дослідження нелінійної динаміки класичних та квантових конденсованих середовищ”, № держ. реєстр. 0196U002945.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає в тому, щоб теоретично описати локалізацію нелінійних хвиль, що розповсюджуються в ангармонійному середовищі вздовж площинного шару, системи площинно-паралельних шарів або у модульованій системі. Для досягнення цієї мети треба розв'язати такі задачі:

Виведення спрощених, спільних для різних фізичних застосувань рівнянь, що описують динаміку нелінійних хвиль в шаруватих пружних, магнітних і оптичних системах.

Дослідження динаміки і стійкості солітонних розв'язків в нелінійному середовищі з різним характером нелінійності за наявності одного дефектного шару (однієї домішки), що притягає лінійні хвилі (шар із властивістю світловода) або відштовхує їх (шар, що описує інтерфейс на межі розділу середовищ).

Визначення характеру локалізаії нелінійних хвиль в системі, що містить два площинних дефектних шари, і знаходження ефективної взаємодії локалізованих на площинних дефектах хвиль через нелінійне середовище.

Знаходження ефективних дискретних рівнянь, що описують динаміку обвідниці нелінійних хвиль в дефектних і шаруватих середовищах.

Дослідження локалізації нелінійних хвиль і утворення “суперсолітонів” (зокрема, щілинних солітонів) в системі з періодичною структурою площинно-паралельних дефектних шарів.

Знаходження точних аналітичих розв'язків для нелінійних хвиль в однорідній системі з періодично модульованим у просторі основним станом (“самомодульованій” системі).

Наукова новизна одержаних результатів.

На основі квазікласичного підходу досліджено солітонні стани, які локалізовані поблизу площинного дефектного шару, за різних знаків нелінійності середовища і різних характерів взаємодії елементарних збуджень з тонким дефектним шаром (точковим дефектом); досліджено стійкість цих солітонів і можливість їхніх коливань відносно домішки.

У межах моделі, яка описує нелінійну динаміку шаруватих середовищ (магнітовпорядкованих, пружних і оптичних), аналітично досліджено локалізацію нелінійних хвиль, що розповсюджуються в ангармонійному середовищі вздовж системи двох ідентичних площинних хвилеводів (дефектів), а також вздовж двох нелінійних хвилеводів в лінійному середовищі.

З мікроскопічного розгляду задачі аналітично знайдено ефективні дискретні рівняння, які описують нелінійну динаміку хвиль, що розповсюджуються вздовж системи площинно-паралельних дефектних шарів у шаруватих структурах, і теоретично описано явище просторової “суперлокалізації” хвильового потоку в таких періодичних системах перпендикулярно до напрямку його розповсюдження.

Здобуто точні рівняння динаміки для системи паралельних дефектних шарів (або хвилеводів), які мають суттєво нелінійні характеристики, і аналітично описано явище “суперлокалізації” хвильового потоку на великій кількості сусідніх хвилеводів.

У межах моделі, що точно інтегрується, досліджено динаміку солітону в самомодульованій системі, основний стан якої являє собою періодичну послідовність статичних солітонів, що відіграють роль дефектів в системі.

Усі викладені вище результати здобуті вперше і є новими. Усі вони добре узгоджуються з відомими з літератури експериментальними даними.

Практичне значення одержаних результатів. Результати теоретичних досліджень, викладені в дисертації, можуть бути використані для опису результатів низки експериментів і в технологічних застосуваннях. Здобуті результати можуть знайти застосування в фізиці ангармонійних кристалів, теорії магнітовпорядкованих середовищ, в нелінійній оптиці. Насамперед мова йде про шаруваті структури різного типу. Це - магнітні багатошарові системи, які є базовими для створення елементів зберігання та прочитування інформації, пружні середовища зі складною мікроструктурою і шаруваті оптичні середовища. У останньому випадку досліджується проходження нелінійних оптичних сигналів в періодичних модульованих системах (наприклад, в гофрованих волоконно-оптичних світловодах), у хвилеводах з різною конфігурацією (зокрема, в коаксіальних світловодах з різними оптичними властивостями шарів та площинних світловодах із змінною товщиною) або через оптичні перемикачі (системи двох паралельних хвилеводів). Нарешті, велике значення має застосування здобутих результатів для дослідження динаміки пружних хвиль у ВТНП-сполуках, а також квазідвовимірних магнетиків з магнітними шарами, які інтеркаліровані органікою.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові публікації дисертанта, що містять результати цієї роботи, опубліковано ним у співавторстві. Дисертант брав безпосередню участь на всіх етапах виконання досліджень: при розробці моделей, підходів і засобів розв'язання задач, при проведенні аналітичних і чисельних розрахунків, в написанні наукових статей і підготовці доповідей на конференції та семінари. У роботах [1,7,8], присвячених вивченню солітонних станів, які локалізовані на точковому дефекті, визначальну частину теоретичних розрахунків дисертантом було проведено особисто.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались і обговорювались на міжнародних конференціях:

XXII студенческая научно-техническая конференция ДГАСА (Донецк, Ук-раина, 1996);

Symposium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics (Warsaw, Poland, 1996);

3-я Международная конференция “Физические явления в твердых телах” (к 80-летию академика И. М. Лифшица) (Харьков, Украина, 1997);

VII Конференция стран СНГ “Радиационная повреждаемость и работоспо-собность конструкционных материалов” (Белгород, Россия, 1997);

Workshop on Surface and Interface Optics (Sainte-Maxime, France, 1999);

VIII Межгосударственная конференция “Радиационная повреждаемость и работоспособность конструкционных материалов” (Белгород-Прохоровка-Курчатов, Россия, 1999);

а також на наукових семінарах у відділі “Квантова теорія і нелінійна динаміка макроскопічних систем” Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України і на Науковій Раді з проблеми “Теоретична фізика конденсованого стану” цього інституту.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 9 друкованих роботах, зокрема в 6 статтях у наукових фізичних журналах і в 3 тезах доповідей міжнародних конференцій, перелік яких наведено в заключній частині автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота містить вступ, шість розділів, висновки і список використаних джерел з 89 найменувань. Обсяг дисертації становить 150 сторінок. Робота містить 17 рисунків.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено наукову новизну та практичне значення знайдених результатів, особистий внесок здобувача.

У першому розділі наведено літературний огляд теоретичних та експериментальних результатів, які було здобуто іншими авторами і які необхідні для подальшого викладення матеріалу дисертації.

У другому розділі “Формулювання моделей і виведення основних рівнянь” розглянуто приклади різних нелінійних середовищ, що містять вузькі шари, які відрізняються за своїми властивостями і розділені набагато ширшими областями. Детально описані шаруватий легковісний феромагнетик з різними значеннями константи одноіонної анізотропії, ангармонійний пружний кристал, що містить шари (площинні дефекти) з більшою густиною речовини, ангармонійне оптичне середовище з шарами, які мають більше значення лінійного показника заломлення, ніж у речовині, - оптичними світловодами, і, нарешті, періодична модульована система на прикладі оптичного хвилеводу змінного перерізу. У всіх перерахованих випадках обвідниця нелінійної хвилі, яка повільно змінюється у просторі і часі, описується нелінійним рівнянням Шредінгера

, (1)

де - відстань між шарами, , а польова змінна , параметр і масштаби безрозмірних координати та часу залежать від хвильового числа хвилі, що розповсюджується, та характеристик того чи іншого середовища і мають різний вигляд в наведених конкретних моделях.

Розглянуто також шаруваті середовища, в яких нелінійні властивості враховуються лише в дефектних шарах, і для яких в рівнянні (1) доданок замінюється на

.

У цьому ж розділі обговорюються можливі моделі самомодульованих систем, усі параметри яких не залежать від координати, але основний стан є періодично-неоднорідним з послідовністю солітонів, що відіграє роль періодичної дефектної системи.

У третьому розділі “Локалізовані моди в нелінійному середовищі, яке містить точковий дефект” в межах нелінійного рівняння Шредінгера за довільного знаку ангармонізмів середовища досліджено солітонні стани, які локалізовані на точковому дефекті (поблизу площинного інтерфейса), за різних властивостей цього дефекту. Одночасне врахування ангармонізмів і неоднорідностей середовища (наявність точкового дефекту) призводить до можливості суттєвої перебудови солітонних розв'язків.

Для системи з точковим дефектом нелінійне рівняння для польової змінної (що має сенс зміщень у пружному кристалі, напруженості поля в електромагнітній хвилі або намагніченності магнетіка) має вигляд рівняння (1) з однією - функцією, де вісь направлена перпендикулярно до площини дефектного шару, значення відповідає взаємному притяганню елементарних збуджень середовища, а - їхньому взаємному відштовхуванню, - характеристика дефекту. При елементарні збудження відштовхуються від дефекту, а при - ефективно притягуються до нього. В останньому випадку площинний дефект моделює ефективний хвилевод або світловод.

У лінійному випадку при в системі існують локалізовані на домішці коливання з частотою , а при такі локалізовані коливання відсутні.

У підрозділі 3.1 досліджено усі можливі в такій системі стаціонарні локалізовані розв'язки вигляду . Нелінійні локалізовані стани існують при таких співвідношеннях параметрів і : I) , ; II) , і III) , . У першому випадку максимум амплітуди коливання міститься в точці розташування домішки, а в другому - не збігається з місцем знаходження дефекту, і локальне збудження являє собою зв'язаний стан двох солітонів, які симетрично розташовані по обидва боки дефекту. У обох випадках частота солітонного розв'язку змінюється в інтервалі . У третьому випадку збудження локалізовано на дефекті, але його частота належить до інтервалу . Доведено, що на межі інтервалу () розв'язок трансформується в алгебраїчний солітон.

Для кращого розуміння фізичної природи розглянутих нелінійних локалізованих станів у підрозділі 3.2 проведено їхнє квазікласичне квантування і здобуто зв'язок повної енергії системи з числом пов'язаних в них елементарних збуджень (фононів, фотонів, магнонів тощо):

, (2)

де другий та третій доданки характеризують взаємодію елементарних збуджень між собою і з домішкою відповідно. Надано трактування здобутого результату в термінах зв'язаного стану великої кількості елементарних збуджень (квантів поля). Доведено, що у випадку (I) солітонні стани існують при довільних значеннях параметра ; у випадку (II) - при і у випадку (III) - при .

У підрозділі 3.3 проведено детальний аналіз стійкості усіх здобутих розв'язків відносно малих збурень амплітуди і фази. Доведено, що у випадку (II) (, ) існують експоненціально зростаючі збурення, і солітонний розв'язок є нестійким. При цьому в солітоні відбувається перехід квазічастинок з одного напівпростору в другий і формування одного солітону, що “відштовхується” від дефекту. Інкремент зростання нестійкості становить . У першому випадку (, ) розв'язок є стійким в лінійному за збуренням наближенні, і антисиметричні додатки до розв'язку описують малі коливання солітону стосовно домішки з частотою . Нарешті, у третьому випадку (, ) зв'язаний з дефектом стан є стійким, однак внутрішня коливальна мода в цьому нелінійному локалізованому збудженні відсутня. Таким чином, у випадках (II) і (III) результат є протилежним звичайному критерію стійкості для солітонів у середовищі без дефектів.

У четвертому розділі “Нелінійна динаміка хвиль в системі двох площинно-паралельних хвилеводів” проведено дослідження структури і характеру локалізації нелінійних стаціонарних хвиль, що розповсюджуються в ангармонійному середовищі вздовж двох тонких площинно-паралельних дефектних шарів. Вивчено ситуацію, коли відміна властивостей основного об'єму і виділених шарів така, що можлива локалізація хвилі поблизу цих шарів навіть у лінійному випадку - при цьому виділені шари відіграють роль хвилеводів.

У підрозділі 4.1 досліджено випадок, коли середовище в областях поза хвилеводами є суттєво нелінійним, і знаходження ефективної нелінійності окремих хвилеводів та їхньої ефективної взаємодії становить досить складну задачу. Аналіз проведено в межах стандартного для теорії солітонів нелінійного рівняння Шредінгера (1), де враховуються лише дві -функції з відстанню між площинними дефектними шарами і вважається, що характеристика площинного дефекту , тобто вузькі шари мають властивості хвилеводів (“притягують” лінійні хвилі). Розглядувана проблема еквівалентна дослідженню нелінійних збуджень (нелінійних локальних коливань) в одновимірній системі з двома точковими дефектами. Для одного ізольованого дефекту таку задачу детально розв'язано в третьому розділі за довільних знаків і . При наявності декількох дефектів, які взаємодіють через нелінійне поле, розв'язання задачі стає більш громіздким, і виникає необхідність розробки ефективних методів дослідження таких систем. Тому основним кроком у цьому напрямку є дослідження нелінійної динаміки системи з двох паралельних дефектних шарів.

У пункті 4.1.2 проведено дослідження локалізації хвильового потоку в системі двох “притягуючих” площин у дефокусуючому нелінійному середовищі, якому відповідає в рівнянні (1). У цьому випадку задача також може бути зведена до динаміки ефективної системи двох зв'язаних ангармонійних осциляторів (4), але з “жорсткою” нелінійністю, у яких частота зростає із зростанням амплітуди хвилі.

Цю проблему вирішено точно за довільної взаємодії хвиль у хвилеводах, і знайдено точні співвідношення між частотою нелінійної хвилі, що розповсюджується, і амплітудами поля в хвилеводах. Доведено, що, як і у випадку, описаному в пункті 4.1.1, спостерігається біфуркація цієї залежності для симетричної моди і виникнення нового стійкого неоднорідного стану. Важливим результатом є те, що конкретний хід частотних залежностей у випадках лінійних дефектів в нелінійному середовищі і нелінійних дефектів в лінійному середовищі виявився різним. Це означає, що результати численних досліджень періодичної системи нелінійних хвилеводів в лінійному середовищі (див., наприклад, [4]) повинні бути переглянуті у випадку нелінійного середовища поза хвилеводами.

У п'ятому розділі “Просторова локалізація нелінійних хвиль в шаруватих середовищах” проведено дослідження характеру локалізації нелінійних стаціонарних хвиль, що розповсюджуються у середовищі, яке містить періодичну систему тонких площинно-паралельних шарів, що відрізняються за своїми лінійними або нелінійними властивостями від характеристик самого середовища. Аналітично знайдено, що при цьому виникає можливість результуючої локалізації хвильового потоку на декількох сусідніх шарах. Результати, викладені в п'ятому розділі, є узагальненням досліджень, які було проведено в попередніх розділах на випадок рівняння (1) з нескінченною послідовністю -функцій.

У пункті 5.1.1 розглянуто нелінійне шарувате середовище, що описується рівнянням (1) і містить періодичну структуру віддалених одна від одної слабо зв'язаних паралельних площин із властивостями, які відрізняються від властивостей навколишнього середовища і мають характер хвилеводів (). Результати, які викладені в підрозділі 4.1, дозволяють при слабкому динамічному зв'язку між дефектними площинами звести проблему до аналізу ефективної системи, що містить лише амплітуди поля в хвилеводах і співпадає з динамічною системою, яка описує нескінченний ланцюжок зв'язаних ангармонійних осциляторів. Для когерентної стаціонарної хвилі в фокусуючому середовищі виведено таку систему різницевих рівнянь:

, (8)

де .

Подібні рівняння застосовуються для описування результатів експериментів по локалізації оптичних потоків в шаруватих нелінійних середовищах і хвилеводах змінного профілю [1-3], але при цьому не конкретизуються параметри такого ефективного ланцюжка осциляторів. Розвинутий в дисертації мікроскопічний підхід дозволив конкретизувати значення всіх параметрів цього рівняння, які раніше вводилися як феноменологічні, і знайти їхні залежності від параметрів середовища і хвилі, що розповсюджується. Доведено, що умови виведення рівнянь (8) відповідають параметрам реальних фізичних експериментів в [1,2].

Детально досліджено випадок, коли область локалізації нелінійної хвилі в шаруватому середовищі істотно перевершує період цієї структури (рис.2), що має місце за умови , і доведено, що рівняння (8) можна замінити диференціальним нелінійним рівнянням Шредінгера, яке має солітонний розв'язок вигляду

. (9)

Цей розв'язок аналітично описує “суперсолітон”, тобто локалізовану в поперечному напрямку нелінійну хвилю, що розповсюджується вздовж шаруватої структури. Для нього здобуто залежність частоти від потужності хвильового потоку. Знайдений аналітично і зображений на рис.2 суперсолітон відповідає розподілу поля в експерименті.

У пункті 5.1.2 вказано на можливість існування суперсолітонів в системі площинних хвилеводів у дефокусуючому нелінійному середовищі, коли мікроскопічне розглядання проблеми призводить до ефективної системи різницевих рівнянь (8), але для ланцюжка осциляторів з “жорсткою” нелінійністю ( в (8)). У такій системі локалізовані нелінійні стани (суперсолітони) відповідають так званим “щілинним” солітонам (рис.3), частоти яких можуть лежати в першій щілині спектра лінійних хвиль між “домішковою” зоною () і зоною об'ємних коливань.

У шостому розділі “Динаміка солітонів у самомодульованих системах” в межах модельної системи, всі параметри якої просторово-однорідні, проте основний стан є просторово-періодичним, на прикладі несумірної структури ланцюжка адатомів на поверхні кристалу проведене точне аналітичне дослідження щілинних солітонів.

Якщо взаємодія адатомів вздовж ланцюжка враховується в гармонійному наближенні з рівноважною відстанню між атомами , а поле підкладки моделюється періодичним потенціальним рельєфом з періодом , тоді динамічні рівняння для атомних зміщень , де - координата - того атома, в довгохвильовому наближенні у безрозмірних змінних , і зводяться до відомого синусоїдального рівняння Гордона, яке допускає, починаючи з критичного значення параметра несумірності , нетривіальний періодичний основний стан, що описується функцією

, (12)

де - еліптична амплітуда і - модуль цієї еліптичної функції. Розв'язок (12) відповідає періодичному ланцюжку - кінків з відстанню між ними , де - повний еліптичний інтеграл першого роду, тобто .

Ланцюжок кінків відіграє роль періодичної послідовності дефектів для нелінійних збуджень над нетривіальним основним станом. У цьому випадку спектр лінійних збуджень має щілину, в якій стає можливим існування щілинних солітонів.

За допомогою перетворення Дарбу з довільним параметром перетворення знайдено явний вираз для розв'язку синусоїдального рівняння Гордона, який описує солітон (додатковий -кінк), що рухається на фоні періодичної послідовності кінків (12):

, (13)

де фаза , параметр залежить від і , а функції , і залежать від , і координати , але середні за період значення , і від не залежать.

Найбільш цікавим результатом є те, що існує мінімальна швидкість руху суперсолітону в самомодульованому середовищі, яка відрізняється від нуля і збігається з “швидкістю звуку” довгохвильових коливань періодичної системи кінків. Зсув фази в солітоні залежить від його швидкості і змінюється від при до , коли .

Висновки

Література

Богдан М.М., Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Динамика и устойчивость локализованных мод в нелинейных средах с точечными дефектами // ФНТ. - 1997. - Т. 23, № 2. - С. 197-207.

Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Распространение нелинейных волн вдоль плоскопараллельных дефектов // Вісник ХДУ. Серія “Фізика”. - 1998. - № 418, Вип.2. - С. 8-12.

Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Локализация оптических пучков в системе нелинейных волноводов // Вісник ХДУ. Серія “Фізика”. - 1999. - № 440, Вип.3. - С. 32-35.

Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Распространение световых пучков в фокуси-рующей оптической среде с системой параллельных волноводов // Радио-техника. - 1999. - Вып.110. - С. 134-137.

Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Локализация нелинейных волн в слоистых средах // ФНТ. - 2000. - Т. 26, № 8. - С. 799-809.

Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Динамика солитонов в самомодулированных системах // Вісник ХНУ. Серія “Фізика”. - 2000. - № 476, Вип.4. - С. 21-24.

Bogdan M., Gerasimchuk I., Kovalev A. Dynamics and stability of localized modes in nonlinear media with point defects // Book of Abstracts of the Sympo-sium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics (STAMM'96). - Warsaw (Poland). - 1996. - P. 46.

Богдан М.М., Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Динамика и устойчивость ло-кализованных мод в нелинейных средах с точечными дефектами // Матери-алы 3-й Международной конференции “Физические явления в твердых телах” (к 80-летию академика И. М. Лифшица). - Харьков (Украина). - 1997. - С. 49.

Gerasimchuk I., Kovalev A. The localization of light beams in the system of the parallel plane waveguides in nonlinear optical media // Book of Abstracts of the Workshop on Surface and Interface Optics (SIO'99). - Sainte-Maxime (France). - 1999. - P. 65.

Размещено на Allbest.ru