Влияние модуляции градиента температуры на конвективную устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси

Размещено на http://www.allbest.ru

Влияние модуляции градиента температуры на конвективную устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси

В данной главе описаны результаты исследования свободной конвекции бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции градиента температуры около некоторого среднего значения. Построены карты устойчивости бинарной смеси в плоскости амплитуда-частота модуляции. Показано, что модуляция равновесного градиента температуры может быть как стабилизирующим, так и дестабилизирующим фактором в сравнении со случаем отсутствия модуляции. Путем сравнения решения данной задачи в приближении малой частоты модуляции с решением в более точной постановке, исследовано влияние скин-слоев на конвективную устойчивость механического равновесия смеси.

Конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной газовой смеси при модуляции градиента температуры

Рассматривается горизонтальная полость, заполненная бинарной смесью. Температура на границах, а вместе с ней и ее градиент модулируется с частотой . Концентрация легкого компонента на границах постоянна.Если считать, что температура и концентрация мало отличаются от некоторых средних значений, , где - характерная плотность среды соответствующая средним значениям концентрации и температуры, а через T и C обозначим отклонения от этих средних значений (С - концентрация легкой компоненты), и - коэффициенты температурного и концентрационного расширения, то систему уравнений конвекции бинарной смеси, при отсутствии перекрестного эффекта (термодиффузия и диффузионная теплопроводность не существенны), можно записать в виде [17]:

(2.1)

бинарная смесь модуляция температура

Здесь - поле скоростей, p-давление в смеси, отсчитываемое от гидростатического, соответствующего , - кинематическая вязкость, - температуропроводность, D- коэффициент диффузии, - единичный вектор направленный против поля тяжести. Введем систему координат следующим образом: ось x направим вдоль нижней границы слоя, а ось z - вертикально вверх (Рис.2.1).

Рис. 2.1. Модель задачи.

Для определения границ устойчивости необходимо найти периодические и квазипериодические решения, которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия, системы дифференциальных уравнений (2.1) с граничными условиями:

(2.2)

где L- характерный размер полости.

Приведенные граничные условия на вертикальную компоненту скорости являются условиями свободных плоских границ. При этом означает, что конвекция не приводит к искривлению границ слоя, а - условие отсутствия касательных напряжений на границах [17]. Дифференцируя уравнение неразрывности по z, и пользуясь граничными условиями для скорости, получим: .

При механическом равновесии (=0), установившееся решение задачи (2.1), (2.2) имеет вид:

, (2.3)

.

, ,

, ,

Рассматриваем малые возмущения равновесия. Подставив возмущенные величины , , (v - малая скорость) в уравнения, взяв от первого уравнения и спроецировав полученные уравнения на ось Z, линеаризуем систему (2.1):

Опуская штрихи, запишем эту систему в безразмерном виде, при этом введем характерные масштабы: L- длины, - температуры, - скорости, - времени, - концентрации, -давления.

(2.4)

,, , .

Используя для решения системы (2.4) метод Галеркина-Бубнова, представим решение в виде:

(2.5)

где и - вещественные волновые числа, характеризующие периодичность возмущений вдоль x и y.

Подставляя (2.5) в (2.4), получим:

(2.6)

,

,

,,,

,

Здесь - числа Прандтля, - безразмерная амплитуда модуляции, k - волновое число, - числа Рэлея, - соответственно амплитуды температуры, скорости и концентрации, Qs - определена в (2.3).

С целью выявления влияния скин-эффекта на конвективную устойчивость смеси задача была решена так же в приближении малой частоты модуляции (). В этом случае можно приближенно считать, что равновесный градиент модулируется около постоянного среднего значения , с частотой и амплитудой .

Тогда второе уравнение в (2.4) примет вид:

(2.7)

Ищем решение системы (2.4), где второе уравнение заменено на (2.7), в виде:

,,

(2.8)

где - неизвестные амплитуды соответствующих возмущений.

Подставив (2.8) в указанную систему, получим:

(2.9)

Приведем систему (2.9) к одному уравнению:

(2.10)

,, , ,

, , , (2.11)

Здесь точки означают производные по времени.

Будем проводить исследования при фиксированных значениях волнового числа k.

Решение задачи. Теория систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений основана на трудах А.М. Ляпунова и Г. Флоке и достаточно хорошо разработана. Приведем кратко некоторые сведения из этой теории, ограничившись случаем простых корней характеристического уравнения.

Согласно теореме Флоке [61, 55], система с n степенями свободы, описываемая дифференциальным уравнением порядка 2n, с периодическими коэффициентами периода Т, имеет 2n линейно независимых решений, причем каждое из этих решений имеет вид (i=1,2,…,n), где - периодическая функция периода Т, - ляпуновские экспоненты, - ляпуновские характеристические показатели. - мультипликатор Флоке. Если для всех i, то решение системы устойчиво, если же есть хотя бы одно i , при котором , то решение неустойчиво.

Границы устойчивости в параметрическом пространстве, а вместе с ними и нейтральное решение можно найти из условия: , при этом, если получаем целые решения (период которых совпадает с периодом модуляции), - полуцелые решения (период вдвое больше периода модуляции). При комплексном , по модулю равном единице, получаем квазипериодические нейтральные решения. Значения параметра были найдены как собственные числа матрицы, образованной фундаментальной системой решений в конце периода модуляции (матрицы монодромии).

Таким образом, чтобы выявить критерий устойчивости, следуя теории Ляпунова-Флоке, необходимо найти периодические и квазипериодические решения системы (2.6), которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия. В системе (2.6) ограничимся 3N уравнениями с 3N неизвестными.

Число уравнений 3N определяем из малости поправки к решению при переходе к 3(N+1) уравнениям.

Для нахождения периодического решения представим его в виде линейной комбинации 3N независимых решений.

,

где - единичная матрица 3Nx3N.

Из условий периодичности :

,

Получим систему 3N линейных, однородных алгебраических уравнений относительно сi, из условия разрешимости которой, при фиксированных находим нейтральные кривые , на которых решения системы (2.6) периодичны. Выше нейтральных кривых возмущения нарастают, ниже - затухают.

Каждой паре фиксированных () на плоскости соответствует нейтральная кривая , выше которой возмущения растут, ниже - убывают, на самой нейтральной кривой решения периодичны. Для фиксированных и , каждому подбираем из условия.

Для удобства сравнения результатов при расчетах в случае произвольной частоты модуляции сохранены обозначения (2.11).

Для нахождения критерия устойчивости в приближении малой частоты модуляции необходимо найти периодические решения уравнения (2.10), которые разделяют растущие и затухающие колебания. Для этого, представим решение в виде линейной комбинации независимых частных решений , удовлетворяющих следующим начальным условиям:

(2.12)

Функции находим методами Рунге-Кутта.

Здесь в скобках вверху указана (j-1)-я производная по времени, - единичная матрица, - произвольные постоянные.

Условия периодичности решения : (фактор ) приводят к линейной алгебраической системе уравнений относительно . Из условия разрешимости этой системы для пары чисел и, каждому подбираем r так, чтобы определитель системы был равен нулю с необходимой точностью.

Для выявления влияния закона модуляции на конвективную устойчивость рассмотрен также случай ступенчатой модуляции граничных температур. В уравнении (1.10) функцию заменяем ступенчатой функцией

, ,

Получим уравнения :

Здесь верхние и нижние знаки относятся к промежуткам (0,T) и (-T,0) соответственно.

Решениями этих уравнений будут:

где находим из характеристических уравнений, - из условий непрерывности при и условий периодичности.

Из равенства нулю определителя (6Х6) этой системы были найдены нейтральные кривые в плоскости при фиксированных ,.

Для построения карты устойчивости в плоскости теплового и диффузионного чисел Релея будем искать решение системы:

(2.13)

в виде:

(2.14)

- декремент возмущений, k1 и k2 - вещественные волновые числа, характеризующие периодичность возмущений вдоль x и y.

Подставив (2.14) в (2.13), получим:

(2.15)

Граничные условия: .

Собственные функции:

подставим в (2.15), получим:

Приравнивая определитель к нулю, получим кубическое уравнение относительно :



Полагаем . Вещественные корни дают монотонные возмущения, а мнимые - колебательные. Тогда для вещественной и мнимой частей:

На границе устойчивости .

Если возмущения монотонны, то , тогда

(2.16)

(2.16) - прямая, разделяющая область затухающих и нарастающих монотонных возмущений.

При колебательной неустойчивости .

Получим: (2.17)

Прямые (2.16) и (2.17) пересекаются в точке:

обращается в 0, когда . Прямая имеет смысл нейтральной линии для колебательных возмущений лишь там где .

Обсуждение результатов. Во всех расчетах использованы значения чисел Прандтля, характеризующие газовую смесь: ; и волнового числа k=. Также были проведены отдельные сравнительные расчеты и для других значений k (k=0.5;;10), которые показали качественную идентичность результатов.

Были найдены периодические решения системы (2.6), которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия. В системе (2.6) ограничимся 3N уравнениями с 3N неизвестными. Вычисления показали, что нейтральные кривые, полученные с помощью 9-ти и 12-ти уравнений системы (2.6) практически не различаются, т.е. поправка к решению мала. Таким образом, достаточно взять N=3.

Взаимное расположение линий на плоскости ( ,), построенное по формулам (2.5), (2.6), при :

Рис.2.2. Карта устойчивости в плоскости (,).

Ломаная ABC на плоскости (,) служит границей устойчивости бинарной смеси при отсутствии модуляции. Причем при пересечении луча ВА снизу вверх имеет место колебательная неустойчивость, а при пересечении луча ВС- монотонная.

Область ниже АВС разбита в пределе низких частот на три подобласти, которым соответствуют нейтральные кривые одинакового типа.

Независимо от закона модуляции каждой точке в области ниже АВС (рис.2.2) на плоскости ( и - приведенные амплитуда и частота модуляции (2.11)) соответствует нейтральная кривая, выше которой возмущения растут, ниже - убывают. На самих нейтральных кривых движение периодично, имеются нейтральные кривые: «целого» типа, которым соответствуют «целые» решения (), «полуцелого» типа, которым соответствуют «полуцелые» решения () и «смешанного» типа, которые состоят из чередующихся участков «целого» и «полуцелого» типа. Для целых решений период колебаний равен периоду модуляции, а для полуцелых вдвое больше периода модуляции.

Численные расчеты показали, что нейтральные кривые, соответствующие квазипериодическим решениям в области равновесия смеси (ниже ломанной АВС), появляются при больших амплитудах модуляции, по сравнению с нейтральными кривыми целого и полуцелого типов. В области высоких частот квазипериодические возмущения существуют и при малых амплитудах, но они затухающие ().

Для случая гармонической модуляции в приближении малых частот методом малого параметра можно найти кривую МК, разделяющую область ниже АВМ на подобласти с нейтральными кривыми полуцелого и смешанного типа. Вещественная часть усредненного значения корней характеристического уравнения для (2.10) по времени должна равняться нулю: при . Дополнительные условия были найдены из условий перестройки корней характеристического уравнения.

Области между лучом ЕС и осью (области I на рис. 2.2) соответствуют на плоскости нейтральные кривые целого типа (), области II (между кривой КМЕ и осью ) - нейтральные кривые полуцелого типа () , области III - нейтральные кривые смешанного типа.

Характерной особенностью нейтральных кривых , соответствующих области I является то, что независимо от закона модуляции для малых частот имеется граница неустойчивости "целого" типа, а со стороны больших частот имеются пальцы, образованные нейтральными кривыми "полуцелого" типа, для области II наоборот: малым частотам соответствуют нейтральные кривые "полуцелого" типа, со стороны больших частот имеются "целые" пальцы (рис. 2.3). Для случая гармонической модуляции, в области II имеется переходная подобласть, в которой основными являются нейтральные кривые полуцелого типа, но имеются интервалы частот, для которых между пальцами, образованными кривыми полуцелого типа появляются целые островки неустойчивости (рис.2.4), причем эти интервалы с ростом увеличиваются и при пересечении кривой МК нейтральные кривые становятся смешанными на всем диапазоне изменения (рис. 2.5).

Рис.2.3. Нейтральные кривые, соответствующие на рис. 2.2 областям I (=-1.1, =2) (а) и II (=1 =-2) (б). Области неустойчивости заштрихованы, сплошные линии соответствуют нейтральным кривым целого типа, штриховые - нейтральным кривым полуцелого типа (светлые линии относятся к случаю приближения малой частоты модуляции).

Рис. 2.4. Нейтральные кривые переходной подобласти (=1, =-5). Обозначения те же, что на рис. 2.3.

Рис.2.5. Нейтральные кривые, соответствующие на рис. 2.2 области III (=2.3 =-2). Обозначения те же, что на рис. 2.3.

Расчеты показали, что независимо от закона модуляции над ломанной АВС, на плоскости имеются области, внутри которых возмущения убывают, а вне - растут (рис. 2.6), причем параметрическая стабилизация наступает в области больших частот.

Рис.2.6. Области параметрической стабилизации в плоскости выше границы устойчивости ЕС (=-0.9 =2) (а), ВЕ (=3.2 =-2) (б), ВА (=4 =-3) (с) (рис.2.2). Штрихпунктирные линии - квазипериодические нейтральные кривые, остальные обозначения те же, что на рис. 2.3.

Рассмотрим область над ломаной АВС (рис. 2.2), где при отсутствии модуляции механическое равновесие не устойчиво. Расчеты показали, что в этой области модуляция градиента температуры может привести к стабилизации механического равновесия, т.е. к параметрической стабилизации. А именно, каждой точке над ломаной АВС, на плоскости соответствует область параметров, для которых механическое равновесие стабилизируется, т.е. становится устойчивым, причем стабилизация наступает для больших частот. Для точек выше луча ЕС указанная область ограничена снизу целыми нейтральными кривыми, сверху - полуцелыми, параметрическая стабилизация возможна только тогда, когда частота превосходит фиксированное значение, зависящее от параметров. Над отрезком ВЕ основная область параметрической стабилизации существует для всех частот, однако с уменьшением частоты эта область быстро сужается, т.е. в этом случае нет определенной критической частоты. Над лучом ВА, область стабилизации ограничена снизу нейтральной кривой, соответствующей квазипериодическим решениям, а сверху нейтральной кривой «полуцелого» типа, при этом параметрическая стабилизация возможна лишь для частот (рис. 2.6). Отметим, что в случае однородной жидкости [17] область параметрической стабилизации существует для всех частот, и нет критической частоты, ниже которой стабилизация невозможна.

При определенных соотношениях между амплитудой и частотой модуляции появляются резонансные области динамической неустойчивости, связанные с параметрическим возбуждением. При колебаниях температуры на границах градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат. Модуляции градиента в основном сосредоточены в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эффект). С целью выявления влияния скин-эффекта на конвективную устойчивость смеси, задача решена также в приближении малой частоты модуляции, когда не учитывается скин-эффект. Получено качественное совпадение результатов при ступенчатой и гармонической модуляции градиента температуры, т.е. закон модуляции не влияет на характер устойчивости смеси. В случае ступенчатой модуляции кривая МК (рис. 2.2), разделяющая полуцелые и смешанные нейтральные кривые, проходит несколько ниже, при этом переходная подобласть отсутствует.

В приближении малой частоты модуляции подтвердилось наличие областей параметрической стабилизации над лучами ЕС, ВА и отрезком ВЕ причем нейтральные кривые сместились вниз по оси амплитуд (рис. 2.6, светлые линии), т.е. скин-эффект приводит к увеличению критической амплитуды наступления стабилизации.

В области равновесия смеси (ниже АВС рис. 2.2), нейтральные кривые, соответствующие областям I, II, III на плоскости со стороны больших частот смещаются вниз (рис. 2.3, 2.5 - светлые линии), затем проходят немного выше и, при низких частотах, в приведенном на фигурах масштабе, сливаются с нейтральными кривыми, полученными при решении задачи с учетом скин-эффекта. Кроме того, в этом случае выявлены вторичные области стабилизации со стороны больших частот, образованные нейтральными кривыми целого и полуцелого типов.

Из приведенных рисунков видно, что учет скин-эффекта изменяет нейтральную кривую: при больших частотах скин-эффект играет стабилизирующую роль, которая сменяется на дестабилизирующую с уменьшением частоты, и в пределе малых частот полностью исчезает.

Конвективная устойчивость горизонтального слоя вязкой бинарной смеси при низкочастотной модуляции градиента температуры

В предыдущем параграфе все расчеты проведены для значений чисел Прандтля, характеризующих газовую смесь: . Рассматривая указанную задачу, были исследованы разные значения, например , которые по порядку величин вполне реальны для газовых смесей, а также . Веществ с такими параметрами в природе не существует, но дело в том, что идея этой работы возникла под влиянием ранее решенной задачи для пористой среды [64] на основе закона Дарси, который, как нам известно, не учитывает силу инерции. Как влияет инерция на качественную картину результатов? Так как в естественных условиях насыщенных пористых сред сила инерции при фильтрации жидкостей обычно мала, было решено рассмотреть данную задачу с искусственными параметрами, для сравнения. При этом, в случае пористой среды в задачу входит лишь отношение аналогов чисел и , которое ранее было взято . Поэтому мы попытались увеличить P (по сравнению с , для ограничения влияния инерции), сохраняя отношение. При этом в работе [64] на границах полости задаются условия свободной плоской границы, поэтому в данной задаче также рассматриваются граничные условия на скорости указанного выше типа, что облегчает решение задачи. Хотя для вязкой жидкости более реальным является условие типа твердой стенки, можно рассчитывать, на то, что этот факт не повлияет на качественные особенности результатов. Такой вывод подтверждается результатами решения одних и тех же задач с разными граничными условиями в несколько иной постановке [17].

Итак, решая задачу предыдущего параграфа при малой частоте модуляции, были использованы параметры : .

Для этих чисел Прандтля карта устойчивости в плоскости ( ,) показана на рис. 2.7.

Рис.2.7. Карта устойчивости бинарной смеси.

Ломаная ABC является границей устойчивости бинарной смеси при отсутствии модуляции. Причем при пересечении луча ВА имеет место колебательная неустойчивость, а при пересечении луча ВС- монотонная. Расчеты показали, что независимо от закона модуляции выше луча ВА имеет место неустойчивость для всех частот и амплитуд. При этом на плоскости существуют кривые, на которых решение для однопараметрического семейства начальных условий является периодической функцией. Для всех других начальных условий решения неограниченно растут. Над лучом ВС, независимо от закона модуляции, на плоскости имеются области, внутри которых возмущения убывают, а вне - растут (рис.2.8). Следовательно, в отличие от случая бинарной смеси в пористой среде, для случая горизонтальной полости выше границы устойчивости (ломаная АВС рис.2.7) имеются области параметрической стабилизации в плоскости .

Таким образом, над лучом ВА, где при отсутствии модуляции имеет место колебательная неустойчивость, при данных параметрах (P=5, =10) параметрическая стабилизация не происходит. Над лучом ВС в плоскости () имеется область параметрической стабилизации. При этом над отрезком ВМ и лучом МС картины в плоскости () несколько отличаются. Над лучом МС параметрическая стабилизация возможна лишь когда частота превосходит фиксированное значение, зависящее от параметров (рис. 2.8а). Над отрезком ВМ основная область параметрической стабилизации существует для всех частот, однако с уменьшением частоты эта область быстро сужается, т.е. в этом случае нет определенной критической частоты (рис.2.8с).

Рис. 2.8. На a) и b) - области стабилизации над МС (рис. 2.7) (a- в случае ступенчатой модуляции, b- в сл. синусоидальной модуляции). На с) и d) - области стабилизации над ВМ.

Область ниже АВС разбита в пределе низких частот на три подобласти, которым соответствуют нейтральнее кривые одинакового типа.

Независимо от закона модуляции каждой точке в области ниже АВС (рис.2.7) на плоскости соответствует нейтральная кривая, выше которой возмущения растут, ниже - убывают. На самих нейтральных кривых движение периодично, имеются нейтральные кривые: «целого» типа, которым соответствуют «целые» решения, «полуцелого» типа, которым соответствуют «полуцелые» решения и «смешанного» типа, которые состоят из чередующихся участков «целого» и «полуцелого» типа. Для целых решений () период колебаний равен периоду модуляции, а для полуцелых вдвое больше периода модуляции.

Для случая ступенчатой модуляции можно найти границу (кривая МК рис.1), разделяющую область ниже АВМ на подобласти с нейтральными кривыми полуцелого и смешанного типа.

Методом малого параметра можно показать, что кривая МК для ступенчатой модуляции описывается уравнением:

, ,

(2.18)

Подобрав пары ( ,), для которых уравнения (2.18) верны, мы получим искомую границу, которая была проверена с помощью численных расчетов.

При ступенчатой модуляции получены следующие результаты: область между лучом МС и осью (область I на рис. 2.7) соответствует нейтральным кривым целого типа () (рис.2.9), область II - нейтральным кривым полуцелого типа () (рис. 2.10), а область III - нейтральным кривым смешанного типа (рис. 2.11).

Рис.2.9. Нейтральные кривые, соответствующие области I рис.2.7. (a - случай ступенчатой модуляции, b - случай гармонической модуляции)

Рис. 2.10. Нейтральные кривые, соответствующие области II рис.2.7. (a,c - случаи ступенчатой модуляции, b,d - случаи гармонической модуляции)

Характерной особенностью нейтральных кривых , соответствующих областям I, II, является то, что имеется основная граница неустойчивости соответственно "целого" и "полуцелого" типа, со стороны больших частот имеются пальцы, и между ними островки параметрической стабилизации. В случае пористой среды такие островки не наблюдались, причем эти особенности качественно не зависят от закона модуляции.

Рис. 2.11 Нейтральные кривые, соответствующие области III рис.2.7. (a,c - случаи ступенчатой модуляции, b,d - случаи гармонической модуляции)

Во всех рисунках пунктирные линии соответствуют «целым» нейтральным кривым, сплошные - «полуцелым». Области неустойчивости заштрихованы.

Интересным является сценарий изменения карты устойчивости на плоскости () при переходе из области II в область III на рис.2.7. При переходе из области II в III с ростом под нейтральной кривой «полуцелого» типа появляется один «островок» неустойчивости, образованный нейтральной кривой «целого» типа, затем к нему добавляется островок неустойчивости «полуцелого» типа, далее (с ростом ) эти участки чередуются (рис. 2.11а). По мере дальнейшего роста в области III «острова» неустойчивости превращаются в «полуострова», из которых могут образовываться новые «островки» неустойчивости (рис. 2.11с). В случае пористой среды сценарий перехода другой [64].

В случае гармонической модуляции, методами Рунге-Кутта находились решения уравнения (2.10). При этом для каждого w меняем r пока определитель системы, полученной из условий периодичности решения, с необходимой точностью не будет равен нулю. Полагая, находим «целые» и «полуцелые» решения. Расчеты показали, что областям I и II, как и при ступенчатой модуляции, соответствуют нейтральные кривые «целого» и «полуцелого» типа. Граница КМ расположена ближе к АВ. Нейтральные кривые в соответствующих областях показаны на рис.2.9-2.11.

При переходе из области II в область III в данном случае между «пальцами», образованными нейтральной кривой «полуцелого» типа появляются «полуостровки» неустойчивости, образованные нейтральными кривыми «целого» типа (рис. 2.11б).

Таким образом, расчеты показали, что большинство результатов (для данных параметров) качественно совпадает со случаем пористой среды [64]. Существенным отличием является то, что в данном случае над границей устойчивости (при отсутствии модуляции) в плоскости частота-амплитуда модуляции имеется область параметрической стабилизации. Эта область содержит основную подобласть, а над ней вторичные подобласти - "островки" устойчивости. Подчеркнем, что в рассматриваемом приближении область параметрической стабилизации возникает лишь над той частью границы АВС (рис.2.7), где при отсутствии модуляции неустойчивы монотонные возмущения (луч ВС). В отличие от случая однородной жидкости, в данном случае имеются ситуации когда основная подобласть стабилизации ограничена критической частотой ниже которой стабилизация невозможна. В случае однородной жидкости эта область неограниченна, хотя и быстро сужается с уменьшением частоты. Картины в плоскости (r,1/w) в области устойчивости (при отсутствии модуляции) отличается от приведенной выше тем, что отсутствует основная полоса параметрической стабилизации, а островки устойчивости при этом остаются. В случае пористой среды таких островков не наблюдалось. Следует подчеркнуть, что полученные результаты, строго говоря, являются обоснованными лишь для частот удовлетворяющих условию (здесь - толщина полости, - теплопроводность смеси, - безразмерная амплитуда модуляции). В следующем параграфе будет рассмотрен случай произвольных частот.

Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничной температуры

В параграфе 2.2 задача с искусственными параметрами P=5, Pd=10 обсуждалась при условии медленной частоты модуляции, в результате не учтено влияние скин-эффекта. Поэтому в данном параграфе путем сравнения решения задачи в случае приближения малых частот модуляции и решения в более точной постановке изучается влияние скин-эффекта на устойчивость смеси в горизонтальной полости, на одной из границ которой температура меняется по синусоидальному закону с амплитудой T0 и частотой w.

Постановка задачи и метод решения аналогичны параграфу 2.1.

Обсуждение результатов.

Расчеты проводились при числах Прандтля P=5,Pd=10. Напомним, что значения параметров P и Pd , были выбраны не исходя из свойств конкретной смеси, а из соображений большей наглядности основных механизмов потери устойчивости, а также с точки зрения сравнения со случаем пористой среды.

Расчеты показали, что независимо от закона модуляции выше луча ВА имеет место неустойчивость для всех частот и амплитуд. При этом на плоскости существуют кривые, на которых решение для однопараметрического семейства начальных условий является периодической функцией. Для всех других начальных условий решения неограниченно растут. Над лучом ВС, независимо от закона модуляции, на плоскости имеются области, внутри которых возмущения убывают, а вне - растут (рис.2.12). Т.е. имеются области параметрической стабилизации в плоскости .

Рис.2.12. Области параметрической стабилизации в плоскости выше границы устойчивости ВС (рис.2.7).

На рис 2.12 a) , b) и с) - области стабилизации над МС, d), e) и f) - области стабилизации над ВМ (рис.2.7) (a, d- в случае ступенчатой модуляции, b, e- в сл. синусоидальной модуляции, с, f - в случае учета скин-эффекта). Здесь пунктирные линии соответствуют «целым» нейтральным кривым, сплошные - «полуцелым». Области неустойчивости заштрихованы.

С целью выявления влияния скин-эффекта на конвективную устойчивость смеси найдены периодические решения системы (2.6, параграфа 2.1), которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия.

Над отрезком ВМ и лучом МС картины в плоскости () несколько отличаются. Над лучом МС параметрическая стабилизация возможна лишь, когда частота превосходит фиксированное значение, зависящее от параметров (рис. 2.12а,b,с). Ранее расчеты были выполнены для случаев ступенчатой и синусоидальной модуляции при учете условия малости частоты модуляции (пар. 2.2), которые показали, что параметрическая стабилизация наступает в области больших частот (рис. 2.8а, b). В случае учета скин-эффекта подтвердилось наличие области параметрической стабилизации, причем эта область расширилась и произошло ее смещение вверх по оси амплитуд, т.е. стабилизация наступит при большей амплитуде, чем в случае приближения малой частоты модуляции.

Над отрезком ВМ основная область параметрической стабилизации существует для всех частот, однако с уменьшением частоты эта область быстро сужается, т.е. в этом случае нет определенной критической частоты (рис.2.12d,e,f). В этом случае также, учет скин-эффекта приводит к смещению области параметрической стабилизации выше по оси амплитуд, к увеличению критической амплитуды возникновения стабилизации (рис.2.12f).

Численные расчеты показали, что при больших частотах квазипериодические возмущения возникают (- комплексное), но они затухающие , поэтому квазипериодических нейтральных кривых нет.

Для удобства сравнения ниже приведены графики огибающих нейтральных кривых с учетом скин-эффекта и в приближении малой частоты, а также графики поправок критической амплитуды на скин-эффект в зависимости от для областей, соответствующих нейтральным кривым «целого», «полуцелого» и «смешанного»типа.

На рис. 2.13a изображены нейтральные кривые «целого» типа, 2.13b - нейтральные кривые «полуцелого» типа, 2.13с - нейтральные кривые «смешанного» типа. (r1- с учетом скин-эффекта, r2 - при условии малости частоты модуляции). На рис. 2.13d),e),f) - соответствующие поправки критической амплитуды на скин-эффект в зависимости от частоты модуляции. .

Рис.2.13. Огибающие нейтральных кривых с учетом скин-эффекта и при условии малости частоты, а также графики поправок критической амплитуды на скин-эффект.

Как видно из приведенных рисунков, учет скин-эффекта изменяет нейтральную кривую в области больших частот. Область устойчивости увеличивается, т.е скин-эффект в отличие от случая с пористой средой, рассмотренного в [64], играет только стабилизирующую роль. Нейтральные кривые в области малых частот в приведенном на рисунках масштабе полностью совпадают, т.е. влияние скин-эффекта при малых частотах незначительно.

Размещено на Allbest.ru