Расчет разомкнутой и замкнутой системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Электроэнергетический факультет

Кафедра теоретических основ электротехники и релейной защиты и автоматики

Контрольная работа по учебной дисциплине:

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Выполнил:

Воронов П.И.

Принял:

Мочалов М.Ю.

Чебоксары, 2011 год

1. Линеаризация

1.1 Построить линеаризованную модель для звена, которое описывается нелинейным дифференциальным уравнением

В общем случае уравнение динамики можно представить в виде: , а в данном случае:

(1)

Уравнение статики можно представить в виде: , в данном случае:

(2)

Вблизи точки установившегося режима:

Будем рассматривать функцию (1) как функцию независимых переменных , , .

Разлагая её в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами разложения, получим:



Где:

Или:

(3)

Вычтем из уравнения возмущённого режима (3) уравнение стационарного режима (2), получим:

(4)

Уравнение (4) является уравнением динамики линеаризованной системы.

1.2 Определить установившееся значение

В соответствии с уравнением (2) в установившемся режиме имеем:

1.3 Построить передаточную функцию линеаризованного звена

Вводя оператор дифференцирования:

- перепишем выражение (4):

Передаточная функция имеет вид:

Это апериодическое звено с постоянной времени и коэффициентом усиления .

1.4 Найти импульсную характеристику (весовую функцию) этого звена

Известно, что передаточная функция определяется как:

Откуда:



Импульсная характеристика - это реакция системы на импульсный сигнал (д-функцию). Изображением д-функции по Лапласу является 1, т. е. в данном случае:

(5)

Импульсная характеристика представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. - Импульсная характеристика рассматриваемого звена:

1.5 Решив полученное дифференциальное уравнение, найти переходный процесс на выходе линеаризованного звена при ступенчатом входном сигнале

Известно, что:

Где:

- переходная функция.

В данном случаи уместно говорить, что это реакция системы на единичное входное воздействие.

Отсюда вытекает формула:

Интегрируем (5).

Следовательно, получим:

Где:

- определим из начального условия.

При .

Получаем:

Итак:

Переходная характеристика представлена на рисунке 2.

Рисунок 2. - Переходная характеристика рассматриваемого звена:

2. Разомкнутые системы

2.1 Определить, какие простейшие звенья можно выделить в составе звена с передаточной функцией:

(6)

Итак, в составе звена с передаточной функцией (6) можно выделить два простейших звена: форсирующее звено первого порядка и колебательное звено.

2.2 Чему равен коэффициент усиления этого звена в установившемся режиме

Коэффициент усиления в установившемся режиме можно определить из передаточной функции (6) при :

.

2.3 Является ли звено устойчивым

Характеристическое уравнение звена:

Определим корни характеристического уравнения:

;

.

Так как вещественная часть корней характеристического уравнения меньше нуля, то звено является устойчивым.

2.4 Является ли звено минимально-фазовым

Определим корни числителя передаточной функции:

Звено является минимально-фазовым, если вещественные части корней числителя и знаменателя меньше нуля.

Звено с передаточной функцией (6) не как не является минимально - фазовым.

2.5 Построить асимптотическую ЛАФЧХ этого звена

Составим комплексную передаточную функцию системы с передаточной функцией (6):

Выражение для ЛАЧХ имеет вид:



Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания:

- для форсирующего звена ;

- для колебательного звена .

Итак, , .

При . И при .

Асимптотическая ЛАЧХ вместе с точной ЛАЧХ представлена на рисунке 3.

Рисунок 3. - Асимптотическая ЛАЧХ рассматриваемого звена ЛФЧФ имеет вид:

Точная ЛФЧХ представлена на рисунке 4.

Рисунок 4. - ЛФЧХ рассматриваемого звена:

2.6 Какой наклон имеет ЛАЧХ на нулевой частоте

На нулевой частоте ЛАЧХ имеет наклон 0 дБ/дек. На высоких частотах наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек. Наклон ЛАЧХ на нулевой частоте определяется только интегрирующими и дифференцирующими звеньями. Если система имеет n дифференцирующих и m интегрирующих звеньев, то наклон ЛАЧХ на нулевой частоте равен . В рассматриваемом звене нельзя выделить ни дифференцирующих, ни интегрирующих звеньев, поэтому наклон ЛАЧХ на нулевой частоте отсутствует. На высоких частотах наклон равен , где m₁ - разность степеней знаменателя и числителя передаточной функции. В рассматриваемом звене степень числителя равна 1, знаменателя - 2, следовательно, наклон ЛАЧХ равен -20 дБ/дек.

2.7 Записать модель этого звена в виде дифференциального уравнения

Звено с передаточной функцией (6) может быть описано дифференциальным уравнением:

2.8 Записать модель этого звена в пространстве состояний

Модель в пространстве состояний - это система дифференциальных уравнений первого порядка, к которой добавлены связи вектора состояния с входом и выходом системы. Для линейной системы она имеет вид:

Здесь x - вектор состояния, u - вектор входных воздействий, y - вектор выхода, A, B, C, D - числовые матрицы.

Передаточная функции имеет вид:

Представим отношение:

Где:

Передаточная функция соответствует дифференциальному уравнению:

 (7)

(8)

Введём переменные состояния :

Учитывая связь между ними из уравнений (7) и (8) получим систему:

Которая записывается в форме модели в пространстве состояний с матрицами:

2.9 Построить переходную характеристику этого звена

Как уже было отмечено, переходная функция - это реакция звена на единичное входное воздействие, т. е.:



Тогда:

Переходная характеристика:

Переходная функция представлена на рисунке 5.

Рисунок 5. - Переходная функция рассматриваемого звена:

3. Замкнутые системы

3.1 Пусть объект управления имеет передаточную функцию , регулятор - передаточную функцию , а измерительная схема - передаточную функцию

Типовая блок-схема представлена на рисунке 6.

Рисунок 6. - Типовая блок-схема системы автоматического регулирования:

3.2 Предположив, что и , построить передаточные функции

от входа к выходу ;

от входа к выходу ;

от входа к выходу ;

от входа к выходу .

Передаточная функция по задающему воздействию:

Передаточная функция по управляющему воздействию:

Передаточная функция для ошибки:

Передаточная функция для возмущения:

3.3 Используя критерий Гурвица, определить, при каких значениях и замкнутая система устойчива

Передаточная функция звена:

Передаточная функция замкнутой системы (при ):

(9)

Характеристическое уравнение имеет вид:



Или:

То есть:

По критерию Гурвица система с характеристическим уравнением второй степени является устойчивой, если:

Или, наконец:

Т. е. имеем геометрическое место точек. На рисунке 7 представлено это геометрическое место точек (заштриховано).

Рисунок 7. - Геометрическое место точек, соответствующее значениям k и h, при которых замкнутая система устойчива:

3.4 Приняв , выбрать так, чтобы запас устойчивости по амплитуде был не менее 6 дБ, а запас по фазе - не менее 30°

На рисунке 8 представлены точные ЛАЧХ и ЛФЧХ для разомкнутой системы при , .

Эти характеристики совпадают с характеристиками, представленными на рисунках 3 и 4.

Коэффициент не обеспечивает необходимого запаса устойчивости по амплитуде в 6 дБ.

Коэффициент устойчивости по фазе обеспечивается. Для обеспечения необходимой устойчивости по амплитуде необходимо сместить ЛАЧХ вниз на 1,9 дБ.

Передаточная функция разомкнутой системы

Выражение для ЛАЧХ разомкнутой системы имеет вид:



Рисунок 8. - ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы:

Для того чтобы обеспечить необходимый запас устойчивости по амплитуде, необходимо, чтобы , откуда, , .

Примем . Тогда при и обеспечиваются необходимые запасы устойчивости, при этом запас устойчивости по фазе будет увеличен.

3.5 Построить переходный процесс на выходе при выбранном значении

Передаточная функция замкнутой системы при и из (9) имеет вид:



Переходный процесс описывается следующим уравнением:

График переходного процесса представлен на рисунке 9.

Рисунок 9. - График переходного процесса:

3.6 Оценить время переходного процесса и перерегулирование, показать их на графике

Из рисунка 9 видно, что время переходного процесса , . Перерегулирование примерно равно 141%.

3.7 Является ли замкнутая система астатической

Система называется астатической, если в установившемся режиме отсутствует ошибка регулирования. Для того, чтобы система была астатической, необходимо, чтобы функция по ошибке имела множитель p.

Передаточная функция по ошибке:

Замкнутая система не содержит множителя p в числителе, т.е. система не является астатической.

3.8 Используя пропорционально-интегральный регулятор с передаточной функцией

С помощью критерия Гурвица определить, какие ограничения должны быть наложены на , чтобы система была устойчивой. Выбрать коэффициент , равный среднему арифметическому между минимальным и максимальным допустимыми значениями.

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

После несложных преобразований получим:

Критерий Гурвица для системы с характеристическим уравнением третьей степени записывается как:

В данном случае получаем следующую систему неравенств:

Далее получим:

Решая последнее неравенство в системе методом интервалов, определили, что условие выполняется. Итак, определим интервал, в котором выполняются все условия системы неравенств. Выберем для дальнейших расчётов: .

3.9 Построить переходный процесс на выходе при выбранном регуляторе

Передаточная функция при имеет вид:

Переходный процесс описывается следующим уравнением:

Переходный процесс смоделирован в Simulink. График переходного процесса представлен на рисунке 10.

Рисунок 10. - Переходный процесс на выходе системы:

звено линеаризованный автоматический

Размещено на Allbest.ru