Кинематика плоского движения твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Кинематика плоского движения твердого тела

Условие: ОL=25 см; KH=22 см; б=50°;в=10°; е_OK=3,1c^-2; х_K=10 см/с.

Найти: скорости х_L, х_H, щ_KLи ускорения a_L, a_H,a_K, е_KL.

Механизм представляет собой кривошипно-шатунный механизм.

Кривошип совершает замедленное вращательное движение с угловой скоростью щ_OK и угловым ускорением е_ОК относительно точки О.

Скорость и ускорение точки К равны [2]

OK находим по теореме синусов

где - угловая скорость звена OK, с^-1;

- длина звена ОК, см.

Определим ускорение точки К. В векторной форме оно находится по формуле вида

,

где - вектор ускорения точки К,;

- нормальная составляющая вектора ускорения точки К, см/c²;

- тангенциальная составляющая вектора ускорения точки К, см/c².

Нормальное ускорение найдём по формуле

где - нормальное ускорение точки К,

- угловая скорость звена ОК, с^-1.

После подстановки получим

.

Тангенциальное ускорение найдём по формуле

где - тангенциальное ускорение точки К, см/c²;

- угловое ускорение звена ОК, с^-2.

После подстановки получим:

.

Ускорение точки К в скалярной форме найдём по формуле:

.

После подстановки получим:

.

Шатун KLсовершает плоское движение. Точка Lпринадлежит ползуну L, который совершает движение поступательно. Скорости точек Kи Lне параллельны, следовательно, мгновенный центр скоростей P звена KL лежит на пересечении прямы, перпендикулярных скоростям точек KиL. Согласно следствию к теореме Шаля имеем

где х_K - скорость точки К, см/с;

х_L - скорость точки L, см/с;

х_H - скорость точки H, см/с

KP-длина от точкиK до МЦС - точки P, см;

LP - длина от точкиL до МЦС - точки P, см.

HP - длина от точкиH до МЦС - точки P, см.

Составим пропорцию вида

Для нахождения HP выполним следующие действия

Длину HP определим из треугольника HLP по теореме косинусов. Тогда получим выражение:

Для нахождения ускорения точки L воспользуемся теоремой о сложении ускорений плоской фигуры, где в качестве полюса выберем точку K

где - вектор ускорения точки L, см/c²;

- вектор ускорения точки K, см/c²;

- нормальная составляющая вектора ускорения звена KL, см/c²;

- тангенциальная составляющая вектора ускорения звена KL, см/c².

Где - ускорение точки Lв относительном вращении стержня LK вокруг полюса K. Спроецируем векторное равенство на оси декартовой системы координат xLy, учитывая что

Получим систему линейных уравнений 2-ого порядка относительно

1) На ось ОХ:

2) На ось OY:

Из 1-ого:

Из 2-го:

Аналогично находим ускорение точки H

Где

Наось x:

На осьy:

.

В результате расчётов, получили скорости и ускорения, равные:, , , , ,, .

2. Динамика механической системы

Дано: ; ;;; ; ;; . Определить скорость центра масс тела 1 в тот момент времени, когда он переместится на расстояние S, и ускорение центра масс тела 1.

Механическая система движется под действием сил тяжести первого тела. Массами нитей пренебречь. Силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Диск (каток, колесо) считать сплошным однородным телом, если радиус инерции для него не задан. Все тела в системе абсолютно твердые. Нити нерастяжимые.

Задачу решить тремя способами:

- по теореме об изменении кинетической энергии системы. Проверить результаты расчета кинетической энергии отдельных тел и всей системы, а также работ внешних сил и моментов сил на компьютере в вычислительной лаборатории на кафедре теоретической механики;

- по общему уравнению динамики;

- по уравнению Лагранжа. Провести сравнение коэффициентов в выражении кинетической энергии отдельных тел системы с коэффициентами в выражениях работы сил и моментов сил инерции этих тел соответственно.

Для начала найдем радиусr₂. Он будет равен:

r₂=4/5·R₂=0,8·0,24=0,192 см.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы:

,

где - кинетическая энергия системы в конце и в начале перемещения центра масс тела 1 из состояния покоя на расстояние S;

- сумма работ всех внешних сил и моментов сил на том же перемещении;

- сумма работ внутренних сил и моментов сил на рассматриваемом перемещении системы.

T₀ = 0; т. к. система движется из состояния покоя. так как тела в системе абсолютно твердые и отсутствует относительное движение тел в системе (нити нерастяжимые, качение тел по поверхностям и нитям без скольжения).

Определим кинетическую энергию системы. Она получается из суммы кинетических энергий её частей. Тогда получим выражение:

Кинематический расчет для каждого тела:

1)

2)

3) , ,,

4) ,

Тело 1 движется поступательно. Тогда его кинетическая энергия будет равна:

,

где - масса тела 1;

- скорость тела 1.

Тело 2 вращается. Тогда его кинетическую энергию найдём из выражения:

,

где - момент инерции;

- угловая скорость.

Преобразуя формулу, получим:

Тело 3 движется плоскопараллельно. Его кинетическая энергия складывается из кинетической энергии вращения и поступательного движения. Тогда получим выражение:

где - скорость центра масс;

- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости тела;

- угловая скорость тела.

Скорость центра масс:

Момент инерции тела выражается формулой:

Тогда, после преобразований, формула для нахождения кинетической энергии третьего тела примет вид:

Скорость центра масс:

Тогда, после преобразований, формула для нахождения кинетической энергии четвертого тела примет вид:

,1953

После того, как мы нашли значения всех четырех частей системы, подставим их в формулу для нахождения кинетической энергии системы. Тогда получим выражение:

Далее найдём сумму работ внешних сил. Она находится из выражения:

?,

где - работа силы тяжести тела 1;

- работа силы трения скольжения тела 2;

- работа силы тяжести тела 2;

- работа силы тяжести тела 3;

- работа силы тяжести тела 4.

Работу силы тяжести тела 1 вычислим по формуле:

Работа будет положительной, потому что тело 1 опускается.

Работу силы трения скольжения тела 1 вычислим по формуле:

После подстановки известных значений получим:

. (2.18)

Так как точка приложения силы не перемещается, работа силы тяжести тела 2 будет равна нулю:

Работу силы тяжести тела 3 вычислим по формуле:

После подстановки значений получим:

Зная все работы, найдем сумму работ внешних сил, подставив значения. Тогда получим:

Далее найдём скорость тела 1.

.

Сократим массы, выразим скорость и найдём её:

м/c

Теперь найдем ускорение тела 1. Для этого продифференцируем по времени:

ускорение динамика твердый тело

Выразим и найдём ускорение:

м/c².

Размещено на Allbest.ru