Анализ электрической цепи с двумя накопителями энергии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

I. Определение переходных характеристик

1.1 Составление и решение системы дифференциальных уравнений

1.2 Определение переходных характеристик классическим методом

II. Нахождение реакций на импульсный сигнал с помощью интеграла Дюамеля

III. Операторный метод расчёта

3.1 Определение импульсных характеристик

3.2 Определение входной и выходной реакции на импульсное воздействие

IV. Анализ частотных характеристик выходного сигнала

V. Нахождение заданной функции разложением в ряд Фурье

VI. Экспериментальная проверка

Аннотация

импульсное воздействие реакция интеграл

В данной курсовой работе проводится исследование электрической цепи с двумя накопителями энергии. Рассчитываются операторная, импульсная, переходная и частотная характеристики электрической цепи. Определяется входная и выходная реакции цепи. Расчет проводится во временной области и частотной. Приводится экспериментальная проверка.

The summary

The given course work carries out research of an electric circuit with two stores of energy. Operational, pulse, transitive and frequency characteristics of an electric circuit pay off. It is defined entrance and target reactions of a circuit. Calculation is carried spent in time area and frequency. Experimental check is resulted.

Задание к курсовой работе:

1. Тема проекта: Исследование электрической цепи с двумя накопителями энергии.

2. Исходные данные: принципиальная схема электрической цепи, данные по элементам, составляющих электрическую цепь, математическая модель воздействующего напряжения.

3. Содержание пояснительной записки: определение операторной, импульсной, переходной и частотной характеристики электрической цепи, определение входных и выходных реакций цепи, обработка результатов, экспериментальная проверка.

4. Перчечень графического материала: принципиальная схема электрической цепи, графики АЧХ, ФЧХ, переходных характеристик, входного и выходного сигнала.

Исходные данные к курсовому заданию:

1. Параметры цепи

Элемент	Im(А)	R1(Ом)	R2(Ом)	R3(Ом)	L1(мГн)	L2(мГн)
Величина	2	20	20	20	20	40

2. Исходная схема:

3. Исходный сигнал:

I. Определение переходных характеристик

1.1 Составление и решение системы дифференциальных уравнений

Для составления уравнений запишем основные соотношения между токами и напряжениями на реактивных элементах, тогда система ДУ состояния будет иметь вид:

Воспользуемся законами Кирхгофа

Для контуров R3L1R1 , L2R2L1 и для 1 и 2 узлов соответственно запишем:

Заменяя и исключая другие переменные, получим систему дифференциальных уравнений относительно :

Решение данной системы ДУ будет иметь вид:

где iL1У, iL2У - установившиеся значения , iL2св, iL2св - свободные составляющие токов через 1 и 2 индуктивности соответственно

Определим постоянные значения переходной характеристики.

Так как iL1У, iL2У = const ,то их производные равны нулю. В результате получаем систему линейных уравнений, решением которой и будет являться постоянная составляющая:

Решим данную систему уравнений с помощью программы MathCad:

Определим свободные составляющие. Свободные составляющие будут иметь вид:

Продифференцируем исходную систему ДУ:

=>=>

Система имеет решение только при условии:

Полученное выражение является характеристическим полиномом исходной цепи. Решая данное уравнение, получим:

Так как корни p1,p2 действительные и различные, то решение имеет вид:

Пользуясь свойством непрерывности интегральных функций f(0-)=f(0+), подставим t=0:

Определим постоянные интегрирования. Для этого воспользуемся начальными условиями.

Независимые начальные условия.

Так как входной сигнал представляет собой функцию Хэвисайда, то

Зависимые начальные условия.

Тогда

Переходные характеристики цепи имеют вид (все единицы измерения по СИ):

Входная характеристика:

1.2 Определение переходных характеристик классическим методом

Так как цепь содержит два накопителя и корни характеристического полинома действительные и различные (см. ранее), то искомая характеристика будет иметь вид:

где p1, p2 - корни характеристического полинома

I1L1, I2L1, I1L2, I2L2 -постоянные интегрирования

iL1y iL2y - значения токов на L1 и L2 при установившемся режиме

Составим характеристический полином.

Для этого найдем сопротивление цепи относительно точек АБ (схема 5):

Определим независимые и зависимые начальные условия. Так как на входе имеется сигнал в виде функции Хевисайда, то iL1(0) = 0, iL2(0) = 0.

Для определения начальных условий uL1(0), uL2(0) воспользуемся состоянием схемы в момент времени t(0+) (схема 6):

Определим установившейся режим цепи.

Для этого воспользуемся состоянием схемы при t= :

Определим постоянные интегрирования:



Запишем переходные характеристики:

Графики функций.

Запишем постоянные времени переходного процесса:

Ток на индуктивности L1:



Ток на индуктивности L2 (выходной ток):

Входное напряжение:

Графики носят монотонный характер, время установления

За короткий интервал времени происходят перенапряжения.

Входное напряжение убывает от 20 В до установившегося (номинального) значения 10 В. Выходной ток возрастает за время tН = 0,8 мс до , затем убывает до 0, что обусловлено параллельным соединением с индуктивностью L1.

II. Нахождение реакций на импульсный сигнал с помощью интеграла Дюамеля

Расчет переходных процессов классическим методом ограничен возможностью определения реакции цепи в установившемся режиме после коммутации. Такие реакции легко определяются в тех случаях, когда воздействие и реакция совпадают по форме (например, при постоянных и гармонических воздействиях). Если же форма реакции в установившемся режиме неизвестна, то применение классического метода становится крайне затруднительным.

В этих случаях для линейных цепей можно использовать принцип наложения, который устанавливает, что реакцию на сложное воздействие можно определять в виде суммы реакций на некоторые элементарные воздействия.

Таким образом, при использовании интеграла Дюамеля необходимо предварительно рассчитать классическим (или иным) методом реакцию на ступенчатое единичное или импульсное воздействия.

Наиболее распространённая форма интеграла Дюамеля имеет вид:

В формуле приняты следующие обозначения:

y(t) - реакция цепи

x(t) - входной сигнал

h(t) - переходная характеристика цепи

Так как входной сигнал является импульсным, то, используя функцию Хэвисайда, его можно представить в виде:



а) Ток на L1:

б) Ток на L2 (выходной ток):

в) Входная реакция:

III. Операторный метод расчёта

3.1 Определение импульсных характеристик

Определим импульсную характеристику относительно входного напряжения по входному операторному сопротивлению.

H - входная импульсная характеристика.

Нахождение реакции цепи по изображению в виде дробно рациональной функции вида (3) основано на теореме разложения Хевисайда.

(3)

где aк и bk - коэффициенты, выраженные через параметры цепи R, L1, L2.

Составим операторную схему замещения

Определим изображение входного сопротивления Z(s) (относительно источника тока) и передаточной функции H(s).

Т.к. то

Изображение импульсной функции

Изображение входной импульсной характеристики

Входная импульсная характеристика

Изображение выходной импульсной характеристики

Выходная импульсная характеристика



3.2 Определение входной и выходной реакции на импульсное воздействие

Входная реакция

Выходная реакция



Результат получили такой же, как и при вычислениях с помощью интеграла Дюамеля.

IV. Анализ частотных характеристик выходного сигнала

Рассмотрим взаимосвязь частотных характеристик для комплексного коэффициента передачи тока, операторное выражение которого заданно формулой:

Заменим s на комплексную частоту



Из АЧХ видно, что схема является фильтром с полосой пропускания

Где

Угловая частота, при которой коэффициент передачи по току имеет максимальное значение

Построение спектра входного сигнала

Заменим s на комплексную частоту

Спектр входного сигнала

Построение спектра выходного сигнала

Запишем изображение выходной реакции на синусоидальный импульс:

Заменим s на комплексную частоту

Спектр выходного сигнала



V. Нахождение заданной функции разложением в ряд Фурье

При расчёте цепей несинусоидального переменного тока используют разложение периодических функций в одну из форм гармонического ряда Фурье. Если периодическая негармоническая функция представляется суммой мгновенных значений гармонических колебаний различных частот , где n = 1,2,.. - порядковый номер гармоники, , то ряд Фурье записывается в сведущем виде:

где A0=, комплексная амплитуда

n-й гармоники.

Входной сигнал:

Количество членов разложения (гармоник): m = 10

График входного сигнала, разложенного в ряд Фурье, имеет вид

Дискретный спектр амплитуды входного сигнала

Дискретного спектр фаз входного сигнала

Выходной сигнал:

Изображение передаточной функции

Заменим s на jn1

Выходная реакция имеет вид

Дискретный спектр амплитуды выходного сигнала

Дискретного спектр фаз выходного сигнала

Расчёт числовых характеристик сигнала.

Действующее значение I1

I1=I/, где =А,

I1 = 1 A

Среднее по модулю Iсм

Коэффициент формы kF и амплитуды kA

VI. Экспериментальная проверка

Схема передающей цепи с измерительными преобразователями

Входной сигнал тока

Входная реакция (напряжение)

Выходная реакция (ток)

Размещено на Allbest.ru