Динамика материальной точки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Динамика материальной точки

В основе классической механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687г.

Первый закон Ньютона: Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной системой отсчета. Инерциальных систем отсчета существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью), будет также инерциальной.

Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, являются инерциальной. Эта система называется гелиоцентрической системой отсчета.

Всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела m. Для количественной характеристики взаимодействия тел или полей вводится физическая величина, называемая силой

Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости. Опыт показывает, что одинаковые воздействия на разные тела, вызывают разные по величине изменения скоростей этих тел. Чтобы описать этот опытный факт, вводится понятие импульса тела или количества движения:

.

Второй закон Ньютона: Скорость изменения импульса тела равна геометрической сумме сил, действующих на данное тело:

.

Подставляя сюда выражение для импульса тела , получим еще одну формулировку второго закона Ньютона:

Произведение массы тела на его ускорение равно геометрической сумме сил, действующих на тело:

второй закон Ньютона.

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой, то и тело 2 в свою очередь действует на тело 1 с силой .

Третий закон Ньютона: Силы с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению:

третий закон Ньютона.

Эти силы не компенсируют друг друга, поскольку приложены к разным телам.

Законы сохранения в механике

Законы Ньютона позволяют решить любую задачу классической механики. Они устанавливают уравнения движения тела, которые в общем случае являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка и могут быть решены только численными методами. В некоторых случаях уравнения движения представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений, решение которых может быть представлено в аналитическом виде, т.е. в виде некоторых известных функций. В любом случае решение уравнений движения тела может представлять серьезную математическую проблему.

Но в механике можно ввести физические величины, которые при определённых условиях сохраняются во времени и могут существенно упростить решение задач механики. Таких физических величин три: импульс, энергия и момент импульса. Наличие законов сохранения этих величин связано со свойствами пространства и времени. Так, законы сохранения импульса и энергии отражают такое свойство пространства и времени, как их однородность. Закон сохранения момента импульса выражает изотропные свойства пространства, т.е. равноправность всех направлений в пространстве. Конечно, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса должны вытекать из законов Ньютона. В дальнейшем мы так и будем поступать, т.е. выводить их из законов Ньютона.

Закон сохранения импульса системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Между материальными точками действуют силы внутреннего взаимодействия, а также на материальные точки действуют внешние силы. Здесь - внутренняя сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны k-й материальной точки, - внешняя сила, действующая на i-ю материальную точку.

Материальные точки системы обладают импульсом:

- импульс i-ой материальной точки.

Система материальных точек называется замкнутой, если внешние силы отсутствуют, или их равнодействующая равна нулю:= 0.

Запишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона:

,

,

.

Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим

.

Сумма производных равна производной от суммы, а также по третьему закону Ньютона: . В результате получим:

.

Если система материальных точек замкнута, т.е. , тогда

= 0,

и имеет место закон сохранения импульса:

.

-

- закон сохранения импульса системы материальных точек.

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный импульс системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени.

Центр масс системы материальных точек и его свойства

Важное значение для системы материальных точек имеет такое понятие, как центр масс. Сначала рассмотрим две материальные точки с массами m₁ и m₂ и найдём их центр масс. В данном случае центр масс - это точка С, которая лежит на прямой соединяющей материальные точки. Если положение материальных точек описывается радиус-векторами и , то положение центра масс С, будет описываться радиус-вектором , который равен

.

В общем случае системы из n материальных точек, положение центра масс будет описываться радиус-вектором:

= ,

где M = m₁ + m₂ + ... + m_n - полная масса системы материальных точек.

Взяв производную, получим скорость центра масс:

.

Если система материальных точек замкнута, то , и тогда

.

Таким образом, при отсутствии внешних сил центр масс системы материальных точек остается в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Реактивное движение.

Уравнение движения тела с переменной массой

На выполнении закона сохранения импульса основано движение ракеты, если её рассматривать как замкнутую систему. Мы рассмотрим более общий случай движения тела с переменной массой при наличии внешней силы, например, движение ракеты в гравитационном поле Земли.

Для этого рассмотрим два близких момента времени t и t+ dt и вычислим изменение импульса системы: ракета + вытекающий газ.

Пусть в момент времени t импульс системы равен

.

За время dt выброшен газ массой dm со скоростью относительно ракеты, и импульса системы: ракета + газ стал равен:

.

В выражении для раскроем скобки и пренебрежем малой величиной более высокого порядка ()

.

Тогда изменение импульса системы: ракета + газ за время dt равно:

, .

Подставляя это во второй закон Ньютона , получим уравнение движения тела с переменной массой:

- уравнение Мещерского.

Второй член справа в этом уравнении представляет собой

силу реактивной тяги, где -- секундный расход топлива.

Уравнение Циолковского

Рассмотрим движение ракеты в невесомости, т.е.. Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость ракеты . Масса ракеты вместе с топливом равна M, масса самой ракеты . Ракета при горении топлива может выбрасывать газы со скоростью u. Какую максимальную скорость v может развить ракета при полном расходовании топлива?

Из уравнения Мещерского в этом случае получаем

mdv = - udm, или

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения

.

- уравнение Циолковского,

где -- число Циолковского.

Чтобы ракета при существовавших на то время видах топлива развивала первую космической скорости 8 км /с, необходимо было иметь очень большое число , т.е. масса топлива во много раз должна была превышать массу оболочки ракеты. Чтобы избежать этого Циолковский предложил использовать многоступенчатые ракеты. После выгорания топлива в одной ступени ракеты эта ступень отбрасывается , и начинает работать следующая ступень ракеты. Циолковский таким образом предсказал полеты человека в космическое пространство.

Момент импульса материальной точки относительно начала координат

Для простоты рассмотрим случай плоского движения, т.е. траектория движения материальной точки лежит в одной плоскости, которую мы расположим перпендикулярно плоскости листа. Выберем на плоскости начало координат О и положение материальной точки будем описывать радиус-вектором . Скорость точки , ее импульс , ускорение , и сила будут расположены в плоски движения материальной точки, как показано на рисунке.

Введем две новые физические величины: момент силы и момент импульса относительно начала координат O.

-

- момент силы относительно начала координат.

Модуль вектора равен

динамика закон ньютон движение

,

где - угол между векторами и . Если опустить перпендикуляр из точки O на направление действия силы, то его длина будет плечом силы , и модуль момента сил будет равен произведению силы на плечо, т.е. , что совпадает со школьным определением момента силы.

Аналогично моменту силы вводится момент импульса

-

- момент импульса материальной точки относительно начала координат.

,

где - угол между векторами и , --плечо импульса , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на направление вектора материальной точки. Оба вектора и , согласно определения направлены перпендикулярно плоскости движения материальной точки.

В общем случае неплоского движения, направление векторов и не совпадают, но существует закон, который связывает момент импульса с моментом силы . Чтобы установить этот закон, возьмем производную от вектора :



.

В результате получаем:

-

- закон изменения момента импульса материальной точки относительно начала координат.

Закон сохранения момента импульса системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек: Выберем начало координат О, тогда положение точек будет задаваться радиус-векторами

.

Пусть материальные точки обладают импульсами

,

и пусть между материальными точками системы действуют силы внутреннего взаимодействия , а также на материальные точки действуют внешние силы . Определим моменты этих сил относительно начала координат:

- момент внутренней силы ,

- момент внешней силы .

Определим также моменты импульсов материальных точек

.

Далее для каждой материальной точки запишем закон изменения момента импульса

Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим

Силы взаимодействия между материальными точками действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно начала координат О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил равна нулю. В результате получим

.

Если система материальных точек является замкнутой, то , и тогда имеет место закон сохранения момента импульса

- закон сохранения момента импульса системы материальных точек.

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный момент импульса системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени.

Механическая работа и мощность

Если на тело действует сила, то эта сила совершает работу по перемещению этого тела. Прежде чем дать определение работе при криволинейном движении материальной точки, рассмотрим частные случаи:

Сила постоянная , движение прямолинейное.

В этом случае механическая работа A равна:

A = F s cos=,

или A = Fcos s = F_S s ,

где F_S - проекция силы на перемещение. В данном случае F_s=const, и геометрический смысл работы A - это площадь прямоугольника, построенного в координатах F_S, , s .

Движение прямолинейное, сила переменная, т.е. F_Sconst.

Построим график проекции силы на направление перемещения F_S как функции перемещения s. Полное перемещение представим как сумму n малых перемещений . Для малого i -ого перемещения работа равна или площади заштрихованной трапеции на рисунке.

Полная механическая работа по перемещению из точки 1 в точку 2 будет равна:

.

Величина, стоящая под интегралом будет представлять элементарную работу по бесконечно малому перемещению :

- элементарная работа.

Движение криволинейное, сила переменная.

Разбиваем траекторию движения материальной точки на бесконечно малые перемещения и работу силы по перемещению материальной точки из точки 1 в точку 2 определяем как криволинейный интеграл:

- работа при криволинейном движении.

Пример 1: Работа силы тяжести при криволинейном движении материальной точки.

.

Далее как постоянную величину можно вынести за знак интеграла, а интеграл согласно рисунку будет представлять полное перемещение .

.

Если обозначить высоту точки 1 от поверхности Земли через , а высоту точки 2 через , то

.

Мы видим, что в данном случае работа определяется положением материальной точки в начальный и конечный момент времени и не зависит от формы траектории или пути. Работа силы тяжести по замкнутому пути равна нулю: .

Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называется консервативными.

Пример 2: Работа силы трения.

Это пример неконсервативной силы. Чтобы показать это достаточно рассмотреть элементарную работу силы трения:

,

т.е. работа силы трения всегда отрицательная величина и на замкнутом пути не может быть равной нулю. Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Если за время совершается работа , то мощность равна

- механическая мощность.

Взяв в виде

,

получим для мощности выражение:

.

В СИ единицей работы является джоуль: = 1 Дж = 1 Н1 м, а единицей мощности является ватт: 1 Вт = 1 Дж/с.

Механическая энергия.

Энергия является общей количественной мерой движения взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из нечего: она лишь может переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления в природе. В соответствии с различными формами движения материи рассматривают разные виды энергии - механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.

Понятия энергии и работы тесно связаны друг с другом. Известно, что работа совершается за счет запаса энергии и, наоборот, совершая работу, можно увеличить запас энергии в каком-либо устройстве. Другими словами работа - это количественная мера изменения энергии:

.

Энергия также как и работа в СИ измеряется в джоулях: [E]=1 Дж.

Механическая энергия бывает двух видов - кинетическая и потенциальная.

Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и скоростями рассматриваемых тел. Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы . Работа этой силы увеличивает кинетическую энергию материальной точки . Вычислим в этом случае малое приращение (дифференциал) кинетической энергии:

.

При вычислении использован второй закон Ньютона , а также - модуль скорости материальной точки. Тогда можно представить в виде:

-

- кинетическая энергия движущейся материальной точки.

Умножив и разделив это выражение на , и учитывая, что , получим

-

- связь между импульсом и кинетической энергией движущейся материальной точки.

Потенциальная энергия (или энергия положения тел) определяется действием на тело консервативных сил и зависит только от положения тела.

Мы видели, что работу силы тяжести при криволинейном движении материальной точки можно представить в виде разности значений функции , взятых в точке 1 и в точке 2:

.

Оказывается, что всегда, когда силы консервативны, работу этих сил на пути 12 можно представить в виде:

.

Функция , которая зависит только от положения тела - называется потенциальной энергией.

Тогда для элементарной работы получим

- работа равна убыли потенциальной энергии.

Иначе можно сказать, что работа совершается за счёт запаса потенциальной энергии.

Величину , равную сумме кинетической и потенциальной энергий частицы, называют полной механической энергией тела:

- полная механическая энергия тела.

В заключении заметим, что используя второй закон Ньютона , дифференциал кинетической энергии можно представить в виде:

.

Дифференциал потенциальной энергии , как указывали выше, равен:

.

Таким образом, если сила - консервативная сила и отсутствуют другие внешние силы, то , т.е. в этом случае полная механическая энергия тела сохраняется.

Закон сохранения механической энергии системы материальных точек.

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек, между которыми действуют консервативные силы внутреннего взаимодействия , и кроме того на материальные точки действуют внешние консервативные силы и внешние неконсервативные силы .

Для каждой материальной точки запишем второй закон Ньютона:

,

,

- - - - - -

.

Далее левые и правые части каждого уравнения умножим скалярно на , соответственно, где - номер материальной точки. Покажем это на примере -ой материальной точки:

,

.

Это равенство можно записать в виде:

,

или ,

где - кинетическая энергия -ой материальной точки,

- внутренняя потенциальная энергия -ой материальной точки,

- внешняя потенциальная энергия -ой материальной точки,

- работа, которую совершают над -ой материальной точкой внешняя неконсервативная сила.

Просуммируем левые и правые части преобразованных указанным образом уравнений движения.

,

или ,

где - кинетическая энергия системы материальных точек,

, - внутренняя и внешняя потенциальная энергия м.т.,

- полная работа внешних неконсервативных сил.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, правая часть полученного уравнения будет равна нулю и, следовательно, полная механическая энергия системы остается постоянной:

-

- закон сохранения механической энергии системы материальных точек.

Полная механическая энергия системы материальных точек, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной, т.е. сохраняется во времени.

Для замкнутой системы закон сохранения полной механической энергии имеет вид:

.

Полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной, т.е. сохраняется во времени.

Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют такие неконсервативные силы, например, силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется.

Связь между потенциальной энергией и консервативной силой.

Если тело в каждой точке пространства подвержено воздействию других тел, то говорят, что это тело находится в поле сил. Так, например, тело вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести.

Поле консервативных сил называется потенциальным полем сил. В каждой точке такого поля потенциальная энергия имеет определенное значение. Чтобы установить связь между потенциальной энергией и консервативной силой , вычислим элементарную работу по перемещению материальной точки из точки 1 в близко расположенную точку 2. Через точки 1 и 2 проведем эквипотенциальные поверхности, т.е. поверхности одинакового потенциала, которые находятся на расстоянии друг от друга. Так как работа совершается за счет запаса потенциальной энергии, то потенциальная энергия на поверхности 1 больше чем на поверхности 2, а именно, при переходе от поверхности 2 к поверхности 1 она возрастает на . Элементарная работа равна убыли потенциальной энергии:

. (1).

Согласно построению эквипотенциальных поверхностей сила всегда перпендикулярны этим поверхностям. Элементарную работу силы на перемещении можно определить и другим способом:

. (2)

Решая совместно (1) и (2), находим соотношение между убылью потенциальной энергии и силой:

.

Это соотношение можно записать в векторной форме, если ввести векторную величину - градиент потенциальной энергии . По определению это вектор направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии:

,

где - единичный вектор нормали. Тогда

- связь между консервативной силой и потенциальной энергией.

В заключении заметим, что градиент скалярной функции координат обозначается либо символом , либо, где - оператор набла, который имеет вид:

.

Тогда

- градиент скалярной функции .

Потенциальная энергия упругой деформации.

Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но и отдельно взятое упруго деформированное тело (например, сжатая или растянутая пружина и т.п.). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между соседними витками пружины). Возьмем материальную точку , закрепленную на конце пружины. Положение этой точки будет описываться радиус-вектором , на неё действует возвращающая сила упругой деформации . Вычислим элементарную работу, которую необходимо затратить на дополнительное растяжение пружины на величину . Эта работа увеличит запас потенциальной энергии на .

.

Итак, мы получили формулу для потенциальной энергии упруго сжатой или растянутой пружины.

- потенциальная энергия, обусловленная действием сил упругости.

Потенциальные кривые. Потенциальные ямы и барьеры

Потенциальная кривая - это кривая, выражающая зависимость потенциальной энергии от координаты. Потенциальные кривые позволяют качественно описать характер движения тела. Приведем примеры потенциальных кривых:

Движение материальной точки в потенциальной яме.

Рассмотрим материальную точку, которая находится в потенциальном поле сил. Для простоты ограничимся случаем, когда положение материальной точки может быть определено с помощью одной величины, например координаты x.

Пусть график потенциальной энергии имеет вид, изображенный на рисунке. Зная вид потенциальной кривой, можно сделать ряд заключений о характере движения материальной точки. Полная механическая энергия материальной точки в процессе движения остается постоянной:

.

При этом её слагаемые: кинетическая и потенциальная энергия изменяются:

, .

Если полная энергия имеет значение, указанное на рисунке, то материальная точка может совершать движение либо в пределах от до , либо в пределах от до бесконечности. В области и представляет собой потенциальный барьер, через который материальная точка не может проникнуть, имея данный запас полной энергии. Область называется потенциальной ямой. Материальная частица в потенциальной яме совершает финитное движение, т.е. она все время находится в огражденной области пространства и не может удалиться на бесконечность. Если же материальная точка может уходить сколь угодно далеко, движение называется инфинитным. В точке потенциальная энергия имеет минимум. Условие минимума потенциальной энергии имеет вид:

.

В соответствии с соотношением , это равнозначно тому, что . Таким образом, положение материальной точки, определяется значением , является равновесным. В случае, изображенном на рисунке, условия , выполняются также для , равного (т.е. для максимума ). Это положение материальной точки также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при будет неустойчивым. Силы, возникающие при смещении материальной точки из положения устойчивого равновесия (для которого ), направлены так, что стремятся вернуть материальную точку в положение равновесия.

Литература

1. Фирганг, Е. В. Руководство к решению задач по курсу общей физики : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по техническим и технологическим направлениям и специальностям. - Изд. 2-е, испр. - Спб. : Лань, 2008. - 352 с.

2. Белонучкин, В. Е. Курс общей физики : учебник для вузов. В 2-х т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика. Термодинамика. - 2-е изд., испр. / В. Е. Белонучкин, Д. А. Заикин, Ю. М. Ципенюк ; под ред Ю. М. Ципенюка. - М. : Физматлит, 2007. - 608 с.

3. Фриш, С. Э. Курс общей физики : учебник. В 3-х т. Т. 1. Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны. - Изд. 12-е, стер. - Спб. : Лань, 2007. - 480 с.

4. Фриш, С. Э. Курс общей физики : учебник. В 3-х т. Т. 2. Электрические и электромагнитные явления. - Изд. 11-е, стер. - Спб. : Лань, 2007. - 528 с.

5. Фриш, С. Э. Курс общей физики : учебник. В 3-х т. Т. 3. Оптика. Атомная физика. - Изд. 11-е, стер. - Спб. : Лань, 2007. - 656 с.

6. Савельев, И. В. . Курс физики : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по техн. и технолог. направлениям и специальностям. В 3-х т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. - Изд. 3-е, стер. - Спб. : Лань, 2007. - 352 с.

7. Савельев, И. В. . Курс физики : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по техн. и технолог. направлениям и специальностям. В 3-х т. Т. 2. Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. - Изд. 3-е, стер. - Спб. : Лань, 2007. - 480 с.

8. Савельев, И. В. . Курс физики : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по техн. и технолог. направлениям и специальностям. В 3-х т. Т. 3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. - Изд. 3-е, стер. - Спб. : Лань, 2007. - 320 с.

9. Савельев, И. В. . Курс общей физики : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по техн. (550000) и технолог. (650000) направлениям. В 3-х т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. - Изд. 8-е, стер. - Спб. : Лань, 2007. - 432 с.

10. Савельев, И. В. . Курс общей физики : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по техн. (550000) и технолог. (650000) направлениям. В 3-х т. Т. 2. Электричество и магнетизм. - Изд. 8-е, стер. - Спб. : Лань, 2007. - 496 с.

Размещено на Allbest.ru