Размещено на http://www.allbest.ru/

13

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электрическое поле постоянного тока

1. Законы электрического поля в интегральной и дифференциальной формах

Под электрическим током проводимости i понимается движение свободных зарядов в проводящей среде г под действием сил электрического поля . Ток проводимости в каждой точке среды характеризуется вектором плотности:

[А/м²].

Направление вектора совпадает с направлением положительных зарядов. Ток, протекающий через произвольную площадку s, связан с вектором уравнением: .

Выделим мысленно в проводящей среде, где протекает ток, элементарный цилиндр длиной dl с основанием ds так, чтобы вектор был направлен вдоль оси цилиндра (рис. 268).

Ток, протекающий вдоль цилиндра:

.

Напряжение между концами цилиндра:

,

где вектор напряженности электрического поля, под действием которого возникает ток.

Сопротивление цилиндра, как проводника:

,

где г - удельная проводимость среды [См/м].

Сопротивление цилиндра по закону Ома:

.

Приравнивая правые части равенств, получим:

Мощность, выделяемая в цилиндре по закону Джоуля:

,

откуда

[Вт/м³] уравнение закона Джоуля в дифференциальной форме, которое характеризует интенсивность выделения энергии вокруг рассматриваемой точки.

Если внутри цилиндра окажутся источники энергии, создающие дополнительную составляющую напряженности поля (напряженность поля сторонних сил), то и закон Ома в дифференциальной форме получит вид:

.

Как известно, выражение первого закона Кирхгофа в интегральной форме имеет вид:

.

Выразим каждый из токов через вектор плотности тока :

.

Преобразуем полученное уравнение по теореме Остроградского-Гаусса:

,

следовательно:

уравнение первого закона Кирхгофа в дифференциальной форме.

Из этого уравнения следует вывод, что линии вектора непрерывны и замкнуты.

Интегральная форма уравнения 2-го закона Кирхгофа для контура, не содержащего источников ЭДС, имеет вид:

.

Выразим каждое из напряжений через вектор напряженности поля :

,

и преобразуем полученное уравнение по теореме Стокса:

.

Последнее уравнение справедливо для любого направления, следовательно:

уравнение второго закона Кирхгофа в дифференциальной форме.

Из этого уравнения следует вывод, что электрическое поле постоянного тока безвихревое, потенциальное и в каждой точке может быть описано потенциальной функцией согласно уравнению:

.

Преобразуем уравнение первого закона Кирхгофа:

,

откуда следует: или уравнение Лапласа для электрического поля постоянного тока.

На границе раздела двух сред с различными проводимостями и выделим точку и окружим ее элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по сравнению с линейными размерами оснований (рис. 269а).

Применяя первый закон Кирхгофа, получим:

.

Откуда следует, что на границе раздела двух сред с различными проводимостями равны нормальные составляющие вектора плотности тока .

Окружим точку элементарным прямоугольником (рис. 269б), у которого высота бесконечно мала по сравнению с длиной. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру прямоугольника, получим:

.

Откуда следует, что на границе раздела двух сред с различными проводимостями и равны тангенциальные составляющие вектора напряженности поля .

Разделим почленно левые и правые части полученных уравнений и учтем, что и , в итоге получим:

условие преломления линий поля на границе раздела двух сред с различными проводимостями и .

2. Методы расчета электрических полей постоянного тока

Электрическое поле постоянного тока, с одной стороны, и электростатическое поле вне электрических зарядов (_св=0), с другой стороны, описываются одинаковыми по структуре математическими уравнениями. Для сравнения сведем эти уравнения в общую таблицу.

Электрическое поле постоянного тока	Электростатическое поле при отсутствии зарядов (св=0)

Как следует из приведенной таблицы оба поля описываются одинаковыми по структуре уравнениями и к ним применим принцип двойственности. Таким образом для расчета электрических полей постоянного тока можно применять те же расчетные методы, которые были получены ранее для электростатических полей, при условии соответствующих замен в расчетных формулах физических величин и коэффициентов: . С другой стороны, для экспериментального исследования сложных по конфигурации электростатических полей применяется их физическое моделирование с помощью электрических полей постоянного тока.

В электростатике очень важное значение имеет теоретическое понятие точечного заряда q. По аналогии введем понятие точечного тока i, который растекается в проводящей среде из одной точки, при этом в этой точке плотность тока .

Рассмотрим несколько примеров расчета электрических полей постоянного тока.

Пример 1. Заземлитель шаровой формы с радиусом R находится на большой глубине h (hR). К заземлителю подведено напряжение U (рис. 270).

Заменим суммарный ток, стекающий с поверхности заземлителя точечным током i, который растекается из центра заземлителя. Применим расчетные формулы из теории электростатического поля точечного заряда, заменив

:

,

откуда ,

если принять , то постоянная интегрирования С=0.

Потенциал на поверхности заземлителя при r = R:

 ,

откуда получаем формулы для сопротивления заземлителя и его тока:

.

Пример 2. Заземлитель в виде шара расположен на сравнительно небольшой глубине h, соизмеримой с его радиусом R (рис. 271).

Применим к решению задачи метод зеркальных отображений. Заменим в верхней полуплоскости диэлектрик проводящей средой г и зеркально расположим там такой же заземлитель той же полярности, при этом граничные условия на поверхности земли не изменятся (линии вектора Е направлены по касательной вдоль поверхности). Заменим токи, стекающие с поверхностей обоих заземлителей, равными по величине точечными токами, растекающимися из электрических центров 1 и 2, которые будут смещены относительно геометрических центров так, чтобы сохранились прежними граничные условия на поверхности шаров (поверхности должны остаться эквипотенциальными с потенциалом ц=U). После определения положения электрических центров расчет параметров поля в произвольной точке n производится по методу наложения:

.

При соотношении h>>R потенциал на поверхности заземлителя будет равен:

,

откуда следует формула для определения сопротивления заземлителя:

.

Пример 3. Определить шаговое напряжение на заданном расстоянии х от центра опоры высоковольтной ЛЭП при коротком замыкании одной из фаз линии на опору (рис. 272).



Для упрощения расчетов будем считать, что заземлитель опоры имеет форму полушария с радиусом R. Заменим диэлектрик в верхней части пространства проводящей средой г, а заземлитель дополним зеркальным отображением до полного шара. После таких преобразований решение задачи сводится к расчету поля шарового заземлителя п.1.:

,

где фазное напряжение ЛЭП, R - радиус заземлителя опоры.

Пример 4. Требуется рассчитать электрическое поле вертикального цилиндрического заземлителя диаметром D и длиной h. К заземлителю подведено напряжение U (рис. 273).

Заменим диэлектрик в верхней части пространства проводящей средой г, а заземлитель дополним его зеркальным отображением. Будем считать, что электрический ток стекает с оси заземлителя, где линейная плотность тока стекания [А/м]. Вид функции должен удовлетворять граничным условиям, а именно, поверхность заземлителя должна быть эквипотенциальной с потенциалом ц=U. Расчеты показывают, что линейная плотность тока ф по концам заземлителя значительно больше, чем в его середине. Тогда di=dl элемент тока.

Параметры поля получаются в результате интегрирования соответствующих уравнений по всей длине заземлителя:

.

электрический поле постоянный ток

Расчеты полей сложной конфигурации выполняются, как правило, на ЭВМ методом численного интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений.

Рис. 273

Размещено на Allbest.ru