Переходные процессы в нелинейных цепях описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях сводится, таким образом, к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений. Значительные трудности, возникающие при таких расчетах, обусловлены сложностью решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Для расчета переходных процессов в нелинейных цепях нельзя указать общие методы, применимые для любого класса цепей. Выбор метода расчета всегда индивидуален и определяется конкретными условиями задачи: структурой схемы цепи, видом уравнения аппроксимации нелинейной характеристики, требованиями к форме искомой функции и др. Ниже перечислены наиболее важные методы, которые применяются для расчета переходных процессов в нелинейных цепях:

1) метод интегрируемой аппроксимации характеристики нелинейного элемента;

2) метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента;

3) метод условной линеаризации нелинейного дифференциального уравнения;

4) метод численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Переходные процессы в нелинейных цепях могут существенно отличаться от переходных процессов в аналогичных по структуре линейных цепях. Нелинейность характеристики какого-либо элемента цепи может привести или только к чисто количественному изменению переходного процесса или к его качественным изменениям. В первом случае на некоторых отрезках времени скорость переходного процесса увеличивается, а на других отрезках времени - замедляется. Во втором случае в цепи возникает качественно новые явления, принципиально невозможные в линейных цепях, например, незатухающие автоколебания с произвольной постоянной или плавающей частотой.

2. Расчет переходного процесса методом интегрируемой аппроксимации

Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента отрезками прямой. При такой аппроксимации дифференциальные уравнения цепи на отдельных участках будут линейными и могут быть решены известными методами (классическим или операторным). При переходе от одного участка к другому в дифференциальных уравнениях будут скачком изменяться постоянные коэффициенты, что повлечет скачкообразное изменение коэффициентов в их решении. Решения для отдельных участков сопрягаются между собой на стыках участков на основе законов коммутации.

Рассмотрим применение данного метода к расчету переходного процесса при включении нелинейной катушки к источнику постоянной ЭДС Е (рис. 1а). Нелинейную вебер-амперную характеристику катушки (i) заменим отрезками прямой линии (ломаной линией 0-1-2-3) (рис. 2):

Аппроксимируем отдельные отрезки ломаной линии уравнениями прямой:

1) для отрезка 0-1 , где ;

2) для отрезка 1-2 , где ;

3) для отрезка 2-3 , где .

Коэффициенты аппроксимации ₂₀, ₃₀ определяются из графической диаграммы, а коэффициенты L₁, L₂, L₃ через координаты точек стыка отрезков (0,1, 2,3):

, , .

переходный процесс нелинейная цепь

Рис. 2.

Дифференциальные уравнения для отдельных участков будут иметь вид:

,

где 0, 0, ,

где , , ,

где ,

Решения уравнений для отдельных участков, найденные классическим методом, будут отличаться только постоянными коэффициентами:

1) ,

2) ,

3) ,

где

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий и законов коммутации:

при t = 0, i₁ (0) = 0, из решения (1) следует A₁= I_y,

при t = t₁, i₂ (t₁) = I₁, из решения (2) следует A₂= I₁I_y,

при t = t₂, i₃ (t₂) = I₂, из решения (3) следует A₃= I₂I_y.

Моменты времени t₁, t₂, соответствующие переходу процесса с одного участка характеристики на другой, определяются из совместного решения уравнений для смежных участков в точке стыка:

для точки 1: , откуда следует ,

для точки 2: , откуда следует .

Рис. 3.

Графическая диаграмма переходного процесса показана на рис. 3. Наличие изломов на графической диаграмме искомой функции i (t) объясняется погрешностями аппроксимации характеристики нелинейного элемента возле точек стыка отдельных участков. Достоинство данного метода состоит в том, что он позволяет применить к расчету переходных процессов в нелинейных цепях известные методы расчета переходных процессов в линейных цепях.

Размещено на Allbest.ru