Методы законов Кирхгофа и контурных токов

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

1. Метод законов Кирхгофа

2. Метод контурных токов

1. Метод законов Кирхгофа

Теоретическая база метода: 1-й и 2-й законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей в узле схемы равна нулю

.

2-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в произвольном контуре схемы равна алгебраической сумме ЭДС

.

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме (рис. 16) и определить токи в ветвях, напряжения на отдельных элементах, мощности источников и приемников энергии. Задана схема цепи и параметры ее отдельных элементов (E1, E2, J1, J1, J2, R1, R2, R3, R4, R5).

Анализируем структуру схемы: схема содержит n=3 (0, 1, 2) узлов и m=5 ветвей с неопределенными токами. В ветвях с источниками тока J токи определены источниками. Общее число уравнений должно быть равно числу определяемых токов "m".

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями токов в ветвях схемы (I1, I2, I3, I4, I5).

2) Составляется (n1) уравнений для узлов по первому закону Кирхгофа. Уравнение для последнего n-го узла является зависимым (оно может быть получено путем сложения первых (n1) уравнений).

3) Недостающие m(n1) уравнений составляются по 2-му закону Кирхгофа. Правило выбора контуров для составления уравнений: каждый последующий контур должен включать в себя хотя бы одну новую ветвь, не охваченную предыдущими уравнениями. Число независимых контуров для схемы любой сложности не может быть больше числа m(n1).

Ниже приведена система уравнений Кирхгофа для схемы рис. 16, состоящая из m=5 уравнений, из которых n1=2 составлены для узлов 1 и 2 по 1-му закону Кирхгофа и m(n1)=3 составлены для контуров К 1, К 2, К 3 по 2-му закону Кирхгофа:

узел 1,

узел 2,

контур К 1,

контур К 2,

контур К 3.

4) Система уравнений приводится к матричной форме, составляются матрицы коэффициентов:

;

5) Система уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами, в результате чего определяются неизвестные токи I1, I2, I3, I4, I5. Отрицательные результаты, получаемые для некоторых токов, означают, что их действительные (физические) направления не соответствуют направлениям, принятым в начале расчета.

6) Определяются напряжения на отдельных элементах схемы

мощности источников ЭДС

источников тока

и приемников

.

При этом мощности приемников энергии всегда положительны, а мощности источников энергии могут быть отрицательными, если сомножители в произведениях и не совпадают по направлению.

2. Метод контурных токов

ток напряжение эдс кирхгоф

Теоретическая база метода контурных токов - 2-ой закон Кирхгофа в сочетании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает "свой" контурный ток Ik, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их алгебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определению, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неизвестных составляет m(n1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 17. Параметры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в контурах-ячейках схемы(Iк 1, Iк 2, Iк 3). Контуры-ячейки следует выбирать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с источниками тока J образуют свои контуры с заданными токами (J1, J2).

2) Составляются m(n1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для выбранных контуровячеек с контурными токами Iк 1, Iк 2, Iк 3. В уравнениях учитываются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.

Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 17:

В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:

Здесь введены следующие обозначения:

R11= R1 +R4; R22 = R3 +R4 +R5

и т. д. - собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;

R12 = R21 = R4 ; R23 = R32 = R5

и т. д. - взаимные сопротивления между двумя смежными контурами, они положительны - если контурные токи в ветви совпадают, и отрицательны - если контурные токи в ветви направлены встречно, и всегда отрицательны - если все контурные токи ориентированы одинаково (например, по часовой стрелке), равны нулю - если контуры не имеют общей ветви, например, R13 = R31 = 0 ;

E11 = E1 + J1R4, E22 = E2, E33 = E3 +J2R3

и т. д. - контурные ЭДС, равные алгебраической сумме слагаемых Enn = E + JR от всех источников контура.

Система контурных уравнений в матричной форме:

или в сокращенной

,

где матрица контурных сопротивлений, матрица контурных токов, матрица контурных ЭДС.

3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные контурные токи Iк 1, Iк 2, Iк 3.

4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (I1, I2, I3, I4, I5). Токи ветвей определяются по принципу наложения как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви.

I1 = Iк 1; I2 = Iк 3; I3 = Iк 2 - J2; I4 = Iк 1 - Ik2+ J1; I5 = Iк 2 Ik3 .

5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элементах

Uk = IkRk,

мощности источников энергии

PEk = EkIk, PJk = Uk Jk

и мощности приемников энергии

Pk = Ik2 Rk.

Размещено на Allbest.ru