Инвариантные тензоры малых валентностей в смешанных квантовых системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Инвариантные тензоры малых валентностей в смешанных квантовых системах

В.А. Козлов

Известно [1], что смешанная квантовая система определяется тензорным произведением векторов состояния исходных квантовых систем. Если значения физической величины в смешанной системе равна сумме значений состояния исходных квантовых систем, то она называется аддитивной. Такими величинами являются, например, энергия и заряд. Но не все величины являются аддитивными. Например, полный момент импульса, связанный с законами инвариантности относительно группы вращения SO(3) не является аддитивным. Его сложение подчиняется правилу разложения в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений группы Ли SO(3). Если волновые функции и преобразуются по неприводимым представлениям б и в соответственно группы Ли G, то тензорное произведение преобразуется по правилу

,

где в правой части находится прямая сумма неприводимых представлений. Это означает, что смешанная система может с той или иной вероятностью находиться в состояниях , преобразующихся согласно представлениям группы Ли . С помощью коэффициентов разложения в прямую сумму тензорных произведений по определенному правилу можно вычислить соответствующие вероятности.

В связи с этим представляет интерес вычисление числа инвариантных тензоров малых валентностей и распределение их по типам симметрии Юнга [2].

Разложение пространства тензоров, инвариантных относительно присоединенного представления (Ad ? инвариантных) группы Ли, в прямую сумму инвариантных подпространств ? классическая задача теории линейных представлений групп Ли. Рассмотрим пространство Tk всех ковариантных векторов валентности k, Ad ? инвариантных относительно некоторой группы G. В известной мере, задачу о разложении тензорного пространства Tk позволяет решить использование, так называемых, симметризаторов Юнга. Дадим их краткое описание (подробности можно найти в книге Г.Вейля [3]).

Прежде всего, напомним, что всякий k-валентный тензор можно считать k-линейной функцией . Симметризаторы Юнга d действуют на полилинейных функциях, являются линейными операторами и представляют собой элементы группового кольца симметрической группы Sk. Строятся операторы d по разбиению числа k в сумму невозрастающих слагаемых; d - являются проектами: , кроме того, d - примитивные идемпотенты: невозможно разложение , где

.

Таким образом, d - примитивный проекционный оператор. Имеется теорема: если d - симметризатор Юнга, соответствующий разбиению , то тензоры вида образуют ненулевое неприводимое инвариантное подпространство тензорного пространства Tk. При этом различные разбиения порождают различные, неэквивалентные подпространства. Каждое неприводимое инвариантное подпространство Tk подобно какому-нибудь из подпространств .

Из теоремы непосредственно следует, что тензорное пространство Tk с помощью симметризаторов d можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств путем проектирования d на . Т.к. d - проектор , то имеет смысл говорить о типе симметрии :

, т.к. , где .

Так, если d - есть сумма всевозможных перестановок из k элементов, то ? симметрическая функция, а d - симметрический оператор. Таким образом, принадлежность тензора тому и иному подпространству можно назвать принадлежностью тому или иному типу симметрии, задаваемому симметризатором d. А разложение в прямую сумму пространств Tk ? распределением тензоров по типам симметрии Юнга.

В случае, когда , а k=5 и , k=6 нам удалось получить распределение по типам симметрии Юнга в явном виде. А именно, в явном виде найдены базисы подпространств в разложении Tk на неприводимые части. В качестве функций были взяты полилинейные функции вида (значения k указаны выше). К ним применялись различные операторы Юнга. Привести их здесь не представляется возможным в виду громоздкости. Доказано, что полученные системы тензоров являются максимальными линейно-независимыми.

В случае, когда , , k=6 получить явный вид образующих не удалось. Найдено распределение тензоров по типам симметрии Юнга, откуда нетрудно получить в разложении тензорного пространства Tk . Для этого был использован аппарат когомологических операций Адамса и эквивалентная постановка задачи:

Пусть представление группы Ли действует в пространстве одновалентных тензоров и с помощью представления . Тогда , где ? простейшее неприводимое представление группы . Тензорная степень действует в пространстве k-валентных тензоров и, вообще говоря, приводима:

.

Представление при этом также возводится в тензорную степень k и разлагается на неприводимые компоненты. Число одномерных компонент в этом разложении равно числу линейно независимых ? инвариантных тензоров валентности k. Вложение одномерной компоненты в то или иное означает, что имеется инвариантный тензор, принадлежащий типу симметрии .

Полученные результаты приведем в таблицах 1 и 2. При этом символ, например, соответствует разбиению , и т.д.

Таблица 1

Распределение по типам симметрии тензоров валентности 5, инвариантных относительно присоединенного представления

Таблица 2

Распределение по типам симметрии тензоров валентности 6, инвариантных относительно присоединенного представления

Примечания

1. Желобенко Д.П. Компактные группы и их представления. М., 1970. 664 с.

2. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т. 2. М., 1980. 396 с.

3. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления: пер. с англ.2-е изд. М., 2004. 400 с.

Линейная поляризация излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны в случае, когда вектор поляризации направлен по скорости заряда

И.Н. Жукова

При изучении линейной поляризации излучения заряженных частиц во внешних полях интерес представляет вопрос о выборе вектора поляризации , при котором были бы максимальными мгновенная и средняя по времени степени линейной поляризации (далее СЛП):

, (1)

, (2)

где _ мгновенные мощности компонент глобального (суммарного по всем направлениям) излучения [1 _3].

В общем случае произвольного движения заряда и произвольного направления вектора поляризации мгновенная мощность компоненты глобального излучения получена в работе [3]:

, (3)

где , , _ скорость заряженной частицы, _ ее ускорение.

Глобальная мгновенная мощность излучения не зависит от ориентации вектора поляризации и равна:

поляризация излучение заряд электромагнитный

. (4)

Рассмотрим излучение заряженной частицы в поле плоской эллиптически поляризованной электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси лабораторной системы координат со скоростью . Вектор напряженности электрического поля волны имеет вид:

, (5)

где - амплитуда напряженности электрического поля; _ частота волны; _ параметр, характеризующий поляризацию волны , _ момент излучения. Интеграл движения и параметр интенсивности внешней волны связаны соотношением:

. (6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

С зарядом свяжем мгновенно сопутствующую систему координат , начало которой совпадает с той точкой лабораторной системы координат , в которой находился заряд в момент излучения . Положение заряда в лабораторной системе координат задается радиус - вектором (рис. 1). Точка А, в которой в момент времени наблюдается излучение заряда, удалена на большое расстояние от заряда по сравнению с длиной волны излучения. Моменты излучения и наблюдения связаны соотношением: .

Разложим вектор напряженности электрического поля излучения по двум ортогональным единичным ортам линейной поляризации [5, 6]:

, (7)

где связаны с единичным вектором поляризации и единичным вектором следующим образом:

, , . (8)

Из (8) следует, что компонента излучения характеризует проекцию на плоскость, ортогональную вектору поляризации .

В работе [2] рассмотрено излучение электрона в поле плоской волны круговой поляризации при произвольном выборе вектора поляризации . В работе [4] рассмотрено излучение электрона в поле плоской волны произвольной поляризации для случая, когда вектор поляризации направлен вдоль направления распространения волны, т.е. .

Направим вектор поляризации по скорости движения заряда: и получим зависимость мгновенной и средней по времени степени линейной поляризации от параметра поляризации внешней волны и ее интенсивности . В этом случае

, ,

и выражение (3) для принимает вид

. (9)

Из уравнений движения заряда в поле плоской эллиптически поляризованной электромагнитной волны [7]:

, (10)

находим скорость и ускорение заряда:

, , где . (11)

После преобразований выражений (4) и (9) с учетом (11) и подстановки их в (1), для мгновенной степени линейной поляризации получаем

, (12)

где ; ; .

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рисунке 2 представлены зависимости мгновенной СЛП от времени для внешней волны конкретной поляризации и интенсивности.

Значения мгновенной СЛП при некоторых фиксированных значениях фазового параметра приведены в таблице.

Графики зависимости мгновенной СЛП от положения заряда на орбите в нерелятивистском пределе при и в релятивистском пределе при для внешней волны конкретной поляризации приведены на рисунке 3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Средняя по времени степень линейной поляризации (2) имеет вид:

, (13)

где ; ; .

В релятивистском пределе () средняя СЛП (13) после разложения в ряд по малому параметру с точностью до членов первого порядка малости принимает вид:

. (14)

На рисунке 4 представлена зависимость для различных значений параметра поляризации внешней волны .

На рисунке 5 представлена зависимость для различных интенсивностей внешней волны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как видно из рисунков 4 и 5, в слабой волне поляризация существенно влияет на среднюю по времени СЛП глобального излучения заряда. В этом случае средняя СЛП изменяется в пределах . Поляризация сильной внешней волны практически не влияет на среднюю СЛП излучения и.

Примечания

1. Багров В.Г., Маркин Ю.А. Некоторые вопросы классической теории излучения // Известия вузов. Физика. 1967. Вып. 5. С. 37-42.

2. Багров В.Г. Максимальная поляризация синхротронного излучения // Известия вузов. Физика. 1967. Вып. 8. С.135-137.

3. Багров В.Г., Клименко Ю.И. Линейная поляризация излучения произвольно движущегося заряда // Вестник Московского университета. 1969. № 3. C. 104-107.

4. Жукова И.Н. Исследование зависимости линейной поляризации излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны от ее интенсивности и поляризации // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно - математические и технические науки. Майкоп, 2008. Вып. 9 (37). С. 34-45.

5. Синхротронное излучение: сб. ст. / под ред. А.А. Соколова, И.М. Тернова. М., 1966. 228 с.

6. Теория излучения релятивистских частиц / под ред. В.А. Бордовицына. М., 2002. 576 с.

7. Жукова И.Н. Некоторые особенности линейной поляризации излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны // Труды ФОРА. 2005. № 10. С. 36-43. (URL: http://fora.adygnet.ru)

Размещено на Allbest.ru