Алгоритм Эйлера-Кромера

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕМНОГО ИСТОРИИ

ГЛАВА II. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

ГЛАВА III.СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА И ЕГО ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ

ГЛАВА IV. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

ГЛАВА V. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

ВЫВОДЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



ВВЕДЕНИЕ

Начало XX века - период появления и интенсивного развития квантовой механики, раздела волновой механики. Данный раздел физики устанавливает способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов) а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах. В данном направлении трудились многие выдающиеся физики того времени: Макс Планк, Нильс Бор, Луи де Бройль, Вернер Гейзенберг, Макс Борн, Паскуаль Иордан и др.

Так же неоценимый вклад в развитие современной квантовой теории внес австрийский физик, Эрвин Шрёдингер (см. Рис 1). Основные его работы относятся к области статистической физики, квантовой теории, квантовой механики и биофизики, но главной его работой является разработка теории движения субатомных частиц (т. е. волновой механики) и вывод основного уравнения нерелятивистской квантовой механики.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства.

Целью своей курсовой я поставил изучение стационарного уравнения Шрёдингера и его численного решения в случае положения частицы внутри «потенциальной ямы». В качестве численного метода решения выбран алгоритм Эйлера - Кромера - алгоритм последовательного приближения.



ГЛАВА I. НЕМНОГО ИСТОРИИ

Начало развития квантовой теории датируются 1900 годом, когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением. Как и его предшественники, Планк предположил, что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергия осцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виде небольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения.

В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта - испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение.

Примерно через восемь лет Нильс Бор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Он предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что переход электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональна энергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой. Однако квантовая теория на той стадии еще не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач.

Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда Луи де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы, то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ее энергией, как в случае фотона, но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и ее скоростью. Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в Соединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.

Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер решил применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. Первая попытка, предпринятая им в 1925 г., закончилась неудачей. Скорости электронов в теории Шрёдингера были близки к скорости света, что требовало включения в нее специальной теории относительности Эйнштейна и учета значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.

Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой. В результате было выведено основное уравнение нерелятивистской квантовой механики:

где m - масса частицы, - постоянная Планка, поделённая на , i -мнимая единица, - оператор Лапласа

,

- потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется. Уравнение (1.1) дает математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории. В настоящее время волновая функция лежит в основе квантовомеханического описания микросистем, подобно уравнениям Гамильтона в классической механике.

Незадолго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Матричная механика также позволяла достичь согласия с наблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики не содержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время.

Шрёдингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений.



ГЛАВА II. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

алгоритм шрёдингер уравнение эйлер кромер

На начальном этапе развития квантовой теории возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц, т.е. интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т. е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн (1882-1970) в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая . Эту величину называют также волновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатам

х и y и , и .

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому - с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна

где величина



(квадрат модуля -функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама -функция, а квадрат ее модуля

( - функция, комплексно сопряжённая с ), которым определяется интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна:

Так как определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию нормировать так, чтобы вероятность W достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей:

где данный интеграл (2.5) вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам от до . Таким образом, условие (2.5) говорит об объективном существовании частицы в пространстве.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция , характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями то она также может находиться в состоянии , описываемом линейной комбинацией этих функций:

где (n = 1, 2, ...) - произвольные, вообще говоря, комплексные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция , являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект.



ГЛАВА III. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА И ЕГО ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Для простоты рассмотрим одномерные нерелятивистские квантовые системы, состоящие из одной частицы. Состояние системы полностью описывается волновой функцией . Поскольку частица может находиться в любой точке пространства, то - вероятность того, что частица находится в элементе «объема» dx с центром в точке х в момент времени t, - равна:

где С - нормировочная постоянная. Вероятностная интерпретация означает, что удобно использовать нормированные волновые функции, удовлетворяющие условию:

Тогда постоянная С в выражении (3.1) равна 1.

Если частица движется в потенциале U, то временная эволюция функции описывается нестационарным уравнением Шредингера

Физические величины, такие, как импульс, можно представить операторами. Математическое ожидание, или среднее значение наблюдаемой величины А определяется выражением:



где оператор, соответствующий величине А. Например, оператор, соответствующий импульсу P, имеет вид

.

Если потенциал не зависит от времени, то для уравнения (3.3) можно получить решения вида:

Частица, находящаяся в состоянии (3.5), имеет вполне конкретное значение энергии Е. Если подставить выражение (3.5) в (3.3), то получим стационарное уравнение Шредингера

Заметим, что - собственная функция оператора Гамильтона (гамильтониана)

соответствующая собственному значению Е, т.е.

Общее решение можно выразить в виде суперпозиции собственных функций оператора, отвечающего той или иной физической наблюдаемой величине. Например, если Н не зависит от времени, то можно записать

где - собственные функции оператора Н, а знак ? обозначает сумму по всем дискретным состояниям и интеграл по непрерывному спектру. Коэффициенты в формуле (3.9) можно определить из значения в любой момент времени t. Например, если нам известна при , то можно воспользоваться свойством ортогональности собственных функций любого физического оператора и получить:

Коэффициент можно интерпретировать как амплитуду вероятности измерения полной энергии, при котором получается значение .

Рассмотрим решения стационарного уравнения Шредингера (3.6), соответствующие связанным состояниям. Основной результат будет заключаться в том, что допустимые решения уравнения (3.6) существуют только тогда, когда собственные значения квантованы, т.е. ограничены дискретным набором энергий. Чтобы решение было допустимым, функции должны быть конечны для всех значений x и ограничены для больших значений |x| так, чтобы функцию можно было нормировать. Для конечной функции требуется, чтобы функции

и



были непрерывны, конечны и однозначны для всех х.

Поскольку стационарное уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка, то для получения единственного решения необходимозадать два краевых условия. Для упрощения анализа рассмотрим симметричные потенциалы, удовлетворяющие условию

Как следует из условия (3.11), можно считать, что функции обладают определенной четностью. Для четных решений

;

нечетных решений

.

Определенная четность позволяет задать либо либо при х = 0.

Чтобы был понятен выбор подходящего алгоритма численного решения уравнения (3.6), напомним, что решение (3.6) с U можно представить в виде линейной комбинации косинусов и синусов. Колебательный характер этого решения позволяет надеяться, что алгоритм Эйлера - Кромера, рассмотренный ниже, будет давать удовлетворительные результаты и в случае U. Алгоритм Эйлера - Кромера реализуется следующим образом:

Разбиваем область изменения х на N отрезков длиной ?x. Введем следующие обозначения:



и

Задаем четность функции . Для четного решения выбираем и ; для нечетного выбираем и . Ненулевые значения и произвольны.

Задаем начальное приближение для Е.

Вычисляем и используя алгоритм:

Проводим итерации по возрастанию х до тех пор, пока не начнет расходиться.

Изменяем величину Е и повторяем шаги (2) - (4). Окаймляем значение Е, изменяя его до тех пор, пока при значении Е чуть меньше текущего не будет расходиться в одном направлении, а при значении Е чуть больше - в противоположном направлении.



ГЛАВА IV. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Реализация алгоритма описанного в третьей главе представлена в программе “Shred.pas” (см. Приложение 1) для прямоугольной ямы, описываемой формулой:

Основными изменяемыми параметрами являются: - потенциал вне ямы, a - полуширина ямы, Е - предполагаемое значение энергии частицы и величина шага ?x.

Краткий обзор работы программы:

строки 4-7 - определение основных параметров системы;

процедура “graf” (строки 12-28) - вывод на экран системы координат;

строки 48-57 - расчет значения волновой функции на следующем шаге последовательного приближения;

строки 58-65 - расчет следующего значения собственной энергии частицы E;

строки 71-86 - визуализация полученной волновой функции.

В результате работы с программой были получен вид волновой функции и вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х для первых пяти значений собственной энергии частицы (см. Рис. 2).



ГЛАВА V. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к рассматриваемой задаче.

Уравнения (1.1) в случае одномерного пространства запишется в виде:

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х = 0 и х = l) непрерывная волновая функция также должна обращаться в ноль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид:

В пределах «ямы» уравнение Шредингера (5.1) сведется к уравнению:

Или

где



Общее решение дифференциального уравнения (5.4) имеет вид:

Так как по (5.2) , то B=0. Тогда:

Условие

выполняется только при

,

где n - целые числа, т.е. необходимо, чтобы

Из выражений (5.5) и (5.8) следует, что

т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях , зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия частицы принимает лишь определенные дискретные значения. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» может находиться только на определенном энергетическом уровне , или, как говорят, находиться в квантовом состоянии n.

Подставив в (5.7) значение k из (5.8) найдем собственные функции:

Постоянного интегрирования A определим из условия нормировки (5.4), которая в данном случае запишется в виде:

В результате интегрирования получим

,

а собственные волновые функции будут иметь вид:

Графики собственных функций (5.12), соответствующие уровням энергии (5.9) при n = 1, 2, 3, 4 и 5, имеют тот же вид (см. Рис. 3), что и полученные при численном решении поставленной задачи. На Рис. 4 и Рис. 5 изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная

для n = 1, 2 и 3 (см Рис. 4) и для n = 4 и 5 (см. Рис. 5).



ВЫВОДЫ

В результате проведенной работы получил волновое уравнение Шрёдингера и плотность вероятности (т.е. вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х) для частицы в потенциальной яме. Так же была написана программа на языке Pascal, определяющая вид волнового уравнения и приблизительную плотность вероятности и основанная на алгоритме Эйлера-Кромера. Значения, полученные численным методом, совпали с аналитическим, что говорит о действенности алгоритма Эйлера-Кромера применительно к этой задаче.



ПРИЛОЖЕНИЕ 1

В данном разделе представлена программа, алгоритм которой описан в третьей главе.

	Program Sred;
	uses Crt, Graph;
	Const
	dx=0.0001;
	u=1e9;
	a=25;
	var
	Gd,Gm,l,j,i:integer;
	e,de,x,f0,f,f1,f2,y:real;
	res:text;
	procedure graf (a:integer);
	Begin
	line(100, 100, 100, 500);
	line(450, 100, 450, 500);
	line(100, 350, 920, 350);
	line(275, 343, 275, 357);
	OuttextXY(915, 353,'X');
	OuttextXY(272, 363,'0');
	OuttextXY(89, 105,'F');
	OuttextXY(454, 105,'F');
	line(550, 100, 550, 500);
	line(900, 100, 900, 500);
	line(725, 343, 725, 357);
	OuttextXY(723, 363,'0');
	OuttextXY(523, 105,'F*F');
	OuttextXY(904, 105,'F*F');
	end;
	begin
	assign(res,'out.txt');
	rewrite(res);
	Gd := Detect;
	InitGraph(Gd, Gm, '');
	if GraphResult <> grOk then Halt(1);
	graf(a);
	e:=-70;
	f0:=-1;
	y:=-0.9;
	for j:=1 to 5 do begin
	y:=y+1.5;
	e:=e+100;
	de:=10;
	f0:=-1*f;
	repeat
	x:=-a;
	f1:=1;
	f:=0;
	Repeat
	x:=x+dx;
	if abs(x)>a
	then
	f2:=dx*(u-e)*f
	else
	f2:=-dx*e*f;
	f1:=f1+f2*dx;
	f:=f+f1*dx;
	until (abs(f)>50)or(x>180);
	if (f>0)and(f0<0)or(f<0)and(f0>0) then
	begin
	e:=e-de;
	de:=de/10;
	f:=-f;
	end;
	f0:=f;
	e:=e+de;
	until (KeyPressed)or(de<1e-13);
	writeln(res,e:2:10);
	x:=-a;
	f1:=1;
	f:=0;
	Repeat
	for i:=1 to 200 do
	begin
	x:=x+dx;
	if abs(x)>a
	then
	f2:=dx*(u-e)*f
	else
	f2:=-dx*e*f;
	f1:=f1+f2*dx;
	f:=f+f1*dx;
	end;
	putpixel(275+round(x*7),350-round(f*10),j);
	putpixel(725+round(x*7), 350-round(f*f*y),j);
	writeln(res,x:2:3,'',f:2:5,'',f*f:2:5);
	until (abs(f)>50)or(x>180);
	end;
	readln;
	end.



ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Рис. 2 Результат работы программы для первых пяти собственных значениях энергии

Рис. 3 Результат аналитического решения для первых пяти значениях энергии



Рис. 4 Результат аналитического решения для первых трёх значений энергии

Рис. 5 Результат аналитического решения для четвёртого и пятого значения энергии



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Компьютерное моделирование в физике. Ч.2. Учебное издание/ Х. Гулд, Я. Тобочник. - М.: Мир, 1990. - 349с.

Курс физики: Учеб. пособие для вузов. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1999. - 425с.: ил.

Размещено на Allbest.ru