Изучение законов сохранения момента импульса и энергии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изучение законов сохранения момента импульса и энергии

закон импульс баллистический маятник

Изучение законов сохранения момента импульса и энергии: Методические указания к лабораторной работе № 2 по курсу общей физики /Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Cост. Л.В. Рабчук. -Уфа, 2002 - 14 c.

Рассматриваются законы сохранения момента импульса и энергии на примере определения скорости полета пули с помощью крутильного баллистического маятника.

Методические указания предназначены студентам университета, изучающим курс физики.

Скорость - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения материальной точки.

Вектором средней скорости называют отношение приращения радиуса - вектора точки к промежутку времени t, в течение которого произошло это приращение:

Мгновенной скоростью называют предел к которому стремится данное отношение при t стремящемся к нулю:

,

т.е. мгновенная скорость равна первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.

Модуль мгновенной скорости равен первой производной от пути по времени:

,

.

Средняя скорость неравномерного движения <v> равна

.

Импульсом материальной точки называют векторную величину, численно равную произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющую направление скорости

.

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной оси ОО ^/ называют векторную величину:

,

где - радиус - вектор, проведенный от оси ОО ^/ до точки А.



Рис. 2.1

Модуль вектора момента импульса

где - угол между векторами и ,

l - плечо вектора относительно оси ОО /.

Направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к (рис. 2.1).

Силой называют векторную физическую величину, являющуюся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел.

Силы, работа которых определяется только начальным и конечным положением тела и не зависит от формы траектории, называют консервативными или потенциальными (например, сила тяжести, сила упругости). Силы, работа которых зависит от траектории перемещающегося тела из одной точки в другую, называют диссипативными или непотенциальными.

Количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи является энергия. В соответствии с различными формами движения и взаимодействия материи различают виды энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и другие. Механическая энергия является мерой механического движения рассматриваемой системы, а также механического взаимодействия тел системы друг с другом и с внешними телами. Различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетической энергией механической системы называют энергию механического движения этой системы. Она определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение.

Кинетическая энергия тела массы m, движущегося поступательно со скоростью v, определяется выражением:

.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ОО ^/

,

где I - момент инерции тела относительно оси ОО ^/,

- угловая скорость вращения тела.

В случае, когда тело катится (одновременно совершает поступательное и вращательное движение), кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движения

,

где v_c - скорость центра масс тела,

I_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Потенциальная энергия - это энергия взаимодействия тел, зависящая от вида силового взаимодействия.

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h над поверхностью Земли

П = m g h.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

,

где k -коэффициент упругости,

x - величина деформации.

Потенциальная энергия закрученной нити

,

где D -модуль кручения нити (коэффициент момента упругих сил или коэффициент упругости при крутильных колебаниях),

- угол поворота.

Модуль кручения нити равен

,

где N - модуль сдвига материала нити,

r - радиус нити,

l - длина нити.

Сумму потенциальной и кинетической энергии называют полной механической энергией.

Законы сохранения импульса, момента импульса, энергии

Совокупность материальных точек или тел, выделенных для рассмотрения, называют механической системой. Силы взаимодействия между телами системы называют внутренними; силы, с которыми на тела системы действуют внешние тела, называют внешними. Если на механическую систему тел внешние силы не действуют, то такую систему называют замкнутой или изолированной. В замкнутой системе оказываются неизменными три физические величины: импульс, момент импульса, энергия. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения: закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса, закон сохранения энергии.

Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса.

Второй закон Ньютона для поступательного движения записывается как

, (2.1)

где - векторная сумма сил, действующих на материальную точку,

- скорость изменения импульса материальной точки.

Для системы из n материальных точек уравнение (2.1) можно записать в виде

,

где - импульс всей системы.

Перепишем это уравнение в виде

, (2.2)

где - равнодействующие внутренних и внешних сил, действующих на систему.

Согласно третьего закона Ньютона, геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, следовательно, уравнение (2.2) примет вид

, (2.3)

т.е. скорость изменения импульса системы тел равна сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Если система замкнута, сумма внешних сил равна нулю и уравнение (2.3) запишется как

, или const . (2.4)

Это равенство выражает закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Второй закон Ньютона для вращательного движения имеет вид

, (2.5)

где - векторная сумма моментов сил, действующих на тело,

- скорость изменения момента импульса тела.

Для системы из n тел можно записать

, (2.6)

где - момент импульса всей системы.

Уравнение (2.6) запишем в виде

, (2.7)

где и - векторные суммы моментов внутренних и внешних сил системы.

Так как геометрическая сумма моментов внутренних сил равна нулю, то

. (2.8)

Из (2.8) следует, что скорость изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему.

Если система замкнута, то

 , или const. (2.9)

Уравнение (2.9) выражает закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы остается постоянным.

Закон сохранения энергии.

Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы

A₁₂ = E_к2 - E_к1.

Если на частицу диссипативные силы не действуют, то эта работа равна убыли ее потенциальной энергии

A₁₂ = E_п1 - E_п2.

Следовательно,

E_к2 - E_к1 = E_п1 - E_п2

Или

E_к1+ E_п1 = E_к2 + E_п2= const. (2.10)

Уравнение (2.10) справедливо не только для простейшей системы, состоящей из одной частицы, но и для системы, состоящей из n тел, и выражает закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют неконсервативные силы (например, силы трения), то полная механическая энергия не сохраняется. Работа неконсервативных сил равна изменению полной механической энергии.

Крутильный баллистический маятник

Метод определения скорости полета пули в данной работе основан на законах сохранения энергии и момента импульса системы «пуля - крутильный баллистический маятник».

Баллистическим маятником называют тяжелое тело, подвешенное на длинной нити. Крутильный баллистический маятник - это маятник, совершающий повороты вокруг неподвижной оси то в одну, то в другую сторону. Крутильный баллистический маятник совершает гармонические колебания, если действующий на него вращающий момент M пропорционален углу поворота

M = -D .

Представим маятник в виде стержня, подвешенного на нити длиной l (рис.2.2)

Рис. 2.2

Пуля массы m, летящая поступательно со скоростью v, обладает импульсом p=mv. В момент столкновения пули с маятником в точках А и В ее скорость можно рассматривать как линейную скорость при вращательном движении пули, обладающей моментом импульса mvr.

Согласно закону сохранения момента импульса mv r = I , (2.11)

где I - момент инерции маятника,

- угловая скорость маятника,

I - момент импульса маятника.

Упругая сила, возникающая в проволоке при ее закручивании (повороте), будет противодействовать вращению маятника. Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия маятника после взаимодействия с пулей равна потенциальной энергии проволоки при ее закручивании

. (2.12)

Решая совместно уравнения (2.11) и (2.12) получим

. (2.13)

Коэффициент момента упругих сил D равен I² (сравнить с k = m²), где - частота колебаний маятника, равная ,т.о.

, (2.14)

где Т - период колебаний.

С учетом (2.14) уравнение (2.13) запишем

. (2.15)

Момент инерции маятника, используемого в данной работе, складывается из момента инерции стационарной части маятника I_o (проволоки, стержней, мисочки с пластилином) и момента инерции двух перемещаемых грузов массой m_гр

I=I_o+m_гр R², (2.16)

где R -расстояние от грузов до оси вращения.

Из уравнения (2.14) следует

. (2.17)

Для двух разных положений грузов можно записать

,

. (2.18)

Из уравнений (2.18) следует, что

. (2.19)

После подстановки (2.19) в (2.16) и (2.17) выражение (2.15) принимает вид:

. (2.20)

Приборы и принадлежности

- Специальная лабораторная установка;

- пуля;

- секундомер;

- линейка.

Общий вид установки для определения скорости полета пули приведен на рис.3.1. Крутильный баллистический маятник состоит из стержня (1), укрепленного на проволоке (2), на котором располагаются два неподвижных груза (3,4) и мисочка с пластилином (5), в которую будет попадать пуля. Проволока (2) укреплена на кронштейнах (6,7), насаженных на стойку (8). Стойка жестко соединена с основанием (9), горизонтальное положение которой регулируется ножками (10). На стойке также размещаются кронштейн (11) со стреляющим устройством (12), прозрачная шкала углов (13).

Рис. 3.1.

Требования по технике безопасности

1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и оборудованием.

2. На стреляющем устройстве пулю располагайте строго в направляющем стержне, чтобы она не попала в прозрачную шкалу или в аудиторию.

По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. Отключите секундомер.

Порядок выполнения работы

1. С помощью ножек 10 выровнять прибор, чтобы крутильный баллистический маятник мог совершать свободные колебания.

2. Максимально приблизить грузы друг к другу (R₁=R_min).

3. Установить маятник таким образом, чтобы черта на мисочке совпадала с нулем на угловой шкале 13.

Зарядить пулю в стреляющее устройство и сделать выстрел.

Измерить угол поворота маятника и расстояние r от пули до оси вращения.

Измерения по пунктам 3-5 провести 3 раза. Вычислить среднее значение _ср и r_ср.

Отклонить маятник на угол и измерить с помощью секундомера время 10 колебаний. Измерения повторить еще 2 раза. По среднему времени вычислить период Т₁.

Максимально отдалить грузы друг от друга (R₂=R_max). Отклонить маятник на угол =_ср и измерить с помощью секундомера время 10 колебаний. Измерения повторить еще 2 раза. По среднему значению времени вычислить период Т₂.

По формуле (2.20) вычислить скорость пули, приняв m=(3,220,01) г, m_гр=(2001) г, R₁=2 см, R₂=9 см. При расчетах угол выразить в радианах.

Таблица 1

№ измер	ср	rср	n1	t1	t1 ср	T1	n2	t2	t2 ср	T2
1
2
3

Рассчитать погрешность определения скорости пули.

Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

а) номер и название лабораторной работы;

б) основные положения теории метода;

в) основные формулы для выполнения расчетов;

г) таблицу с результатами измерений;

д) формулу для расчета погрешности измерения скорости полета пули;

е) запись конечного результата;

ж) вывод по работе.

Контрольные вопросы

1. Какой маятник называется крутильным баллистическим маятником?

Что называется моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки?

Что называется моментом импульса материальной точки (твердого тела) относительно неподвижной оси?

Как определяется направление вектора момента импульса?

Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

Запишите закон сохранения момента импульса для системы пуля - маятник. Раскройте физический смысл величин, входящих в уравнение.

Запишите закон сохранения энергии для системы маятник - упругая проволока. Раскройте физический смысл величин, входящих в уравнение.

Список литературы

1. Савельев И.В. Курс физики. Кн. 1 Механика. -М.: Наука. Физматлит, 1998.- 336с.

2. Детлаф А.Н., Яворский Б.М. Курс физики. -М.: Высшая школа, 2000.- 718с.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. -М.: Высшая школа, 1999. 542с.

Размещено на Allbest.ru