Анализ динамического поведения механической системы с упругими связями

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

Расчетная схема представлена на рис. 2, здесь обозначено:

Рис. 2

- силы тяжести,

- нормальная реакция опорной плоскости,

- упругая реакция пружины,

- реакция подшипника блока 3,

- сила вязкого сопротивления,

- возмущающая сила,

- сила сцепления.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

, (1.1)

где T - кинетическая энергия системы,

N^e - сумма мощностей внешних сил,

Nⁱ - сумма мощностей внутренних сил.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему:

T=T₁+T₂+T₃+T₄.

Груз 1 совершает поступательное движение, его кинетическая энергия:

.

По условию задачи блок 2 считается невесомым, поэтому его кинетическая энергия: T₂=0.

Блок 3 совершает вращательное движение, его кинетическая энергия:

,

где - момент инерции относительно центральной оси блока,

- угловая скорость блока.

Каток 4 совершает плоскопараллельное движение, его кинетическая энергия:

,

где - скорость центра масс катка,

- момент инерции относительно центральной оси катка,

- угловая скорость катка.

Кинетическая энергия всего механизма равна:

. (1.2)

Выразим , и через скорость груза 1:

,

,

; , (1.3)

; ,

,

; .

Подставляя кинематические соотношения (1.3) в выражение (1.2) получаем:



, (1.4)

где m_пр - приведенная масса:

,

кг

Найдем производную от кинетической энергии по времени: .

Вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:

.

Мощность момента силы равна алгебраическому произведению момента силы на угловую скорость вращения тела, к которому приложен момент:

.

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю: .

Будут равняться нулю мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю: и . Сумма мощностей остальных внешних сил:

,

.

С учетом кинематических соотношений (1.3) сумму мощностей внешних сил определим:

где

- приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме статического и динамического S_F удлинений:

.

Сила вязкого сопротивления

,

В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.5) S=S=0 и F_(t)=0, получаем условие равновесия системы:

=0.

Отсюда статическое удлинение пружины равно:

. (1.6)

Подставляя выражение (1.6) в (1.5), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

. (1.7)

Подставив выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.7) в уравнение (1.1) получаем дифференциальное уравнение движения системы:

где - приведенная жесткость пружины,

- приведенный коэффициент сопротивления.

Перепишем предыдущее уравнение в виде:

,(1.8)

где ; - показатель степени затухания колебаний,

; - частота собственных колебаний.

Начальные условия движения при t=0: S=S₀=0,1 м и S=S₀=0,03 м/с

2. Определение закона движения системы

Дифференциальное уравнение движения механической системы:

, (2.1)

где ; .

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (2.1). Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения складывается из общего решения однородного уравнения S_OD и частного решения неоднородного S_ч: S= S_OD+ S_ч. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

,

Отсюда получаем: .

Так как n<k решение однородного уравнения имеет вид:

,

где ; k₁=24,38c^-1.

Частное решение дифференциального уравнения (2.1) ищем в виде правой части:

, (2.2)

где ; .

Подставляя (2.2) в (2.1), после несложных преобразований получаем:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных B₁ и B₂:

,

.

Решая эту систему, получаем следующие выражения:

;

.

;

.

;

.

; .

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения в виде:

,

.

Постоянные интегрирования A₀ и определяются из начальных условий, при t=0 имеем:

,

.

Решая эту систему получаем:

;

.

;

.

Закон движения имеет вид:

.

3. Определение реакций внешних и внутренних связей

Разобьем механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 3). Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения .

Тело 1: ,

проекции на ось S: .

Тело 2: ,

проекция на ось y₂: , так как m₂=0, то 0=T₂₁-T₂₀-T₂₃.

, , так как =0, то 0=.

Тело 3: ,

Проекции на ось x₃: ,

Проекции на ось y₃: ,

, .

Тело 4: ,

Проекции на ось x₄: ,

Проекции на ось y₄: ,

, .

С учетом кинематических соотношений (1.3) полученную систему уравнений преобразуем к виду:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Решая эту систему, получаем выражения для определения реакций связей:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

4. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа:

, (4.1)

где - сумма элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы;

- сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис. 4). Идеальные связи и не учитываем и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

.

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем:

. (4.2)

Найдем возможную работу сил инерции:

.

Запишем выражения для главных векторов и главных моментов сил инерции:

, ,

, .

Используя кинематические соотношения (1.3), можно записать:

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:

, (4.3)

где ,

Подставляя выражения (4,2) и (4,3) в общее уравнение динамики (4,1), получаем:

Поделив это уравнение на, получим дифференциальное уравнение колебаний системы:

,

где ; ,

; .

Начальные условия движения при t=0: S=S₀=0,1 м и .

механический нить тело движение

Литература

1. Бертяев В.Д. Краткий курс теоретической механики: учебник для вузов / В.Д. Бертяев и др. - Ростов - на - Дону: Феникс, 2010. - 200 с.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 2005. - 607 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 2003. - 482 с.

4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Т.2 - М.: Высшая школа, 2004. - 424 с.

Размещено на Allbest.ru