Электрические измерения физических величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Параметры гармонического колебания

2. Гармонические колебания и их характеристики

3. Типы колебаний

4. Уравнение гармонического осциллятора

Список использованной литературы

1. Параметры гармонического колебания

А - амплитуда, т.е. максимальное смещение от положения равновесия;

- фаза колебаний, которая измеряется в радианах;

- начальная фаза, т.е. фаза в момент времени ;

T - период колебаний, т.е. время одного полного колебания;

Частота колебаний, т.е. число колебаний в единицу времени:

Поскольку косинус - функция периодическая с периодом , то:

- циклическая частота.

В случае колеблющегося шарика, подвешенного на пружине:

Продифференцировав x(t) по времени, получим выражение для скорости:

А продифференцировав еще раз, найдем выражение для ускорения:

Рисунок 1 - Графики смещения скорости и ускорения:

Из сравнения этих выражений следует, что скорость v опережает смещение х по фазе на , а ускорение а и смещение х находятся в противофазе.

2. Гармонические колебания и их характеристики

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

Где:

A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия);

- круговая (циклическая) частота.

Периодически изменяющийся аргумент косинуса, называется фазой колебаний. Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная ц представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.

Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний. Косинус - периодическая функция с периодом 2р, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2р, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний равен:

T = 2р /

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний н.
Частота гармонических колебаний равна:

н = 1 / T

Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.
Круговая частота:

= 2р / T = 2 рн

Что дает число колебаний за 2р секунд.

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис. 2), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм):

Рисунок 2:

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний.

Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом ц к оси х, то его проекция на ось х будет равна: Acos(ц). Угол ц и есть начальная фаза.

Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:

Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний ц, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний.

Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний н.

3. Типы колебаний

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают такие колебания, как: механические, электромагнитные, электромеханические и т.п. При механических колебаниях периодически изменяются положения и координаты тел. При электрических - напряжение и сила тока. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными (собственными) колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того, чтобы вызвать колебания, надо либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы (например, колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу).

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой. То есть система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой - случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания - параметрическими.

Несмотря на разную физическую природу, для колебаний характерны одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами. Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той функции времени, которая описывает изменение той или иной физической величины при колебаниях. Наиболее важными являются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Они называются гармоническими. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер очень близких к гармоническим. Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение, или суперпозиция, гармонических колебаний.

4. Уравнение гармонического осциллятора

Гармоническое колебание описывается периодическим законом:

Рис. 3 - Гармоническое колебание:

Здесь - характеризует изменение какой-либо физической величины при колебаниях (смещение положения маятника из положения равновесия; напряжение на конденсаторе в колебательном контуре и т.д.), A - амплитуда колебаний, - начальная фаза, - циклическая частота; величину называют также собственной частотой колебаний.

Такое название подчеркивает, что эта частота определяется параметрами колебательной системы. Система, закон движения которой имеет вид (рис. 3), называется одномерным гармоническим осциллятором. Помимо перечисленных величин для характеристики колебаний вводят понятия периода:

Т.е. времени одного колебания, и частоты:

Определяющей число колебаний в единицу времени. За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц). Дифференцируя дважды по времени уравнение, получаем соотношение:

Называемое уравнением одномерного классического гармонического осциллятора с частотой . Это дифференциальное уравнение имеет второй порядок, поэтому у него есть два независимых решения.

Одно из них:

Другим независимым решением является:

Общее решение уравнения можно записать как линейную комбинацию независимых решений:

Часто полагают, что C₁=1, C₂=-i. Тогда в соответствии с формулой Эйлера:

Выражение может быть записано в виде:

Такой комплексной формой записи закона гармонического колебания широко пользуются. Это связано с удобством работы с экспоненциальной функцией. Так как наблюдаемые значения каждой физической величины вещественны, то наблюдаемый закон гармонических колебаний может быть получен из взятием вещественной части от величины z(t), которая называется комплексным вектором колебаний:

Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся величины также совершают гармонические колебания той же частоты:

Амплитуды и равны соответственно и . Колебание опережает ; а колебание опережает на . Значения A и могут быть определены из заданных начальных условий и:

колебание синус осциллятор

Список использованной литературы

1. Лавренчик В.Н. Постановка физического эксперимента и статистическая обработка его результатов: Учебное пособие для вузов.-М.: Энергоатомиздат, 1986-272с.

2. Левшина Е.С., Новицкий П.В. Электрические измерения физических величин: (Измерительные преобразователи). - Л.: Энергоатомиздат. Ленинград. отд-ние, 1983.

3. Спектов С.А. Электрические измерения физических величин.-Л.: Энергоатомиздат, 1987.

4. Электрические измерения/ Под ред.В.Н. Малинского. - М.: Энергоатомиздат., 1985.

5. Соловьев В.А., Яхонтова В.Е. Основы измерительной техники. - Л.: Изд-во Ленинградского ум-та,1980.

Размещено на Allbest.ru