Дифференциальные уравнения гидростатики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Закон Паскаля

В покоящейся жидкости градиенты скорости равны нулю:

grad V = = = = 0.

Касательные напряжения пределяются из зависимости:

Ф = м ,

поэтому они также равны нулю, т. е.: фx,y= фy,z= фzx= 0. Таким образом, в покоящейся жидкости касательные силы вязкого трения отсутствуют. Гидростатическое давление, равное нормальному напряжению в жидкости, принято считать направленным внутрь объёма жидкости, так как реальные жидкости слабо сопротивляются разрыву. Гидростатическое давление (нормальное напряжение) в данной точке одинаково по всем направлениям. Докажем это утверждение. Допустим, что в системе координат x, y, z покоится жидкая частица в виде тетраэдра АВСО (рис.2.2) с ребрами dx, dy, dz. На частицу действуют удельные массовые силы Fx, Fy, Fz и поверхностные Рх, Ру, Рz,Рn. Поверхностные силы элементарного тетраэдра пропорциональны произведению двух длин сторон тетраэдра, а массовые - пропорциональны объему. Условие равновесия жидкого тетраэдра по оси х можно записать так:

Px dydz + с dxdy dz·Fx - Pn dS cos(n^x) = 0,



где dS cos(n^x) = dydz - проекция наклонной площадки тетраэдра АВС на плоскость yоz; n - орт нормали к наклонной грани.

Подставим в уравнение значения dS cos(n^x), тогда Pxdydz + сFxdxdydz - Pndydz = 0,или Рx + сFxdx - Pn= 0.

Доля бесконечно малого тетраэдра dx>0, поэтому сFxdx - Pn= 0. Аналогично по другим осям координат:

Py=Pn, Pz=Pn.

Так как Px, Py, Pz равны Pn, то они равны и между собой

Px= Py= Pz= Pn,

таким образом, теорема о равенстве гидростатического давления в данной точке, независимо от напряжения, доказана. Этот закон носит имя Паскаля.

2. Дифференциальные уравнения гидростатики (уравнения Эйлера)

Fx-=0. Fy-=0 Fz-=0

Полученную систему уравнений называют дифференциальными уравнениями гидростатики или уравнениями Эйлера.



(4.2)

Уравнение (4.2) называют уравнением гидростатики в дифференциальной форме. При р=const dp=0 поэтому Fxdx+Fydy+Fzdz=0 --Есть не что иное, как уравнение поверхности равного давления. Массовые силы удовлетворяют условиям

Fx= -;Fy= - ; Fz= -.

Где П- некоторая функция, которую называют функцией потенциала массовых сил. Тогда из (4.1) после суммирования имеем -() - ()=0. Что можно записать в виде

grad П+ grad

p= 0, Где grad П и grad Р есть соответственно градиенты массовых сил и давления.

3. Основное уравнение гидростатики

P = P0+gh

уравнение часто называют основным уравнением гидростатики. Оно показывает, что абсолютное гидростатическое давление в любой точке пространства, занятого жидкостью, равно сумме внешнего давления и избыточного давления Избыточное давление может быть как положительным так и отрицательным, например, в точке О2, где избыточное давление Pизб.=.

Так как Земля окутана атмосферой, то все объекты на поверхности Земли испытывают атмосферное давление. Поэтому в технических расчётах часто давление отсчитывают от атмосферного. Рассмотрим числовую ось давлений. Давление, отсчитываемое от нуля, будет абсолютным давлением (P). Положительное избыточное давление, отсчитываемое от уровня атмосферного давления называют манометрическим давлением: Pm=P - Pa

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом, т. е. В этом случае наблюдается разрежение по отношению к атмосферному давлению B=Pa - P. Уравнение (1.3) можно записать в виде, разделив на

.

В уравнении (4.10) каждый член представляет собой напор.

Т.о. Напор жидкости можно представить как столб жидкости некоторой высоты и как удельную энергию.Величину называют полным гидростатическим напором, z - геометрическим напором, - пьезометрическим напором. Таким образом, в любой точке пространства, занятого покоящейся жидкостью, сумма геометрического и пьезометрического напоров постоянна и равна полному напору.

4. Барометрическая формула

Для определения давления атмосферы на заданной высоте уравнение гидростатики непосредственно не может быть примерно, так как плотность воздуха величина переменная и зависит от давления. Напишем из дифференциального уравнения гидростатики



а(/)

формулу называют барометрической формулой. Она позволяет определить давление до высот порядка 20 - 30 км. В более высоких слоях нужно учитывать, что величина переменная.

5. Форма свободной поверхности жидкости в сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси

Если угловая скорость вращения равна , то j=2x а, следовательно

Проинтегрируем это уравнение и найдём z

На поверхность жидкости p=pa, поэтому

0+2x2/ 2g - P-Pa / g,

что представляет собой параболу в плоскости xoz а, следовательно свободная поверхность жидкости есть параболоид вращения. Свободная поверхность жидкости является изобарой, так как а Другие изобары, согласно (4.16) будут повторять форму поверхности жидкости и располагаться эквидистантно от неё.

6. Эпюры гидростатического давления на вертикальную стенку

Допустим, вертикальная стенка гидротехнического сооружения (рис. 1) затоплена жидкостью плотностью с на глубину h. Очевидно, что в точке А избыточное гидростатическое давление равно нулю, так как h=0, а полное давление, следовательно, равно внешнему давлению Ра.

Рис. 1

В точке В согласно уравнению гидростатики избыточное давление равно сgh, а полное

Уравнение гидростатики есть уравнение прямой линии. Поэтому для построения эпюр избыточного и полного давления достаточно определить давление в двух точках и соединить найденные точки прямой линией. Поэтому отложим по горизонтальной линии от точки В значение сgh, найденную точку С соединим с точкой А. Полученный отрезок АС и представляет собой эпюру избыточного давления на стенку АВ. Для получения эпюры полного давления отложим по горизонтали от точки А отрезок равный Ра, то же от точки С, полученные точки А1 и С1 соединяем прямой линией А1С1, которая и будет эпюрой полного давления на вертикальную стенку. Для наглядности, вычерчивают (через произвольный интервал) стрелки, показывающие величину и направления действия давления на стенку.

7. Эпюры гидростатического давления на плоскую наклонную стенку

Допустим (рис. 2) стенка гидротехнического сооружения наклонена на угол б и затоплена на глубину h. Очевидно, что в точке А избыточное гидростатическое давление равно нулю, а в точке В величине сgh.

Рис. 2

Так как давление на стенку действует по нормам, то для построения нужно провести перпендикуляры к точкам А и В. На перпендикуляре, проходящем через точку в откладываем отрезок сgh и соединяем полученную точку С прямой линией с точкой А. Полученная прямая АС и есть эпюра избыточного давления на стенку. Для построения эпюры полного давления на перпендикулярах к точке А и В наносим точки А1 и С1 на расстоянии равном Pa. Соединив точки А1 и С1 получаем эпюру полного гидростатического давления.

Так же как и в первом случае (рис. 2) наносим стрелки, представляющие величину и направление движения



8. Эпюра гидростатического давления на тонкую вертикальную стенку

Построим эпюры гидростатического давления на вертикальную стенку АВ (рис. 3). В данном случае на стенку АВ внешнее давление Pa действует как справа, так и слева, и результатирующее давление на стенку равно нулю. Поэтому в данном примере целесообразно строить эпюру только избыточного давления.

Рис. 3

Очевидно, что слева эпюра избыточного гидростатического давления будет представлена линией FB, так как давление в точке В равно .

Справа, очевидно эпюра избыточного давления будет представлена линией АВ11. Давление справа и слева направлено друг против друга, поэтому стенка будет испытывать результатирующее давление, равное разности. В точке F давление будет равно отрезку FF1, а в точке В ВВ1=ВВ11-ВС. Соединим точки F1 и В1 прямой линией. Тогда ломаная AF1B1 будет результатирующей эпюрой избыточного гидростатического давления на стенку АВ.



9. Эпюра гидростатического давления на криволинейную стенку

Построим эпюру гидростатического давления на стенку железнодорожной цистерны Цистерны, как правило, имеют сообщение пространства над жидкостью с атмосферой. Поэтому целесообразно построение только эпюры избыточного давления.

Рис. 4

Для упрощения решения целесообразно построить вспомогательную эпюру А11В1 (давление по диаметральной плоскости цистерны АВ). Разобьем сечение цистерны и вспомогательного треугольника горизонтальными плоскостями. Тогда, очевидно, давление на любую точку поверхности цистерны будет равно отрезку сечения треугольника. Например, давление в точке С равно отрезку С1С11. Помня, что давление нормально к площадке, то давление на стенку будет направлено по радиусу. В данном случае СО. Отложим на этом радиусе отрезок СС111, равный С1С11. Проделав аналогичные построения для всех сечений, получим кривую АО1, представляющую собой эпюру давления на левую стенку цистерны.



10. Построение эпюр гидростатического давления для стенки любой конфигурации

Приведенных решений (5.1….5.4.) достаточно для построения эпюр давления на стенку любой конфигурации. На рис. 5 приведено построение, характерное для многих практических случаев.

Рис. 5

Приведенных решений (5.1….5.4.) достаточно для построения эпюр давления на стенку любой конфигурации. На рис. 5 приведено построение, характерное для многих практических случаев. Особенности построения ясны из чертежа. Эпюры можно строить с любой стороны стенки, при этом нужно соблюдать только направление стрелок.

11. Сообщающиеся сосуды

Сообщающимися сосудами называют сосуды, которые соединены трубопроводом, проходящим ниже уровней свободной поверхности жидкости в сосудах. Уровень свободной поверхности в сообщающихся сосудах не зависит от формы сосудов, а определяется внешним давлением и массовыми силами, которые действуют на жидкость. Пусть имеются сосуды, выполненные согласно рис. 6.1. При условии равновесия давления в сечении трубы I-I справа и слева одинаково ( Р?=Рn). Из основного уравнения гидростатики следует:



Р?= Р1+ г1h1 Рn=Р2+ г2 h2Откуда Р1+ г1h1 = Рn=Р2+ г2 h2

Если Р1= Р2, то г1/ г2= h1/ h2 (6.1)

Рис. 6

Выражение (6) называют уравнением сообщающихся сосудов. Из него вытекает, что высота столбов жидкости в сообщающихся сосудах обратно пропорциональна удельным весам жидкостей, заполняющих сосуды. Уравнение (6) можно записать также как

h 2/ h1= с1g1/ с2g2

Из уравнения следует, что высоты столбов жидкости зависят как от свойства жидкости, так и внешнего силового поля.

Для одной и той же жидкости и сосудов, расположенных относительно близко друг к другу Р1= Р2; с1= с2; g1=g2 а h1= h2, т.е. высоты столбов жидкости одинаковы. Этим свойством пользуются на практике для устройства монтажного уровня.

Если с1 и с2 существенно отличаются, то высоты столбов жидкости также будут разны. Это свойство положено в основу действия эрлифтов, где в одном из сосудов (труб) жидкость для уменьшения плотности насыщают воздухом.



12. Гидравлический пресс

Свойства жидкости передавать внешнее давление в любую точку пространства, занятого жидкостью, используют в технике для создания больших усилий. Такие устройства называют гидравлическими прессами.

Если сообщающиеся сосуды выполнить в виде цилиндров, герметизированных поршнем, то выполняя их с разными диаметрами можно получить значительное усилие при приложении существенно меньших сил.

Пренебрегая геометрическим напором, так как он мал, в подобных устройствах по сравнению с пьезометрическим напором можно записать

Р?= F1 /S1; Рn= F2/ S2, откуда F1= F2· S1/ S2

Из следует, что усилие F1 обратно пропорционально отношению площадей сечения цилиндров.

В применяемых в технике гидравлических процессах достигнуты усилия 106 Н и выше.

13. Закон Архимеда. Элементы теории плавания тел

Погружённое в жидкость твёрдое тело испытывает всестороннее давление. Равнодействующая сил давления совпадает по направлению с силой тяжести и направлена в сторону меньших давлений.

Для доказательства закона Архимеда рассмотрим равновесие симметричного относительно вертикальной оси погружённого в жидкость тела высотой h. В силу симметрии горизонтальная составляющая сил давления будет равна нулю. Для определения силы А - вертикальной составляющей, найдём силы давления на торцы 0 и 01.



Рис. 7

A=Fn - Fb= г S (h2 - h1)= г S h;

но Sh=W - объём тела, поэтому A= г W Полученное выражение есть математическая запись закона Архимеда, который формулируют так: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объёме тела.

Возможны три случая:

1) A<G, (тело тонет) 2) A=G, (безразличное сост.) 3) A>G, (тело плавает)

Где G- сила веса.

В первом случае тело тонет, во втором - находится в безразличном состоянии, в третьем - тело плавает, т.е. частично погружено в жидкость.

Закон Архимеда справедлив как для полностью погружённых тел, так и частично погружённых.

В последнем случае учитывается объём фактически вытесненный телом.

Сила Архимеда приложена к точке, которую называют метацентром. Возможны три случая расположения метацентра МЦ по отношению к центру тяжести тела ЦТ к которому приложена сила тяжести.

При расположении центра тяжести ниже метацентра тело находится в устойчивом состоянии, так как при отклонении тела возникает момент, восстанавливающий положение тела (например, подводной лодки). При совпадении ЦТ и МТ тело находится в безразличном состоянии и может принять любую ориентацию в пространстве. При расположении МЦ ниже ЦТ тело находится в неустойчивом состоянии, так как возникает опрокидывающий момент сил.

14. Сжимаемость жидкостей и газов

Все реальные жидкости в той или иной степени сжимаемы, т. е. под действием внешнего давления уменьшают свой объём. Сжимаемость жидкости определяется уравнением состояния и, как правило, мала по величине. Малая сжимаемость жидкости обусловлена тем, что жидкость подвержена сильному молекулярному взаимодействию (см. уравнение Тета), а изменения величин давления в технических процессах сравнительно невелики. Например для воды Рж 3,2·108 МПа, в то время как наиболее часто давления в технике применяются в пределах 0-3МПа. Учитывая относительную малость давлений, которые встречаются в технике допускают, что жидкость сжимается по закону Гука (по линейному закону) где k - объёмный модуль упругости жидкости. Сжимаемость жидкости принято оценивать величиной, равной .

Например, для воды в = = 5·10-10 Па-1, что указывает на весьма малую сжимаемость воды.

Для газов модуль объёмной упругости численно равен давлению, под которым находится газ, так как - то из 3.5 можно написать .

где б - скорость распространения звука в газе. Т.о. сжимаемость газа можно оценивать по величине скорости звука.

Для сжимаемых сред, какими являются газы, используют критерий Маха-Маевского: M= Потоки с М > 1 называют сверхзвуковыми. Для потоков газа при М ? 0,15 0,2 нужно учитывать их сжимаемость.

15. Напряженное состояние жидкости и газа

Реальные газы и жидкости подвержены силам взаимодействия как внутри их, так и с окружающей средой. Поэтому в жидкостях и газах возникают механические напряжения. Такое состояние называют напряженным.

Современной физикой установлено, что все многообразие видов движения материи в макромире определяется всего двумя фундаментальными силами: гравитационным и электромагнитным взаимодействием. В реальных материальных системах эти силы проявляются по-разному, поэтому в каждой конкретной науке рассматривают только их характерные виды. В гидромеханике, обычно, рассматривают два вида сил: массовые и поверхностные.

За меру количества вещества жидкости или газа принимают их массу. Количество вещества, выраженное через массу, содержащуюся, в единице объёма, называют плотностью.

В общем случае вещество по объёму может быть распределено неравномерно, поэтому плотность находят из выражения



с = .

Если вещество распределено равномерно, то с =

Жидкость (газ), находясь в силовом поле, испытывают его действие. Силы, действующие на каждую частицу жидкости (газа) и пропорциональные их массе называют массовыми. Поэтому массовая сила пропорциональна массе жидкости (газа), а, если плотность одинакова для любого элемента объёма, занятого жидкостью, то она пропорциональна также объёму.

К массовым силам относит силу тяжести (гравитационную силу) и силу инерции.

Массовая сила равна F = mj, где j - ускорение, сообщаемое силовым полем; m - масса жидкости, газа.

Сила - физическая величина, приводящая к изменению скорости движения тела, векторная мера взаимодействия между телами.

Для случая гравитационного поля Земли массовая сила равна G = mg, где g - ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Силу противоположно направленную силе G, равную силе действия сосуда на жидкость, называют силой веса или весом жидкости.

В ряде задач массовую силу относят к единице массы и называют удельной массовой силой. Размерность удельной массовой силы равна размерности ускорения:

lim Fy = lim j = LT-2 (м/c2).

гидростатика уравнение тело плавление

При решении практических задач в ряде случаев предпочтительно пользоваться не плотностью, а удельным весом, величиной, равной:



г = ,

где W - объём жидкости весом G. Так как G = mg, то г = = сg.

Следует иметь в виду, что удельный вес г не является, в отличие от плотности, характеристикой жидкости или газа. Например, удельный вес теряет смысл в условиях невесомости, в то время, как с сохраняет свое значение.

Силы взаимодействия, приложенные к поверхности жидкости, называют поверхностными силами.

16. Текучесть и вязкость жидкостей и газов

В зависимости от температуры и давления вещество может находиться в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и газообразном. В твердых телах молекулы находятся в сильной взаимосвязи, расположены в определенном порядке и совершают только тепловое колебательное движения. Вероятность покинуть занятое молекулой (атомом) место мала. Поэтому твердые, тела сохраняют заданную форму и объём. Свободное перемешивание молекул в жидкостях и газах приводит к тому, что они изменяют свою форму при приложении сколь угодно малого силового действия. Это явление называют текучестью. Под действием гравитационного поля жидкости и газы принимают форму того сосуда, в котором они находятся. В результате переноса молекулами количества движения при переходе их из слоя в слой, движущихся с разными скоростями, возникает касательная сила между слоями. Свойство жидкости и газа сопротивляться сдвигающим усилиям называют вязкостью. Окончательно касательное напряжение вязкого трения будет равно ф = м Если поверхность трения равна S, то сила вязкого трения принимает величину.

T = ф·.S = м·S· .

В газах с увеличением температуры возрастают и л, поэтому вязкость их растет, т.к. м = с л.

В жидкостях имеет место более сложная зависимость. Для большинства жидкостей доминирует фактор связи между молекулами. Поэтому с повышением температуры вязкость жидкости падает, так как уменьшается связь.

17. Определение вязкости по способу Петрова

В основу способа Петрова положена формула Ньютона для определения силы вязкого трения:

T = м. S

Рис. 8

Определение производится с помощью специального прибора (рис. 8) Основу прибора составляет сосуд I, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью щ, и цилиндр 2, подвешенный на упругой нити 3. Сосуд I заполняют жидкостью, вязкость которой необходимо определить. Так как жидкость вязкая - то она увлекается сосудом и начинает вращаться вместе с ним. В результате вязкого трения жидкости о стенки цилиндра 2, он поворачивается и закручивает упругую нить 3. При равенстве момента силы трения и момента закрутки нити цилиндр 2, повернувшись на определенный угол, останавливается. К упругой нити прикреплена стрелка, конец стрелки на шкале 5 показывает угол закрутки нити.

18. Определение вязкости по способу Стокса

Способ Стокса основан на измерении силы лобового сопротивления шара, движущегося во вязкой жидкости. Определение вязкости выполняется с помощью прибора (рис. 9).

Основу прибора составляет стеклянная трубка I, заполненная исследуемой жидкостью. В нижней и верхней части трубки помещаются устройства для удержания шарика 3. Трубка относительно штатива 4 может поворачиваться на 180°.Опыт проводят следующим образом.

Рис. 9



Если шарик 3 находится внизу, то трубку поворачивают на 180°. Нажимают на кнопку устройства 2. Шарик отпускается и начинает падать. В начале он движется ускоренно, а затем наступает равновесие сил и скорость его падения становится постоянной. При прохождении черты 6, нанесенной на трубке, секундомер запускают, а при прохождении черты 6 останавливают. Затем, трубку поворачивают на 180° и опыт повторяют. Обычно 10 раз.

Так, как расстояние между чертами 5 и 6 известно, то скорость находим из формулы V = где t - время прохождения шара от черты до черты.

Напишем условие равновесия для установившегося движения шарика: A + T - G = 0,

где A - сила Архимеда; T - сила вязкого трения; G - сила тяжести шарика.

Найдем величины этих сил:A = с.g; G = сшg.; T = мрd2 .

Так как градиент в данном случае определяется по сложной зависимости, то Стокс предположил, что ДV = V; Дy = k.d, где к зависит от

Тогда T = мрd2. Подставим значения сил в уравнение равновесия: Сg. + мрd - сшg. = 0 Откуда м = (сш - с).

19. Способы определения вязкости жидкости, основанные на измерении параметров течения в капиллярах

Типичным представителем приборов для измерения вязкости (вискозиметров), основанных на измерении параметров течения через капилляр, является вискозиметр ВПА-2 (рис. 10).



Прибор выполнен в виде U-образной стеклянной трубки, на одном из колен которой выполнен капилляр 5, резервуар 3 и резервуар 1. Сверху и снизу резервуара нанесены риски 2 и 4. На трубку 7 одевают резиновую грушу. Для заполнения прибора исследуемой жидкостью прибор переворачивают, опускают выход резервуара 1 в жидкость, а грушей засасывают жидкость до черты 2.Затем прибор быстро переворачивается, и замечают время прохождения уровня жидкости от метки 2 до метки 4.

Рис. 10

Кинематическая вязкость находят по эмпирической формуле:н = t,

где g - ускорение силы тяжести в месте проведения опыта;g0 - ускорение силы тяжести на широте Земли ц =45°;

k - постоянная данного прибора; t - время истечения. Опыты проводятся при T = const, указанной в паспорте прибора.

20. Способы определения вязкости жидкости, основанные на определении времени истечения жидкости через отверстие

Типичным представителем этого типа приборов является прибор Энглера (рис. 1.1 см. в источнике [3]), применяемый для определения вязкости жидкостей более вязких, чем вода. Вязкость оценивают, по времени истечения tи исследуемой жидкости, и времени истечения дистиллированной воды tв при тех же условиях (температуре, объёме жидкости и др.).

В данном случае вязкость определяется в относительных единицах, градусах Енглера,

оЕ = .

Кинематический коэффициент вязкости находят по эмпирической формуле

Уббелоде: н = (0,0763OE - ). 10-4, м2/с

Резюме по области применения способов определения вязкости и тенденции изменения вязкости от t жидкостей и газов.

Размещено на Allbest.ru