Исследования пространственных корреляционных и структурных функций неупорядоченных поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

Исследования пространственных корреляционных и структурных функций неупорядоченных поверхностей

• Введение
• Неупорядоченные структуры окружают нас в повседневной жизни на каждом шагу. Представляет интерес разработка экспериментальных методов определения неупорядоченности окружающих нас структур. К одной из таких структур является хлеб. Применение различных технологий выпечки хлеба позволят варьировать степенью неупорядоченности структуры хлеба в широких пределах. В связи с этим представляет определенный методический интерес изучение структур хлеба на срезе. В наше время есть больше разнообразие различных сортов хлебобулочных изделий, и не все они хорошего качества. С помощью программы 3D image можно разделять различные сорта хлебобулочных изделий и их качество.

Программа 3D Image предназначена для цифровой обработки двумерных оптических и электронных изображений, а также для построения на их основе трехмерных изображений. В качестве первичной информации полученной с помощью цифровой фотокамеры, использовалось двумерные цифровые цветные оптические изображения пористой структуры хлеба различных сортов. В дальнейшем с помощью программы 3D image было получено трехмерное изображение пористой структуры хлеба и снята автокорреляционная функция пористой структуры хлеба.

В ходе выполнения дипломной работы предстояло решить следующие основные задачи:

1. Освоение оптических методов для изучения структурных нерегулярностей поверхности среза хлебобулочных изделий.

2. Описание функциональной схемы проведения экспериментов.

3. Визуальный анализ профилей строк цифрового оптического изображения;

4. Корреляционный анализ профилей строк оптического изображения;

5. Анализ структурных функций профилей строк;

6. Оценка степени неупорядоченности и регулярности (показателя кристалличности) поверхности среза хлебобулочных изделий

Данная дипломная работа состоит из 3-х глав.

В первой главе проведен литературный обзор научно-технической литературы по цифровым и аналоговым методам контроля структуры поверхности твердых тел. Цифровые методы отображения двухмерных растровых изображений и цифровые методы построения и обработки трехмерных изображений. Оптические методы исследования структуры поверхностей твердых тел и особое внимание было уделено, использованию автокорреляционных и структурных функций для анализа структурных регулярностей.

Во второй главе говорится о методике проведения экспериментальных исследований структуры поверхности. Представлена блок схема для цифровой обработки растровых изображений. Описана программа для цифровой обработки изображений поверхностей твердых тел 3D Image которая была разработана на кафедре физической электроники. С помощью программы 3D Image , были сделаны основные результаты, для данной дипломной работы.

В третей главе изложены основные результаты экспериментальных исследований пространственных корреляционных и структурных функций неупорядоченных поверхностей.

1. Компьютерная графика

1.1 Устройство и функции графической подсистемы

Графическая подсистема компьютера состоит из аппаратной и программной частей. Аппаратная часть включает графический контроллер , дисплей , а также обслуживающие их физические интерфейсы . Программная часть обеспечивает поддержку интерфейсов, видеокарты, дисплея и приложений на уровне BIOS, операционной системы, драйверов и специализированных прикладных языков программирования (API). Все приложения (от простейших текстовых редакторов до программ трехмерного моделирования) обязательно используют графическую подсистему, поскольку на визуальный ряд приходится львиная доля информации, выдаваемой компьютером. Приложение обращается к функциям видеоадаптера при посредничестве драйвера, который выступает интерпретатором команд для графического чипсета. В соответствии с командами адаптер выводит на экран изображение.

Современные графические адаптеры используют последние достижения трехмерной компьютерной графики, реализуемые на аппаратном уровне и программным способом. Только сухой перечень характеристик, функций и поддерживаемых технологий в спецификации видеокарты иногда занимает пару страниц убористым шрифтом. Для понимания функционирования видеокарты необходимо изложить основные понятия трехмерной графики.

1.2 Трехмерная графика

Пространственная компьютерная графика часто называется трехмерной, или 3D-графикой (где D--это Dimension, «измерение»). В oбыденной жизни мы практически ежедневно сталкиваемся с объектами, созданными либо средствами компьютерной ЗD-графики, либо на основе трехмерных виртуальных моделей: телевизионные заставки и реклама; спецэффекты, персонажи и предметы в кинематографии; некоторые виды полиграфической продукции; автомобили, мебель, дома и множество других вещей.

Конечно же, чаще всего с объемной графикой сталкивается пользователь компьютера. Большинство владельцев даже простеньких машин наверняка пробовали запустить трехмерную игрушку. Массовый пользователь, как правило, имеет на жестком диске несколько программ, применяющих 3D-графику. Профессионалы работают с весьма сложными приложениями, позволяющими конструировать трехмерные миры.

Трехмерная компьютерная графика различается по области применения. Условно говоря, существуют четыре обширные сферы 3D-гpaфики, имеющие достаточно обособленные программные средства и методы, а также аппаратное обеспечение. Это видео-, теле-, кинопродукция; промышленное проектирование и дизайн; компьютерные игры; имитаторы-тренажеры.

1.3 Графический конвейер

1.3.1 Элементы трехмерной сцены

В общем виде трехмерную сцену можно представить как набор отдельных групп элементов: группы трехмерных объектов, группы источников освещения, группы применяемых текстурных карт, группы камер.

Трехмерный объект обладает свойствами координат вершин треугольников в пространстве сцены и локальных координат в пространстве текстурной карты. Ему соответствует алгоритм поведения: параметры масштабирования, угла поворота, смещения и прочие изменения в течение времени в соответствии с замыслом разработчиков. Производным от первых двух свойств является грань -- плоскость объекта имеющая три вершины, с наложенными на нее текстурами.

Источник освещения может обладать следующим набором свойств (полностью или частично): координатами в пространстве сцены, ориентацией (направленностью), типом излучения (фоновым, точечным и т. п.), цветом и алгоритмом изменения светового излучения.

Камера представляет собой точку, откуда наблюдатель обозревает трехмерную сцену. Почему же предпочитают использовать термин камера? Дело в том, что наблюдатель-человек обладает стереоскопическим зрением, а камера имеет только один «глаз». Поэтому глубину сцены приходится имитировать на плоском экране с помощью различных ухищрений. Плоскость, в которой расположена камера, называется плоскостью проецирования , или картинной плоскостью. Камера обладает свойствами координат в пространстве сцены, целевой точкой, углом зрения, углом поворота. Линия, соединяющая камеру и целевую точку, называется линией визирования . Угол поворота рассчитывается относительно оси линии визирования.

Текстурой (или текстурной картой) называют двух- или трехмерное изображение, имитирующее зрительное восприятие человеком свойств различных поверхностей . На полигон можно накладывать несколько текстур, смешивая их различными способами, с тем, чтобы моделировать зрительный образ нужного материала. Специализированные текстуры (например, карты окружающей среды) сами не отображаются, а используются для модификации других текстур накладываемых на полигон.

1.3.2 Аппаратные средства

В самом общем виде современный ускоритель ЗD-графики должен иметь блок геометрических преобразовании расчета освещения (геометрический процессор), блок механизма установки примитивов, блок обработки текстур и блок обработки буфера кадра. Геометрический процессор обрабатывает примитивы и строит проекцию трехмерной сцены. Блок расчета освещения формирует данные о параметрах освещения для вершин примитивов.

Блок установки примитивов с помощью данных, полученных из буфера глубины, определяет видимость отображаемой точки (пиксела). Видимые пикселы обрабатываются в блоке текстур различными методами с применением одной из технологий фильтрации и наложения текстурных карт. Обработанный таким образом пиксел вновь помещается в буфер кадра, либо заменяя находящееся там значение, либо смешиваясь с ним по выбранному правилу.

1.3.3 Программные интерфейсы

Скорость и качество обработки трехмерной сцены во многом зависят от совершенства инструкций, передаваемых приложением графическому ускорителю. Такие инструкции объединены в специализированные прикладные программные библиотеки (Graphics API). С одной стороны, инструкции должны учитывать особенности построения аппаратной части графического адаптера. С другой стороны, конструкция графического адаптера должна соответствовать возможностям API.

Точного соответствия между аппаратурой и API не бывает: иногда разработчики видеокарты опережают время и вводят функции, которые не поддерживаются действующими API. Часто в API появляются инструкции, которые не могут быть выполнены конкретным графическим адаптером. Поддержка API реализуется через драйвер видеокарты. Бывает, что разработчики игр пытаются использовать функции видеокарты, недоступные через стандартную версию API. В этом они создают собственные мини-драйвер.

Совокупность аппаратных и программных средств обработки трехмерных сцен образует графический конвейер, конечным итогом работы которого является кадр, размещенный на экране монитора. Ниже рассмотрены основные принципы работы такого конвейера.

1.4 Шесть этапов работы 3D конвейера

Большинство приложений трехмерной графики, в числе и игры, при построении объемных сцен придерживаются определенной последовательностью действий, в совокупности составляющей 3D- конвейер. Итогом работы 3D- конвейера является отрисовка (рендеринг) результирующим изображение на дисплее компьютера. Группу операций, выполняющих обособленное промежуточное действие, принято называть этапом, или стадией 3D-конвеера.

1.4.1 Первый этап

Здесь определяется состояние объектов, принимающих участие в сцене, которую необходимо отобразить. На первый взгляд к самой графике этот этап отношения не имеет. На самом деле он является определяющим, ибо состояние объектов и их взаимное положение формируют логику последующих действий программы. Например, если вашего персонажа в игре уже «убили», какой смысл вообще выводить трехмерную сцену? С каждым объектом в сцене связана соответствующая текущему моменту геометрическая модель. То есть объект один (например, некий монстр), но с ним сопоставляются разные геометрические модели в зависимости от состояния -- жив, ранен убит, трансформировался в другой объект и т. д. Практически все операции на первом этапе выполняет центральный процессор. Результаты его работы пересылаются в графический чипсет посредством драйвера.

1.4.2 Второй этап

Происходит декомпозиция (разделение на примитивы) геометрических моделей. Внешний вид объекта формируется с помощью набора определенных примитивов. Чаще всего в роли примитива выступает треугольник как простейшая плоская фигура, однозначно располагаемая в трехмерном пространстве. Все прочие элементы состоят из таких треугольников. Таким образом, можно утверждать, что по большей части термины «полигон» и «треугольник» применительно к игровой SD-графике суть синонимы.

Современные графические процессоры умеют выполнять дополнительные операции, например тесселяцию (Tesselation), то есть разделение исходных треугольников на более мелкие. Некоторые графические чипсеты могут аппаратно обрабатывать геометрические модели, построенные на основе параметрических поверхностей (механизм RT-Patches). Часть графических процессоров умеет превращать плоские треугольники в трехмерные поверхности путем «выдавливания» в третье измерение (механизм N-Patches).

Итоговый результат операций второго этапа пересылается в блок трансформаций и освещения (Transform&Lighting, T&L) геометрического процессора.

1.4.3 Третий этап

В блоке T&L на аппаратном уровне к вершинам треугольников применяют различные эффекты преобразований и освещенности. Содержание операций блоков T&L новейших графических чипсетов можно динамически изменять посредством вершинных шейдеров (Vertex Shaders) -- специальных микропрограмм, включаемых в код игры. То есть сегодня персональный компьютер в дополнение к центральному процессору получил полноценный программируемый графический процессор. По завершении операций трансформации и расчета освещенности параметры вершин нормализуются и приводятся к целочисленному виду.

1.4.4 Четвертый этап

На данном этапе происходит так называемая установка примитивов (Triangle Setup). Графический процессор пока ничего не знает о свойствах треугольников, поскольку обрабатывал вершины по отдельности. Теперь необходимо «собрать» вершины в треугольники и преобразовать результаты в координаты и цвет каждого пиксела, а также отсечь невидимые области.

В ходе «сборки» определяется видимость объектов с позиции камеры. Полигоны, находящиеся ближе к камере, могут загородить более удаленные полигоны. Для хранения информации о степени удаленности объекта от плоскости проецирования используют специальный буфер глубины (Z-буфер). Современные графические процессоры применяют различные механизмы отсечения невидимых полигонов на ранних этапах ЗВ-конвейера с тем, чтобы избежать излишних операций. Данные буфера глубины обрабатываются специализированными блоками графического процессора. В конечном счете, на выходе блока геометрических преобразований получают проекцию трехмерной сцены на плоскость визуализации. Координаты и исходный цвет видимых пикселов передаются в текстурный конвейер (Texture Pipeline).

1.4.5 Пятый этап

Графический чипсет может иметь несколько параллельных текстурных конвейеров. В каждом из них происходит наложение текстур различного типа, в том числе и тех, которые сами не отображаются (например, карты высот), а служат для модификации других текстур. На этом этапе в современных чипсетах возможно исполнение пиксельных шейдеров (Pixel Shaders) -- специальных микропрограмм, определяющих порядок смешивания текстур, полученных на выходе из каждого конвейера. Здесь также учитывается информация (полученная на этапе установки примитивов) о принадлежности пиксела к определенному треугольнику. В целом указанные операции составляют суть процесса визуализации (рендеринга).

1.4.6 Шестой этап

На заключительном этапе работы ЗD-конвейера к полученному в текстурном блоке плоскому изображению применяют операции устранения дефектов (например, часто используют билинейные, анизотропные и другие фильтры). Операции конечной обработки применяют какой-либо эффект (например, туман) к целиком сформированному изображению. Перед выводом в буфер кадра в последний раз проверяется видимость пикселов, и наконец изображение появляется на экране.

Перечисленные этапы в конкретных графических чипсетах могут быть переставлены, разделены, объединены, выполняться неоднократно (в несколько проходов), однако их физический смысл остается неизменным. Технологически некоторые элементы этапов или этапы целиком могут быть выполнены различными способами. Вариант реализации зависит от особенностей приложения и видеокарты.

В зависимости от типа видеоускорителя часть этапов просчитывается программно, а часть -- аппаратно. Самые современные ускорители имеют на борту графический процессор, способный аппаратно просчитывать этапы трансформации (преобразований) и расчета освещения, наложения текстур.

1.5 Имитация параметрических поверхностей

Каждая вершина полигона полностью описывается параметрами трехмерных координат, нормали, цвета, текстурной координаты. При обработке вершины блоком T&L или программой (вершинным шейдером) графический процессор не имеет какой-либо информации о соседних вершинах треугольника. Нормаль (вектор, перпендикулярный к моделируемой поверхности) также является атрибутом вершины, но не треугольника.

Трехмерные поверхности на основе N-Patches строят на базе контрольных точек, расставляемых графическим процессором на каждой стороне исходного треугольника. Суть N-патчей проста -- из нормалей можно «вытащить» информацию о кривизне поверхности. Для этого требуется выполнить два условия: получить данные о всех трех вершинах полигона и сгруппировать их («собрать» примитив).

Получив координаты вершин и значения нормалей в вершинах к создаваемой трехмерной поверхности, графический процессор, поддерживающий технологию N-Patches, рассчитывает положение контрольных точек, разделяя стороны треугольника на равные отрезки. Тем самым исходный треугольник разбивается на более мелкие треугольники (до 64). Значения нормалей в генерируемых контрольных точках получают методом линейной или квадратичной интерполяции.

Координаты контрольных точек рассчитываются методом их проецирования на плоскость, перпендикулярную к нормали в вершине исходного треугольника. Если все три нормали в вершинах будут перпендикулярны к плоскости исходного треугольника, он так и останется плоским, разбей его хоть на 1000 частей.

Если нормали в вершинах не перпендикулярны к плоскости треугольника, контрольные точки тесселяции начнут «притягиваться» к имитируемой поверхности. Чем больше угол между нормалью в вершине и плоскостью исходного треугольника, тем более «притягательной» становится поверхность, перпендикулярная к данной нормали.

Очевидно, что при максимальном числе контрольных точек получают наилучшее качество трехмерной поверхности. Причем увеличение числа контрольных точек никак не сказывается на объеме геометрических данных, поступающих через шину AGP, поскольку используются обычные полигональные модели. В этом состоит основное (на сегодняшний день) преимущество технологии N-Patches: она не требует коренной переработки существующих программ. Разработчикам достаточно указать в программе, какие объекты сцены разрешается обрабатывать N-Patches, степень тесселяции, а остальное сделает геометрический процессор видеокарты.

Вместе с тем, у технологии N-Patches имеется ряд существенных недостатков. Во-первых, это заметные искажения геометрической формы объектов на стыках полигонов.Поэтому некоторые модели все же приходится дорабатывать под N-Patches, добавляя так называемые заглушки (Junction) на стыках граней. Второй недостаток связан с тем, что нормали исходной полигональной модели в принципе используют для манипулирования освещением, а не формой поверхности, и иногда интерполяция нормалей приводит к искажениям формы.

2. Корреляция сигналов

Корреляция (correlation), и ее частный случай для центрированных сигналов - ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.

Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т.е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений.

В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится определение скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.

Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

2.1 Автокорреляционные функции сигналов

2.1.1 Понятие автокорреляционных функций сигналов

Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, выявления в сигнале характера и параметров взаимной временной связи отсчетов, что всегда имеет место для периодических сигналов, а также интервала и степени зависимости значений отсчетов в текущие моменты времени от предыстории текущего момента. АКФ определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время ?:

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига ?. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при ? = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.1.1):

Максимум АКФ, равный энергии сигнала при t=0, всегда положителен, а модуль АКФ при любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала. Последнее прямо вытекает из свойств скалярного произведения (как и неравенство Коши-Буняковского):

бs(t),--s(t+t)с--=--||s(t)||Ч||s(t+t)||Чcos--j(t),

cos--j(t)--=--1--???--t--=--_,--бs(t),--s(t+t)с--=--||s(t)||Ч||s(t)||--=--E_s,

cos--j(t)--<--1--???--t--№--_,--бs(t),--s(t+t)с--=--||s(t)||Ч||s(t+t)||Чcos--j(t)--<--E_s.

Рис. 2.1.1.

В качестве примера на рис. 2.1.1 приведены два сигнала - прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения).

С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +t в выражении (2.1.1) означает, что при увеличении значений t копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требует соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания t обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.1.1) функции s(t-t) вместо s(t+t).

B_s(t)--=--s(t)--s(t-t)--dt.--(6.1.1')--

Для финитных сигналов по мере увеличения значения величины сдвига t временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

= 0.

АКФ, вычисленная по центрированному значению сигнала s(t), представляет собой автоковариационную функцию сигнала:

C_s(t)--=[s(t)-m_s][s(t+t)-m_s]--dt,--(2.1.2)

где m_s - среднее значение сигнала. Ковариационные функции связаны с корреляционным функциями достаточно простым соотношением:

C_s(t)--=--B_s(t)-----m_s².

2.1.2 АКФ сигналов, ограниченных во времени

На практике обычно исследуются и анализируются сигналы, заданные на определенном интервале. Для сравнения АКФ сигналов, заданных на различных временных интервалах, практическое применение находит модификация АКФ с нормировкой на длину интервала. Так, например, при задании сигнала на интервале [a, b]:

B_s(t)--=s(t)--s(t+t)--dt.--(2.1.3)--

АКФ может быть вычислена и для слабозатухающих сигналов с бесконечной энергией, как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии при устремлении интервала задания сигнала к бесконечности:

B_s(t)--=.--(2.1.4)

АКФ по данным выражениям имеет физическую размерность мощности, и равна средней взаимной мощности сигнала и его копии в функциональной зависимости от сдвига копии.

2.1.3 АКФ периодических сигналов

Энергия периодических сигналов бесконечна, поэтому АКФ периодических сигналов вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах периода:

B_s(t)--=--(1/?)s(t)--s(t-t)--dt.--(2.1.5)--

Математически более строгое выражение:

B_s(t)--=.

При t=0 значение нормированной на период АКФ равно средней мощности сигналов в пределах периода. При этом АКФ периодических сигналов является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(w₀t+j₀) при T=2p/w₀ имеем:

B_s(t)--=--A--cos(w_{_}t+j_{_})--A--cos(w_{_}(t-t)+j_{_})--=--(A²/2)--cos(w_{_}t).--

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ. С помощью функций автокорреляции можно проверять наличие периодических свойств в любых произвольных сигналах. Пример автокорреляционной функции периодического сигнала приведен на рис. 2.1.2.

2.1.4 Функции автоковариации (ФАК)

вычисляются аналогично, по центрированным значениям сигнала. Замечательной особенностью этих функций являются их простые соотношения с дисперсией s_s² сигналов (квадратом стандарта - среднего квадратического отклонения значений сигнала от среднего значения). Как известно, значение дисперсии равно средней мощности сигналов, откуда следует:

|C_s(t)|--?--s_s²,--C_s(_)--=--s_s²--є--||s(t)||².--(2.1.7)

Значения ФАК, нормированные на значение дисперсии, представляют собой функцию автокорреляционных коэффициентов:

r_s(t)--=--C_s(t)/C_s(_)--=--C_s(t)/s_s²--є--cos--j(t).--(2.1.8)

Иногда эту функцию называют "истинной" автокорреляционной функцией. В силу нормировки ее значения не зависят от единиц (масштаба) представления значений сигнала s(t) и характеризуют степень линейной связи между значениями сигнала в зависимости от величины сдвига t между отсчетами сигнала. Значения r_s(t)--є--cos j(t) могут изменяться от 1 (полная прямая корреляция отсчетов) до -1 (обратная корреляция).



Рис. 2.1.3.

На рис. 6.1.3 приведен пример сигналов s(k) и s1(k) = s(k)+шум с соответствующими этим сигналам коэффициентами ФАК - r_s и r_s1. Как видно на графиках, ФАК уверенно выявила наличие периодических колебаний в сигналах. Шум в сигнале s1(k) понизил амплитуду периодических колебаний без изменения периода. Это подтверждает график кривой C_s/s_s1, т.е. ФАК сигнала s(k) с нормировкой (для сопоставления) на значение дисперсии сигнала s1(k), где наглядно можно видеть, что шумовые импульсы при полной статистической независимости своих отсчетов вызвали увеличение значения С_s1(0) по отношению к значению C_s(0) и несколько "размыли" функцию коэффициентов автоковариации. Это вызвано тем, что значение r_s(t) шумовых сигналов стремится к 1 при t ® 0 и флюктуирует относительно нуля при t ? 0, при этом амплитуды флюктуаций статистически независимы и зависят от количества выборок сигнала (стремятся к нулю при увеличении количества отсчетов).

трехмерный автокорреляционный поверхность сигнал

2.1.5 АКФ дискретных сигналов

При интервале дискретизации данных Dt = const вычисление АКФ выполняется по интервалам Dt--=--Dt и обычно записывается, как дискретная функция номеров n сдвига отсчетов nDt:

B_s(nDt)--=--Dts_kЧs_k-n.--(2.1.9)

Дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов к = 0,1,…К при ?t=1, а вычисление дискретной АКФ в единицах энергии выполняется в одностороннем варианте с учетом длины массивов. Если используется весь массив сигнала и число отсчетов АКФ равно числу отсчетов массива, то вычисление выполняется по формуле:

B_s(n) = s_k?s_k-n. (2.1.10)

Множитель K/(K-n) в данной функции является поправочным коэффициентом на постепенное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений по мере увеличения сдвига n. Без этой поправки для нецентрированных сигналов в значениях АКФ появляется тренд суммирования средних значений. При измерениях в единицах мощности сигнала множитель К/(K-n) заменяется на множитель 1/(K-n).

Формула (6.1.10) применяется довольно редко, в основном для детерминированных сигналов с небольшим числом отсчетов. Для случайных и зашумленных сигналов уменьшение знаменателя (K-n) и числа перемножаемых отсчетов по мере увеличения сдвига приводит к нарастанию статистических флюктуаций вычисления АКФ. Большую достоверность в этих условиях обеспечивает вычисление АКФ в единицах мощности сигнала по формуле:

B_s(n)--=--s_kЧs_k-n,--s_k-n--=--_--???--k-n--<--_,--(2.1.11)

т.е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах k-n или в правую сторону при использовании сдвигов k+n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (2.1.10). Разницу между нормировками по формулам (2.1.10) и (2.1.11) можно наглядно видеть на рис. 2.1.4.

Рис. 6.1.4.

Формулу (2.1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т.е. как оценку математического ожидания:

B_s(n)--=--M{s_k--s_k-n}--@--.--(2.1.12)

Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки.

2.2 Взаимные корреляционные функции сигналов

2.2.1 Взаимная корреляционная функция

ВКФ разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (2.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

B_su(t)--=s(t)--u(t+t)--dt.--(2.2.1)--

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|B_su(t)|--Ј--||s(t)||Ч||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t-t в формуле (2.2.1), получаем:

B_su(t)--=s(t-t)--u(t)--dt--=--u(t)--s(t-t)--dt--=--B_us(-t).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B_su(t) № B_su(-t), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Это можно наглядно видеть на рис. 2.2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.2.1) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)). При t=0 сигналы ортогональны и значение B₁₂(t)=0. Максимум В₁₂(t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t).

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.2.1) и (6.2.1') наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал ? сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. B_su(t) = B_us(-t).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 2.2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией B_su. Вместе с тем функция B_su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига - функция B_sv на рис. 2.2.2. Если поменять местами выражения функций в (2.2.1), то новая функция B_vs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией B_sv.

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

B_su(t)--=s(t)--u(t+t)--dt.--B_us(t)--=u(t)--s(t+t)--dt.--(6.2.1')

2.2.2 Взаимная корреляция зашумленных сигналов

Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул с заменой копии сигнала s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:

B_uv(t)--=--B_s1s2(t)--+--B_s1q2(t)--+--B_q1s2(t)--+--B_q1q2(t).--(2.2.2)

Последние три члена в правой части (2.2.2) затухают до нуля при увеличении t. При больших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:

B_uv(t)--=--B_s1s2(t)--+--+--+--.--(2.2.3)

При нулевых средних значениях шумов и статистической независимости от сигналов имеет место:

B_uv(t)-->--B_s1s2(t).

2.2.3 ВКФ дискретных сигналов

Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов, изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 2.1.9-2.1.12). В частности, при Dt = const =1 для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:

B_xy(n) = x_k y_k-n. (2.2.4)

При нормировании в единицах мощности:

B_xy(n) = x_k y_k-n @ . (2.2.5)

2.3 Спектральные плотности корреляционных функций

2.3.1 Спектральная плотность АКФ

Спектральная плотность автокорреляционной функции может быть определена из следующих простых соображений.

В соответствии с выражением (2.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произведения сигнала и его копии, сдвинутой на интервал t,--при -Ґ--<--t--<--Ґ:

B_s(t)--=--бs(t),--s(t-t)с.

Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности:

бs(t),--s(t-t)с--=--(1/2p)S(w)--S_t*(w)--dw.--

Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал ? отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-j??), а для сопряженного спектра на множитель exp(j??):

S_t*(w)--=--S*(w)--exp(jwt).

С учетом этого получаем:

B_s(t)--=--(1/2p)S(w)--S*(w)--exp(jwt)--dw--=

=--(1/2p)|S(w)|²--exp(jwt)--dw.--(2.3.1)

Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

B_s(t)--Ы--|S(w)|^2--=--W_s(w).--(2.3.2)

Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ:

|S(w)|^2--=----B_s(t)--exp(-jwt)--dt.--(2.3.3)

Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса - знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате ±t-- порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоугольного импульса длительностью 2t----с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 2.3.1 (графики функций приведены, как принято для четных функций, только своей правой частью).

АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуются ограниченные интервалы корреляции данных от -Т/2 до Т/2). Однако усечение АКФ, это умножение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной области отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией интегрального синуса sinc(wT/2). С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов. Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, а также появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример проявления данных факторов приведен на рис. 2.3.2.



Рис. 2.3.2. Вычисление энергетического спектра сигнала по АКФ разной длины.

Как известно, спектры мощности сигналов не имеют фазовой характеристики и по ним невозможно восстановление сигналов. Следовательно, АКФ сигналов, как временное представление спектров мощности, также не имеет информации о фазовых характеристиках сигналов и восстановление сигналов по АКФ невозможно. Сигналы одной формы, сдвинутые во времени, имеют одинаковые АКФ. Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.

Перепишем уравнение (2.3.1) в следующей форме

s(t)--s(t-t)--dt--=--(1/2p)S(w)--S*(w)--exp(jwt)--dw,

и подставим в это выражение значение t=0. Полученное равенство хорошо известно и называется равенством Парсеваля

s²(t)--dt--=--(1/2p)|S(w)|²--dw.

Оно позволяет вычислять энергию сигнала, как по временной, так и по частотной области описания сигналов.

2.3.2 Интервал корреляции сигнала

Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины АКФ и степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если допустить, что сигнал s(t) имеет примерно равномерный энергетический спектр со значением W₀ и с верхней граничной частотой до w_в (форма центрированного прямоугольного импульса, как, например, сигнал 1 на рис. 2.3.3 с f_в=50 Гц в одностороннем представлении), то АКФ сигнала определится выражением:

B_s(t)--=--(W_o/p)cos(wt)--dw--=--(W_ow_?/p)--sin(w_?t)/(w_?t).

Интервалом корреляции сигнала t_к считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спектра с верхней граничной частотой w_в первое пересечение нуля соответствует sinc(w_?t)--= 0 при w_?t--= p, откуда:

t_?--=--p/w_?--=1/2f_?.--(2.3.4)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра w_в играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 2.3.3).

Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении представляет собой случайную функцию W_q(w) со средним значением

W_q(w)--Ю--s_q²,

где s_q² - дисперсия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении шумов от 0 до Ґ, АКФ шумов стремится к значению B_q(t)--Ю--s_q² при t--Ю 0, B_q(t)--Ю 0 при t--№ 0, т.е. статистические шумы не коррелированны (t_?--Ю--0).

Практические вычисления АКФ финитных сигналов обычно ограничиваются интервалом сдвигов t = {0, (3-5)t_k}, в котором, как правило, сосредоточена основная информация по автокорреляции сигналов.

2. Методика проведения экспериментальных исследований структуры поверхности

Объектом моих исследований стала пористая структура представляющая срез хлеба различных сортов. Во время работы использовал методы цифровой обработки оптических изображений полученных через цифровую видеокамеру. Научился обрабатывать и анализировать 3D изображения и автокорреляционную функцию пористых поверхностей, полученных с помощью программы 3D Image.

С помощью фотокамеры получили изображение пористой структуры. В виде образца были взяты разные сорта хлеба с различной пористой структурой, формовой хлеб высшего сорта, формовой хлеб 3 сорта и ржаной (черный) хлеб. С помощью программы 3D Image были получены 3D изображения пористой структуры хлеба различных сортов и снята автокорреляционная функция.

Блок схема экспериментальной установки по изучению пространственных корреляционных и структурных функций неупорядоченных поверхностей.

2.1 Программа 3D Image для цифровой обработки изображений поверхностей твердых тел

Во время выполнения дипломной работы все данные изображений и автокорреляционной функции я получил с помощью программы 3D Image предназначенной для цифровой обработки двумерных оптических и электронных изображений, а также для построения на их основе трехмерных изображений. В качестве первичной информации используются двумерные цифровые цветные оптические изображения, а также монохромные двумерные изображения различной природы, представленные в виде 24-разрядных файлов точечного формата bmp Первичная информация может быть получена с помощью цифровых фотоаппаратов, видеокамер, сканеров, электронных и сканирующих зондовых микроскопов. Применение данной программы позволяет получить дополнительную количественную информацию, а также существенно улучшить детализацию и структуризацию отдельных фрагментов первичного изображения.

Первичное двумерное изображение трансформируется в трехмерное следующим образом Численные значения двух координат и количественная информация о яркости цветовых компонент каждого пикселя первичного двумерного изображения определяют значения трех координат соответствующего четырехугольного элемента (полигона) вторичного трехмерного изображения. При кодировании первичной информации о яркости и цвете каждого пикселя используется стандартное разложение на три цветовых компоненты красную, зеленую и синюю. Для кодирования уровня каждой из трех основных цветовых компонент используется 8-битный двоичный код Таким образом, для полного кодирования цвета и яркости каждого пикселя изображения используется 24-битный код Особенностью данной программы является возможность как совместной, так и независимой обработки основных цветовых компонент первичного изображения.