Релятивистский ковариантный формализм Лагранжа для непрерывных систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Теория поля может быть построена по аналогии и использовании математического аппарата классической механики систем материальных точек. В рамках классической механики мы встречаемся с системами, которые следует рассматривать как непрерывные. Поэтому обычно при изучении рассматривается пример перехода от дискретной механической системы к непрерывной в рамках формализма Лагранжа, который наиболее приспособлен для последующего описания релятивистских непрерывных систем.

Учитывая в лагранжевом формализме постулаты специальной теории относительности и дополняя вариационные принципы аналитической механики требованиями релятивистской теории, определены динамические переменные в четырехмерном пространстве-времени, тем самым установлены релятивистские уравнения движения для электромагнитного поля, а также скалярных и спинорных частиц.

Уравнения взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами получены на основе принципов калибровочной инвариантности. Для решения этих уравнений определены в рамках ковариантного метода функций Грина (метода функций распределения). Затем, используя методы теории возмущений и свойства полевых функций на асимптотике, определены амплитуды и сечения конкретных электродинамических процессов.

В основе современной теории элементарных частиц лежат понятия полей. Каждому типу элементарных частиц сопоставляется своё поле. Посредством квантов поля осуществляется взаимодействие. Считается, что задана полевая функция, если каждой точке пространства и времени ставится в соответствие одна или несколько величин . Полевые функции удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям движения, которые содержат информацию о физическом состоянии физической системы.

Классические поля, соответствующие определённым элементарным частицам, являются непрерывными волновыми функциями, обладающими определенными трансформационными свойствами относительно преобразования пространственно-временных координат.

Одним из наиболее подходящих формализмов для построения уравнений движения для полевых функций является математический аппарат непрерывных систем, в котором используются вариационные принципы. В системе вариационных принципов лагранжев формализм более приспособлен для учета квантовомеханических и трансформационных релятивистских свойств элементарных частиц.

Целью моей курсовой работы является: изучение релятивистского ковариантного формализма Лагранжа для непрерывных систем.

Объектом в работе выступает: -непрерывная релятивистская система предметом: Лагранжев формализм для непрерывных систем.



1 Лагранжев формализм для непрерывных систем

1.1 Переход от дискретной системы к непрерывной

Для простоты рассмотрим дискретную модель бесконечно длинной одномерной струны. Дискретная модель представляется в виде бесконечной одномерной совокупности материальных точек массы , расположенных на расстоянии друг от друга, и соединенных пружинами жесткости k. Обозначим продольное смещение n-ой материальной точки из положения равновесия в момент времени tвеличиной, а скорость смещения -

Функция Лагранжа этой дискретной модели имеет вид:

(1.1)

В выражении (1.1) потенциальная энергия взаимодействия материальных точек посредством потенциальной упругой силы определена так:

(1.2)

Из соотношения (1.2) следует

(1.3)

Следовательно, -сила, с которой материальные точки «n-1» и «n+1»действуют на материальную точку «n».

Уравнения Лагранжа-Эйлера, которые можно получить на основе функции Лагранжа (1.1), выглядят так:

(1.4)

Как видно из (1.4) смещениеявляется обобщенной координатой системы.

Используя уравнение (1.1) и (1.4), получим:

(1.5)

Таким образом, если система состоит из бесконечного числа материальных точек, то такая система имеет бесконечное число степеней свободы и этим степеням свободы соответствует бесконечное число обобщенных координат и уравнений движения (1.5), которым удовлетворяют эти координаты.

Перейдем теперь к непрерывной одномерной системе типа одномерной бесконечной струны и рассмотрим распространение продольных возмущений в этой струне. Для этого осуществим следующую схему замены:

- линейная плотность.

тогда функция Лагранжа (1.1) примет вид:



где - модуль Юнга.

Таким образом, функция Лагранжа L имеет вид:

(1.6)

Согласно (1.6) L(x) можно называть плотностью функции Лагранжа или лагранжианом и эта плотность функции для распространения продольных возмущений вдоль одномерной струны определяется следующим образом:

(1.7)

Классические поля, соответствующие определённым элементарным частицам, являются непрерывными волновыми функциями, обладающими определенными трансформационными свойствами относительно преобразования пространственно-временных координат.

Одним из наиболее подходящих формализмов для построения уравнений движения для полевых функций является математический аппарат непрерывных систем, в котором используются вариационные принципы. В системе вариационных принципов лагранжев формализм более приспособлен для учета квантовомеханических и трансформационных релятивистских свойств элементарных частиц.

1.2 Вариационный принцип для непрерывной одномерной системы (принцип наименьшего действия)

Пусть, в общем случае, лагранжиан зависит от переменных т.е. является функцией



(1.8)

где

Функция действия определяется через следующим образом:

(1.9)

При варьировании функцииS(1.9) будем использовать граничные условия

(1.10)

(1.11)

В этом случае вариацию функции действия можно привести к следующему виду

(1.12)

Таким образом, приравняв нулю (1.12) согласно принципу наименьшего действия, получим уравнение Лагранжа-Эйлера для непрерывной системы.

(1.13)



Например, используя лагранжиан (1.7) в уравнении (1.13) нетрудно убедиться, что

,

В результате получим уравнение

(1.14)

где (1.15)

- скорость распространения продольных колебаний.

Уравнение (1.14) описывает распространение продольных возмущений вдоль одномерной струны со скоростью v.

В случае, когда лагранжиан зависит от как функции 3-х переменных x,y,z и времени t

повторяя выше приведенное варьирование функции действия, а также, используя граничные условия и принцип наименьшего действия, получим

(1.16)

где

Если обобщенная координата непрерывной системы задается в виде компонент , то уравнение Лагранжа-Эйлера (1.16) записывается для каждой компоненты :



(1.17)



2. Лагранжев релятивистски-ковариантный формализм для непрерывных систем

2.1 Пространство Минковского и релятивистское обобщение метода Лагранжа

Как следует из общих принципов специальной теории относительности и преобразований Лоренца при построении ковариантного описания непрерывной системы удобно объединить пространственные координаты и время в одно четырехмерное многообразие. Четырехмерный вектор определяется компонентами

В этом случае квадрат 4-х- вектора будет определяться следующим образом

(2.1)

где µ пробегает значения 1, 2, 3, 4.Согласно принципам теории относительности квадрат длинны четырех- мерного вектора (2.1) является инвариантом относительно преобразований Лоренца

(2.2)

Из требования инвариантности (2.2) следует условие ортогональности преобразований Лоренца, т.е. если

(2.3)

то матричные элемент удовлетворяют условию



(2.4)

где- символ Кронекера.

Частные преобразования Лоренца, когда выполняется переход в инерциальную систему отсчета, двигающуюся вдоль оси ОХ, имеют вид:

(2.5)

где,

?-скорость движения инерциальной системы отсчёта.

Нетрудно убедиться, что матрица вида (2.5) удовлетворяет условию ортогональности (2.4)

(2.6)

где - транспонированная матрица.

2.2 Требования, предъявляемые к лагранжиану поля

В релятивистской теории поля уравнения движения должны иметь ковариантную форму относительно координат и времени .Лагранжев формализм является наиболее подходящим для релятивистского описания полей, соответствующих определенным элементарным частицам. Для этого будем считать, что функции непрерывных систем определяются в точке четырёхмерного пространства - времени Лагранжиан непрерывной системы, который зависит от полевой функции и четырёхмерных производных от этой функции, должен удовлетворять определённым требованиям. Эти требования следуют из основных принципов релятивистской теории и квантовой механики.

Во-первых, Лагранжиан должен быть релятивистки инвариантной величиной, следовательно, полевые функции должны реализовать представление преобразований Лоренца.

Во-вторых, Лагранжиан должен быть вещественной величиной, поскольку, как известно из формализма Лагранжа, физически измеряемые величины выражаются через Лагранжиан.

В зависимости от типа релятивистских уравнений непрерывных систем вводятся дополнительные ограничения, например, такие как требование линейности, локальности, требование, чтобы Лагранжиан зависел от производных не выше второго порядка и т.д.

Учитывая эти требования, уравнения Лагранжа-Эйлера в релятивистской формулировке можно получить, используя принцип наименьшего действия в четырёхмерном пространстве - времени. Уравнения, которые следуют из вариационного принципа в релятивистской формулировке, совпадают с уравнениями (1.17), если в (1.17) перейти к четырехмерной форме.

(2.7)

где

2.3 Тензор энергии - импульса непрерывной системы

Пусть имеется скалярная функция, определенная в четырехмерном пространстве. Потребуем, чтобы функциябыла инвариантной относительно сдвига координат на малую величин. В этом случае преобразования функции можно представить следующим образом:



(2.8)

В этом выражении введены следующие обозначения:

- вариация функции по форме,

-вариация функции, обусловленная смещением аргумента.

Поскольку справедливо соотношение

=(2.9) то из (2.8) и (2.9) следует

(2.10)

Требования инвариантности Лагранжиана непрерывной системы относительно преобразования представим соотношением

(2.11)

В (2.10) вместо функции подставим L и вычислим вариацию

(2.12)

Поскольку функция непрерывной системы удовлетворяет уравнению(2.7), т.е.,тогда (2.12) можно представить так, , а соотношение (2.10) для L будет иметь вид(2.13)



где было использовано , т.е. считаем, что не изменяется при трансляциях на вектор. Таким образом, из (2.13) следует:

(2.14)

Если компоненты независимые, то из (2.14) получим

(2.15)

где в уравнении (2.15) тензор равен

(2.16)

Тензор называется тензором энергии - импульса, а (2.15) - уравнение непрерывности для. С помощью компонент тензора определяются энергия и импульс непрерывной системы. В самом деле, компонента имеет вид

(2.17)

Поскольку для непрерывной системы - обобщенная координата, а -плотностьобобщенногоимпульса,тоявляется плотностью энергии непрерывной системы. В случае, когда - многокомпонентная функция, тогда определение (2.16) имеет вид

(2.18)



Введем четырехмерный вектор

(2.19)

В этом случае видно, что компоненты

,(2.20)

а трехмерная часть вектора (2.19) определяется так:

(2.21)

Компонент имеет физическую интерпретацию четырехмерного импульса непрерывной системы.

2.4 Плотность тока непрерывной системы

В случае квантовомеханических систем, когда состояния определяются в общем случае комплексными волновыми функциями и комплексно - сопряженными функциями , Лагранжиан является функцией

Согласно квантовой механике плотность вероятности состояния квантовомеханической системы. Нетрудно убедиться, что инвариантно относительно калибровочных преобразований следующего вида: дискретный релятивистский лагранж одномерный



(2.22)

(2.23)

где - постоянная величина.

Если малая величина, тогда заменив на в (2.22) и (2.23) получим:

,(2.24)

.(2.25)

Из (2.24) и (2.25) видно, что изменение функции обусловлено только вариацией и при неизменных координатах и времени. Требование инвариантности Лагранжиана системы относительно преобразований (2.24) и (2.25) имеет вид:

(2.26)

Расписывая соотношение (2.26) с учетом варьирования и уравнений движения

, получим:

(2.27)

Из (2.27), а также (2.24) и (2.25), следует

(2.28)

Введем определение плотности четырехмерного тока вероятности

(2.29)

В этом случае (2.28) примет вид:

(2.30)

т.е. является уравнением непрерывности для плотности потока вероятностей. Если ввести, а вектор считать плотностью тока вероятностей, то (2.30) можно записать так:

=0.(2.31)

Уравнение (2.31) является законом сохранения плотности вероятности квантовой системы в локальной форме.



Заключение

В своей курсовой работе я рассмотрел: Лагранжев формализм для непрерывных систем, переход от дискретной системы к непрерывной, вариационный принцип для непрерывной одномерной системы, Лагранжев релятивистский ковариантный формализм для непрерывных систем, пространство Минковского и релятивистское обобщение метода Лагранжа, требования предъявляемые к лагранжиану поля, тензор энергии - импульса непрерывной системы, а так же плотность тока непрерывной системы.

В результате проведенных мной исследований я сделал следующие выводы: рассматривая пример перехода от дискретной механической системы к непрерывной, нужно учитывать в лагранжевом формализме постулаты специальной территории, теории относительности и дополнения вариационных принципов аналитической механики требованиям релятивистской теории. Эти все требования были показаны на примерах. Одним из наиболее подходящих формализмов для построения уравнений движения, для полевых функций- является математический аппарат непрерывных систем, в которых используются вариационные принципы.



Список литературы

1. Окунь, Л.Б. Слабое взаимодействие элементарных частиц /

2. Л.Б. Окунь. - М.: Наука, 1963. - 248 с.

3. Окунь, Л.Б. Физика элементарных частиц / Л.Б. Окунь. - М.: Наука, 1988. - 272 с.

4. A measurement of the space-like pion electromagnetic form factor / S.R. Amendola, M. Arik, B. Badelek // Adv. Nucl. Phys. - 1986. - Vol. 277 B. - № 1. - P. 168 - 196.

5. Pervushin, V.N. Pion polarizability in chiral quantum field theory / V.N. Pervushin, M.K. Volkov // Phys. Lett. - 1975. - Vol. 55B - P. 405 - 408.

6. Говорков, А.Б. Введение в теорию кварков: лекции для молодых ученых / А.Б. Говорков //Дубна: ОИЯИ, 1979 - P2-12803. - 74 с.

7. Емельянов, В.М. Стандартная модель и ее расширения /

8. В.М. Емельянов. - М.: Физматлит, 2007. - 584 с.

9. Schoberl, F. Quark core contribution to the electric polarizability of hadrons / F. Schoberl, H. Leeb // Phys. Lett. - 1986. -Vol. 166B. - P. 355 - 359.

10. Ченг, Т.П. Калибровочные теории в физике элементарных частиц / Т.П. Ченг, Л.Ф. Ли. - М.: Мир, 1987. - 624 с.

11. Simone, J.N. Leptonic decay constants f(D/s) and f(D) in three flavor lattice QCD / J.N. Simone, [et al.] // Nucl. Phys. Proc. Suppl. - 2005. - Vol. 140. -P. 443 - 445.

12. Ebert, D. Relativistic treatment of the decay constants of light and heavy mesons / D. Ebert, R. N. Faustov, V. O. Galkin // Phys. Lett. - 2006. -Vol. B635. - P. 93 - 99.

13. Colangelo, P. Relativistic bound-state effects in neavy-meson physics / P. Colangelo, G. Narduli, M. Pietroni // Phys. Rev. - 1991. - Vol. D43, №9. - P. 3002 - 3010.

14. Ivanov, M.A. Leptonic and semileptonic decays of pseudoscalar mesons / M. A. Ivanov, P. Santorelli // Phys.Lett. - 1999. - Vol. B456. - P. 248 - 255.

15. Максименко, Н.В. Низкоэнергетическое комптоновское рассеяние на пионе в кварково-полевой модели / Н.В. Максименко,

16. О.М. Дерюжкова, Е.В.Вакулина // Актуальные проблемы теоретической физики, физики конденсированных сред и астрофизики: материалы международной научной конференции, БрГУ, Брест, 23 - 24 сент. 2010. / Брест: БрГУ имени А.С.Пушкина, 2010. - С. 89 - 93.

17. Кучин, С.М. Вклад валентных кварков в электрическуюполяризуемость мезонов в нерелятивистской кварковой модели / С.М. Кучин, Е.В. Вакулина // Актуальные проблемы науки и образования: материалы международной научно-практической конференции, БГУ, Новозыбков, 23 - 24 апр. 2009. / Новозыбков: Брянский государственный университет им. ак. И.Г. Петровского, филиал в г. Новозыбкове, 2009. - С. 62 - 73.

Размещено на Allbest.ru