Расчет электрических цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Цель работы

1. Освоение методики измерения токов, напряжений, потенциалов.

2. Опытная проверка законов Кирхгофа и принципа наложения.

3. Расчёт токов в ветвях заданной электрической цепи методами контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора.

4. Построение потенциальной диаграммы.

5. Составление баланса мощностей.

6. Сравнение результатов опыта и расчёта.

ток кирхгоф электрический генератор

2. Теоретические сведения

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются фундаментальными законами электротехники.

Первый закон Кирхгофа формулируется для узла электрической цепи: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю. При этом подходящие к узлу токи записываются с одним знаком, отходящие - с другим.

Например, для узла, изображенного на рис. 1, можно записать первый закон Кирхгофа:

Рис. 1

I₁ + I₂ - I₃ - I₄ = 0 или - I₁ - I₂ + I₃ + I₄ = 0

Число линейно независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов схемы.

Второй закон Кирхгофа формулируется для контура электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжений на участках контура равна алгебраической сумме ЭДС того же контура. При этом, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она берется со знаком „плюс", если не совпадает - со знаком „минус". Падение напряжения на элементе берется со знаком „плюс", если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода, если не совпадает - со знаком „минус".

Например, для контура, показанного на рис. 2, можно записать:

Рис. 2

R₁I₁ + R₂I₂ - R₃I₃ - R₄I₄ = E₁ - E₂

Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров - контуров, отличающихся друг от друга хотя бы одной новой ветвью.

Последовательность определения токов ветвей по законам Кирхгофа:

1) Выбирается направления токов ветвей. Число токов равно числу ветвей схемы. Токи ветвей с источниками тока известны.

2) Записываются уравнения по первому закону Кирхгофа, их число на единицу меньше числа узлов схемы.

3) Выбираются независимые контуры и направления их обхода.

4) Записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, при этом уравнения для контуров, включающих источники тока, не составляются.

5) В результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяются токи ветвей.

Метод контурных токов

В этом методе за неизвестные принимают токи независимых контуров (контурные токи), а токи ветвей выражают через контурные.

Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 3, в которой известны величины ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рис. 3

Выберем независимые контуры и направления их обхода. Допустим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, совпадающий с направлением обхода - I₁₁ , I₂₂ , I₃₃ .Выберем направления токов ветвей и составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров (для контура с источником тока уравнение не составляется, так как I₃₃ = J):

R₁I₁ + (R₂ + R₃)I₂ = E₁

-(R₂ + R₃)I₂ - R₄I₃ + R₅I₄ = -E₂ (*)

Выразим токи ветвей через контурные:

I₁ = I₁₁ ; I₂ = I₁₁ - I₂₂ ; I₆ = I₃ = -I₂₂ ; I₄ = I₂₂ + I₃₃ ; I₅ = I₃₃ ; I₃₃ = J ; I₅ = J

и подставим в систему (*):

R₁I₁₁ + (R₂ + R₃)(I₁₁ - I₂₂) = E₁

-(R₂ + R₃) (I₁₁ - I₂₂) - R₄(-I₂₂) + R₅(I₂₂ + I₃₃) = -E₂

После группировки получим:

(R₁ + R₂ + R₃)I₁₁ - (R₂ + R₃) I₂₂ = E₁

-(R₂ + R₃) I₁₁ + -(R₂ + R₃ + R₄ + R₅ )I₂₂ + R₅I₃₃ = -E₂

В общем виде для трехконтурной схемы с одним источником тока:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = E₁₁

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₂₃ = E_22,

где R₁₁ , R₂₂ - собственные сопротивления контуров I₁₁ и I₂₂, каждое из которых равно сумме сопротивлении, входящих в данный контур;

R₁₂ = R₂₁ , R₁₃ ,R₂₃ - общие сопротивления контуров. Общее сопротивление равно сопротивлению ветви, общей для рассматриваемых контуров, Общие сопротивления берутся со знаком "плюс", если контурные токи в них направлены одинаково и со знаком "минус", если контурные токи в них направлены встречно. Если контуры не имеют общей ветви, то их общее сопротивление равно нулю. В рассматриваемом примере R₁₃ = 0;

Е₁₁ , Е₂₂ - контурные ЭДС, каждая из которых равна алгебраической сумме ЭДС данного контура. ЭДС берется со знаком "плюс", если ее направление совпадает с направлением контурного тока, если не совпадает - со знаком "минус".

Последовательность определения токов ветвей методом контурных токов

1) Выбираются независимые контуры и направления контурных токов.

2) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений равно числу независимых контуров схемы минус число контуров, содержащих источники тока. Количество слагаемых в левой части уравнения равно числу независимых контуров.

3) Определяются коэффициенты при неизвестных - собственные и общие сопротивления контуров, а также контурные ЭДС. Если общей ветвью контуров является источник ЭДС без сопротивления, то общее сопротивление этих контуров равно нулю.

4) Рассчитываются контурные токи.

5) Выбираются направления токов ветвей.

6) Определяются токи ветвей.

Метод узловых потенциалов

В этом методе за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, а токи ветвей находят по закону Ома.

Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 4, в которой известны величины ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.



Рис. 4

В этой схеме два неизвестных потенциала: и , поскольку =, =, =, а потенциал одного из узлов, в данном случае , принимается равным нулю, что на схеме обозначается заземлением узла 3.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа, предварительно выбрав направления токов в ветвях:

узел 1: -I₁ + I₃ + I₄ + I₅ -I₇ = 0

узел 2: I₂ - I₃ - I₄ + I₆ + I₇ = 0 (*)

Выразим токи ветвей через потенциалы узлов:

;

;

;

;

; ;

и подставим в систему (*):

После группировки получим:

В общем виде:

где , - собственные (узловые) проводимости узлов 1 и 2, каждая из которых равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле;

, - общая проводимость - взятая со знаком "минус" сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2 (проводимость ветви, содержащей источник тока, равна нулю);

, - задающие (узловые) токи узлов 1 и 2, каждый из которых равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимость ветвей, в которых они находятся (рассматриваются ветви, подключенные к данному узлу), и алгебраической сумме токов источников тока, подключенных к данному узлу. Знаки слагаемых: "плюс" - если направление ЭДС (источника тока) к узлу, "минус" - если направление ЭДС (источника тока) от узла.

Последовательность определения токов ветвей методом узловых потенциалов:

1) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений системы на единицу меньше числа узлов схемы. Если в схеме содержится ветвь с источником ЭДС без сопротивлений, то ₂ = ₁ + E₁. Приняв ₁ = 0, получим ₂ = E₁.

2) Определяются коэффициенты при неизвестных - собственные и общие проводимости, также задающие токи узлов.

3) Рассчитывается потенциалы узлов.

4) Выбираются направления токов ветвей.

5) Определяются токи ветвей.

Метод эквивалентного генератора

При расчетах линейных электрических цепей возможна замена части цепи, содержащей источник ЭДС и тока, относительно зажимов выделенной ветви ab (рис. 5,а) активным двухполюсником, состоящим из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления. В этом случае указанную ветвь можно рассматривать как нагрузку эквивалентного генератора с ЭДС Е_Г и сопротивлением R_Г.

Рис. 5

Эквивалентная ЭДС Е_Г равна напряжению на зажимах ab при разомкнутой ветви R_H, т.е. напряжению холостого хода U_х.х.

Сопротивление R_Г равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов ab при разомкнутой ветви R_H. Источники при этом исключаются из схемы. Эквивалентные параметры Е_Г и R_Г могут быть определены опытным путем из режимов холостого хода (рис. 5,б) и короткого замыкания (рис. 5,в):

Е_Г = U_х.х ;

Сравнение методов

Наиболее эффективным методом при расчете цепи постоянного тока является тот метод, который приводит к наименьшему числу уравнений, составляющих систему решения. Поэтому выбор способа решения напрямую зависит от исследуемой схемы. Если в этой схеме малое количество узлов, то решение удобнее проводить методом узловых потенциалов, если же в схеме небольшое количество независимых контуров, то удобней решать методом контурных токов. Метод эквивалентного генератора можно применять в очень сложных цепях, когда требуется найти один какой-либо параметр. При использовании этого метода число ветвей в схеме для анализа уменьшается на одну, что упрощает расчет.

3. Экспериментальная часть

1) Измеряем Е1 и Е2 , показания заносим в таблицу 1.1.

Таблица1.1 Параметры исследуемой цепи

Значения ЭДС, В	Сопротивления резисторов , Ом	Сопротивления амперметров, Ом
Е1	Е2	R1	R2	R3	R4	R5	R6	RA1	RA2	RA3
9	9	150	79	40	80	120	150	1	2	1

2) При замкнутом ключе S измеряем токи от действия обеих ЭДС, полученные значения заносим в таблицу 1.2 и 1.4 .

Таблица 1.2 Сравнение значений токов, полученных расчётами и в опыте

3) Принимаем потенциал одного из узлов схемы (узла номер 3) равным нулю, измеряем потенциалы указанных точек, заносим их в таблицу 1.3

Таблица 1.3 Сравнение значений потенциалов, полученных расчетом и в опыте

4) Измеряем и заносим в таблицу 1.4 значения токов от действия Е₁, Е₂ .

Таблица 1.4 Проверка принципа наложения

включены ЭДС, В	Токи, мА
	опыт	расчёт
Е1	I'1	I'2	I'3	преобразованием цепи
				I'1	I'2	I'3
	35	-6	26	34	-6	28
Е2	I''1	I''2	I''3	преобразованием цепи
				I''1	I''2	I''3
	-6	36	32	-6,3	38	33
Е1, Е2	I1	I2	I3	методом наложения
				I1	I2	I3
	29	30	58	27,7	32	61

5) Измеряем и заносим в таблицу ЭДС генератора ток короткого замыкания и сопротивление генератора.

Таблица 1.5 Параметры эквивалентного генератора

4. Расчётная часть

Составим уравнения по законам Кирхгофа:

-по первому закону Кирхгофа:

-по второму закону Кирхгофа:

Потенциальная диаграмма

Потенциалы всех узлов, обозначенных на схеме:

Метод контурных токов

Выберем три независимых контура. Обозначим контурные токи: I₁₁, I₂₂, I₃₃, выбрав направление обхода произвольно.

Составим систему уравнений для определения контурных токов:

Для данной схемы выразим токи через контурные:

Решив полученную систему уравнений, найдем контурные токи:

Метод узловых потенциалов

Запишем систему уравнений для потенциалов узлов 1 и 2:



По исходным данным вычислим значения задающих токов и проводимостей ветвей:

Решив полученную систему уравнений, получим потенциалы узлов:

Исходя из потенциалов узлов и 2-го закона Кирхгофа, найдем токи ветвей:

Расчет токов методом наложения

Метод основан на предположении о линейности цепи, т.е. о том, что все источники в схеме действуют независимо и токи в ветвях схемы можно представить как алгебраическую сумму токов каждого из источников.

Преобразуем исходную схему, исключив второй источник напряжения.

Рассчитаем сопротивление, когда исключен второй источник:

Теперь рассчитаем токи в ветвях схемы с учетом принятых для них направлений.

Проведем аналогичный расчет, исключив первый источник.

Рассчитаем сопротивление, когда исключен первый источник:

Найдем токи для этой цепи:



+

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора основан на том, что вся схема, подключенная к какой-нибудь одной ее ветви, ток в которой нужно найти, заменяется эквивалентным генератором с ЭДС и внутренним сопротивлением такими, что ток в этой ветви не изменяется по сравнению с исходной схемой.

Для заданной схемы рассчитаем сопротивление, исключив ветвь с сопротивлением R3:

Ток I₃ рассчитаем по закону Ома:

.

Проверка баланса мощностей в схеме

Баланс мощностей в схеме определяется следующими выражениями:

Погрешность вычислений найдем по формуле:

Для заданной схемы баланс мощностей запишется в виде:

Проверка баланса мощностей в схеме

Таблица 4.7

Способ определения	Мощность источников, Вт	Мощность потребителей, Вт	Относительная погрешность, %
Метод узловых потенциалов	1,088	1,087	0.09
Метод контурных токов	1,089	1,086	0,2
Метод наложения	1,089	1,087	0

Выводы

Расчеты, проведенные в данной работе, позволяют глубже понять суть методов расчета электрических цепей постоянного тока и соотношение их с практикой. Их результаты показывают, что изучаемые методы расчета абсолютно точны в принципе, а погрешности или расхождение с практикой могут появиться только в результате округления чисел в расчетах или использования неполных математических моделей реальных схем.

Наиболее простым для понимания и решения в данной работе для меня оказался метод наложения, потому что он использует только тождественные преобразования электрической цепи и закон Ома и не ипользуются искусственные приемы (расчет контурных токов, потенциалов узлов и т.д.). Использование метода узловых потенциалов при расчете цепи дает более простые уравнения, чем метода контурных токов - в схеме 2 узла с неизвестными потенциалами и три независимых контура.

Сложнее всего оказывается метод эквивалентного генератора: для расчета ЭДС эквивалентного генератора приходится использовать метод узловых потенциалов, так как результирующая схема содержит два контура и два узла. При этом также необходимо использовать преобразование цепи для расчета сопротивления эквивалентного генератора. Таким образом, в данной схеме выигрыш в объеме расчетов дает именно метод узловых потенциалов.

При этом всегда следует учитывать то, что выбор конкретного метода для расчета заданной электрической цепи всегда стоит осуществлять, ориентируясь не только на ее структуру, но и учитывая глубину понимания данного метода расчета, т.к. это в конечном итоге может сократить требуемое время для расчета, что при одинаковых результатах расчета может служить критерием оптимального способа решения.

Список использованной литературы

1. А.Ю. Тэттэр, В.Н. Зажирко "Режимы постоянного и синусоидального токов в линейных электрических цепях" Омск, изд-во ОмГУПС, 2001 г.

Размещено на Allbest.ru