Кинематика движения точки твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчетно-графическое задание по статике

Кинематика движения точки твердого тела

Группа

Ек10Т21

Студент

Кузьмин Сергей Александрович

Преподаватель

Леготин Сергей Дмитриевич

Москва, 2012

ЗАДАЧА №1

УСЛОВИЕ ЗАДАНИЯ

По данным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t1 найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории в данной точке.

x=-2t2+3 (м); y=-5t (м); t1=0,5 (с).

РЕШЕНИЕ

Решение задачи выполним в следующей последовательности:

а) Установим вид уравнения, связывающего функции х и y, по которому судят о траектории движения точки. Из второго уравнения:

после подстановки во второе:

или окончательно:

.

Рис. 1

Это уравнение описывает параболу с вершиной в точке (3,0) (рис. 1). Начало движения соответствует моменту времени t0=0. Используя исходные функции, найдем положение начальной точки:

Материальная точка начнет свое движение из геометрической точки с координатами Исходя из вида заданных координатных функций, при увеличении параметра t значение x будет уменьшатся, а значение y увеличивается, т. е. материальная точка будет перемещаться налево и вниз. Таким образом, траектория движения представляет собой левую ветвь перевернутой параболы с началом в ее вершине (3,0).

б) Положение точки в момент t1 определим путем подстановки t1 в исходные зависимости:

в) Скорость точки.

Проекция вектора скорости:

Величина вектора скорости:

Значение скорости в момент времени t1:

г) Полное ускорение точки:

Величина ускорения по своим проекциям определяется по теореме Пифагора:

д) Касательное ускорение точки:

Для момента времени t1:

е) Нормальное ускорение точки.

ж) Радиус кривизны траектории в данной точке:

ОТВЕТ

траектория движения представляет собой левую ветвь перевернутой параболы с началом в ее вершине (3,0);

положение точки для момента t1 определяется координатами;

скорость точки для момента t1 равна ;

полное ускорение точки для момента t1 равн0 ;

касательное ускорение точки для момента t1 равно ;

нормальное ускорение точки для момента t1 равно ;

радиус кривизны траектории в данной точке .

ЗАДАЧА №2

УСЛОВИЕ ЗАДАНИЯ

Рис. 2

Дано. Заданный механизм представлен на рис. 2, уравнение движения груза 1 описывается выражением: .

В начальный момент времени начальная координата груза , а начальная скорость .

В момент времени координата груза .

; ; .

Определить:

уравнение движения груза 1;

скорость и ускорение груза 1 в момент времени ;

угловые скорости и угловые ускорения шкивов 2 и 3 в момент времени ;

скорость и ускорение точки M шкива 3 при .

РЕШЕНИЕ

Дано: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Определить: ; ; ; ; ; ; ; ; .

Итак:

груз 1 движется поступательно вертикально вниз;

шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси O2z2 (рис. 3);

шкив 3 вращается вокруг неподвижной оси O3z3 (рис. 3).

Уравнение движения груза 1

(1)

Скорость груза 1 определим, продифференцировав закон движения по времени:

(2)

Касательное ускорение груза 1 определим, получив вторую производную от уравнения (2):

(3)

Таким образом, ускорение не зависит от времени t. Следовательно, ускорение есть величина постоянная, а движение груза - равноускоренное. При движении по прямой нормальное ускорение отсутствует (), поэтому полное ускорение груза определяется только касательной составляющей ().

Для определения постоянных коэффициентов подставим начальные условия в уравнения (1) и (2).

; ; ;

, откуда

, откуда

Подставляя числовые значения, находим коэффициенты

, ;

Для определения коэффициента используем данные для момента времени , подставляя их в уравнение (1):

при , ,

,

откуда

Подставляя числовые значения, получаем:

Таким образом, уравнение движения груза 1:

(4)

Скорость груза 1:

(5)

Касательное ускорение груза 1:

(6)

Значение координаты, скорости и ускорения груза 1 в заданный момент времени найдем, подставив это время в уравнения (4), (5) и (6).

Подставляя числовые значения, находим

Направления показаны на рис. 3. Векторы скорости и ускорения направлены по оси Ох ( и положительны).

Так как нить нерастяжимая, то

Из кинематики вращения тела 2 вокруг неподвижной оси O2z2:

угловая скорость

,

где EO2 - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения, равное R2:

Направление угловой скорости соответствует направление вектора скорости в точке E, т.е. по часовой стрелки (рис. 3).

Угловое ускорение:

Направление углового ускорения соответствует направлению вектора касательного ускорения, т.е. по часовой стрелки (рис. 3)

Модуль скорость точки K:

,

где KO2 - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения, равное :

Направлен вектор скорости перпендикулярно к кратчайшему расстоянию KO2 и соответствует направлению угловой скорости (рис. 3).

Касательное ускорение точки K:

Направлен вектор касательного ускорения точки K перпендикулярно кратчайшему расстоянию от точки K до оси вращения и соответствует направлению углового ускорения .

Так как ремень нерастяжимый, то

Направления векторов и показаны на рис. 3.

Из кинематики вращения тела 3 вокруг неподвижной оси вращения O3z3:

угловая скорость

,

где NO3 - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения, равное R3:

Направлена угловая скорость по часовой стрелке и соответствует направлению вектора скорости (рис. 3).

Угловое ускорение:

Направление углового ускорения соответствует направлению вектора касательного ускорения, т.е. по часовой стрелке (рис. 3).

Скорость точки M:

,

где MO3 - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения, равное R3:

Направлен вектор скорости точки M перпендикулярно кратчайшему расстоянию MO3 и соответствует направлению угловой скорости (рис. 3).

Касательное ускорение точки M:

Направлен вектор касательного ускорения перпендикулярно кратчайшему расстоянию от точки M до оси вращения и соответствует направлению углового ускорения (рис. 3).

Нормальное ускорение точки M:

Направлен вектор нормального ускорения по радиусу MO3 в сторону оси вращения O3z3.

Полное ускорение точки M есть векторная сумма двух ускорений:

Его величина:

Направление вектора показано на расчетной схеме (рис. 3) диагональю прямоугольника, построенного на векторах нормального и касательного ускорения как на сторонах.

Так как вектор ускорения и вектор скорости груза 1 направлены в одну сторону и при этом ускорение есть величина постоянная, то груз 1, тела 2 и 3, а вместе с ними и точка M совершают равноускоренное движение.

траектория точка движение скорость

ОТВЕТ

Уравнение движения груза 1:

Рис. 3

Размещено на www.allbest.ru