Оптика. Элементы квантовой механики

Известны 4 механики: классическая или ньютоновская механика, релятивистская механика (теория относительности), квантовая механика и релятивистская квантовая механика. Первые две механики изучались в I - ой части курса физики, а сейчас переходим к изучению квантовой механики.

Квантовая механика - это механика микромира, механика движения микрочастиц в микрополях - атомах, молекулах, кристаллах. Ее можно рассматривать как основную теорию атомных явлений.

Опытные факты, на которых она основывается, отражают физические процессы, почти полностью лежащие за пределами непосредственного человеческого восприятия. Поэтому нет ничего удивительного в том, что теория содержит физические понятия, чуждые повседневному опыту.

Начало создания последовательной теории атомных явлений можно отнести к 1924 г., когда Луи де Бройль предположил, что природа вещества также является двойственной (корпускулярной и волновой).

9.1 Гипотеза де Бройля. Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма материи. Опыт Девиссона-Джермера

В 1924 г. де Бройль выдвинул гипотезу (предположение), что дуализм (двойственность) не являются особенностью одних только оптических явлений (см. лекцию 8), а имеет универсальное значение, т.е. де Бройль выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствии волну, длина которой связана с импульсом частицы соотношением (формула де Бройля)

, (1)

а частота

v=E/h или =2v=E/, (2)

т.е. определяется энергией Е частицы.

Найдем длину волны де Бройля, соответствующую движущемуся электрону. Кинетическая энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле равна

(3)

и скорость

(4)

Из (1) и (4) следует (учитывая, что е=1.610^-19 Кл, m=9.110^-31 кг, напряжение U выражается в вольтах)

. (5)

В обычных электронных приборах используют напряжение 110⁴В. Соответствующие длины волн летящих электронов составляют 100.1, т.е. изменяются в диапазоне длин волн обычных рентгеновских лучей (см. параграф 2.5).

По гипотезе де Бройля не только фотоны [см.(8.4)], но и все «обыкновенные частицы» (электроны, протоны, нейтроны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлениях интерференции, дифракции.

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Девиссон и Джермер в 1927 г. наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля. Узкий пучок электронов направлялся на поверхность монокристалла никеля. Отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом (см. рис.1), присоединенным к гальванометру. Интенсивность отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего через гальванометр. Ожидали получить дифракционную картину, аналогичную картине возникающей при дифракции рентгеновских лучей на том же кристалле, поскольку длина волны де Бройля для электронов изменялась в диапазоне длин волн рентгеновских лучей. Ожидание подтвердилось.

Согласно формуле Вульфа-Брегга [см. лекции 4, 5 формула (13)] условие дифракционного максимума имеет вид

2dsin=m, (6)

где d - расстояние между атомными плоскостями, - угол скольжения, m=1, 2, 3...

Для никеля d=2.03 , опыт проводился при =80; с учетом этого и формулы (5) из (6) следует

. (7)

Все это подтвердилось на опыте, особенно при больших значениях m (m = 6, 7, 8). При определенных дискретных напряжениях, определяемых согласно (7), гальванометр фиксировал максимальный ток (рис. 2).

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Итак, опыт Девиссона-Джермера подтвердил гипотезу де Бройля - движущиеся электроны ведут себя как волны. Позднее были поставлены другие опыты, подтверждающие волновые свойства микромира.

Заметим, что волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии с волнами в классической физике, т.е. они «не похожи ни на что из того, что вам когда-нибудь приходилось видеть» (Фейнман).

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В классической физике «понять» означало составить себе наглядный образ объекта или процесса. Квантовую физику нельзя понять в таком смысле слова и поэтому следует отказаться от попыток строить наглядные модели поведения квантовых объектов.

9.2 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной х, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы. До прохождения частицы через щель р_х имеет точное значение, равное 0, так что неопределенность импульса р_х= 0, зато координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность х, но это достигается ценой утраты определенности значения р_х. Действительно, вследствии дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах некоторого угла 2, где - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность импульса

р_х=рsin . (8)

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной х соответствует угол , для которого [cм. (4.8) при b=х и m=1]

sin=/ х. (9)

Следовательно,

р_х=р/ х. (10)

Отсюда с учетом (1) получается соотношение

хр_х =р=h (11)

В общем случае соотношение

хр_х h, yр_y h, zр_z h (12)

называют соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Из него следует, что чем точнее определена координата (х мало, т.е. узкая щель), тем больше неопределенность в импульсе частицы р_х h/х. Точность определения импульса будет возрастать с увеличением ширины щели х [cм. (9), (8)] и при х не будет наблюдаться дифракционная картина, и поэтому неопределенность импульса р_х будет такой же, как и до прохождения частицы через щель, т.е. р_х=0. Но в этом случае не определена координата х частицы, т.е. х.

Невозможность одновременно точно определить координату и импульс (скорость) не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов. Соотношение неопределенности является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Выразим (11) в виде

хv_х h/m. (13)

Из (13) следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости. Для пылинки массой 10^-12 кг и линейными размерами 10^-6 м, координата которой определена с точностью до 0.01 от ее размеров (т.е. х=10^-8 м) неопределенность скорости согласно (13) v_х=6.6210^-31/(10^-810^-12)=6.6210^-14 м/c, т.е. будет ничтожно малой. Т. о. для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли, координата и скорость макротел могут быть измерены достаточно точно.

В квантовой механике рассматривается также соотношение неопределенностей между энергией частицы Е и временем t нахождения частицы в данном энергетическом состоянии (или времени наблюдения за состоянием частицы). Оно аналогично (11) и имеет вид

Еth. (14)

Из (14) следует, что частота излучения фотона также должна иметь неопределенность

v Е/h, (15)

т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой vv. Действительно, опыт показывает, что все спектральные линии размыты.

9.3 Волновая функция и ее статистический смысл

Мы привыкли к тому, что физически реальное - измеримо. Бор и Гейзенберг сделали обратное высказывание: «Принципиально неизмеримое - физически нереально». Поэтому «не надо говорить о вещах, которые невозможно измерить» (Фейнман). Поскольку из соотношения неопределенностей следует, что частица не имеет одновременно импульс и координату, то не следует об этом и говорить. А «говорить» следует о волновой функции, которая описывает микросостояние системы, ее волновые свойства.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно [cм. (1.5), (1.6)], что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

S=Acos(t- kх+_О)

или в экспоненциальной форме

S=А_Oехр[i(t- kх+_О)].

Заменив в соответствии с (1) и (2) и k=2/ через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

=А_Oехр[(-i/)(Еt- pх)] (16)

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет ², то это [cм. (16)] несущественно).

Функцию называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интерпретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP= ² dV=^*, (17)

где ^* - комплексно-сопряженная волновая функция.

Величина ²=^* = dP/ dV - имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1).

(18)

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства, и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные по координате х и времени t:

откуда

. (19)

9.4 Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

, (20)

где m - масса частицы, - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы, - оператор Лапласа [см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию (x,y,z,t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства. Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

(x, y, z, t) =(x, y, z) exp[-i(E/)t], (21)

где E/=.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

, (22)

где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.

9.5 Собственные функции и собственные значения. Свободная частица

Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.

В качестве примера определим и Е для свободной частицы.

Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Следовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде

. (23)

Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция (х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии

Е= . (24)

C учетом (21) волновая функция

(х)=Аexp(-it+ ikx)= Аexp[-(i/)(Еt- р_xх)]. (25)

здесь =Е/, k=р_x/.

Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].

Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса

Е=²k²/(2m)=Р_х²/(2m)=mv²/2 (26)

оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства

²=^*=A²,

т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

9.6 Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»

Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида

При таком условии частица не проникает за

пределы "ямы", т.е. (0)= (l)=0. (27)

В пределах ямы (0<x<l) уравнение (22) сведется к уравнению

 или , (28)

где k²=. Общее решение (28)

(х)=Аsinkx+Bcoskx. 29)

Так как согласно (27) ш(0)=0, то В=0, тогда (х)=Аsinkx . (30)

Условие (27) (l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=n, где n=1,2...целые числа, т.е. необходимо, чтобы

k=n/l. (31)

Из (29) и (31) следует, что

(32)

Таким образом, энергия в «потенциальной яме» принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.

Заметим, что n=1 cоответствует минимальная энергия Е₁0.

Подставив в (30) значения k из (31), найдем собственные функции

.

Постоянную А найдем из условия нормировки (18), которое для данного случая имеет вид

.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид

(33)

Графики этих функций, соответствующие уровням энергии при n=1, 2, 3, приведены на рис. 5 (а). На рис. 5 (б) изображены плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы

Из рис. следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находится в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны.

9.7 Квантовый осциллятор

Классическим осциллятором в классической механике называли частицу массой m, колеблющуюся с частотой ₀=k/m под действием упругой силы F=-kx.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Потенциальная энергия такой частицы U=kx²/2=mx²/2; в точках с координатами х_max она равна полной энергии Е. Т.о., энергия частицы могла принимать любые значения, т.е. изменяться непрерывно (рис.6).

В квантовой механике понятие силы не используется, поэтому квантовый осциллятор следует определить как частицу с потенциальной энергией

U=kx²/2=mx²/2. (34)

Подставляя (34) в (22) и учитывая, что частица движется только вдоль одной прямой (вдоль оси х), получим

. (35)

Решая уравнение (35), можно получить, что энергия (энергетический уровень) частицы принимает только дискретные значения (квантуется).

 (36)

n=0, 1, 2... - квантовые числа.

Наименьшее значение энергии E₀=₀/2 определяется только собственной частотой ₀ и ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы и при Т=0К.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Из (36) следует, что уровни находятся на равных расстояниях друг от друга

(37)

т.е. уровни эквидистантны [см. рис. 7, где на границе с потенциальной кривой U(х_max)=Е_n]. При больших квантовых числах n Е/Е_n=1/(n+12)0, т.е. происходит относительное сближение энергетических уровней и получаются результаты, близкие к результатам классического рассмотрения, когда энергия частицы может изменяться непрерывно, и, следовательно, может иметь любые значения. В этом заключается принцип соответствия, сформулированный Бором в 1923 г.:

При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать выводам и результатам классической механики.

Более общая трактовка принципа соответствия заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения. Причем в определенных, предельных случаях, новая теория переходит в старую.

Лекция 11. Физика атомов и молекул

11.1 Модель атома Резерфорда

До 1911 г. не было правильных представлений о строении атома. В 1911 г. Резерфорд и его сотрудники исследовали рассеяние -частиц при прохождении через тонкие металлические слои (-частицы испускают радиоактивные элементы. Они представляют собой ядра атомов гелия с зарядом 2е и массой, приблизительно в 4 раза большей, чем масса атома водорода. Скорость их достигает 10⁷ м/с). Было установлено, что при облучении листка золота толщиной 6 мкм значительное отклонение от первоначального направления движения испытывала лишь одна из 8000 -частиц. Результат получился таким же неожиданным для того времени, как если бы при обстреле кирпичами кирпичной стены толщиной в несколько тысяч кирпичей почти все кирпичи проходили бы сквозь стену и лишь некоторые отскакивали бы от стены.

На основании своих исследований Резерфорд предложил ядерную модель атома. Согласно этой модели атом состоит из положительного ядра, имеющего заряд Zе (Z - порядковый номер элемента в таблице Менделеева, е - элементарный заряд), размер 10^-5 -10^-4 А (1А= 10^-10 м) и массу практически равную массе атома. Вокруг ядра по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то вокруг ядра должно вращаться Z электронов, суммарный заряд которых - Zе. Размеры атома определяются размерами внешних орбит электронов и составляют порядка единиц А.

Масса электронов составляет очень малую долю массы ядра (для водорода 0,054%, для остальных элементов менее 0,03%). Понятие “размер электрона” не удается сформулировать непротиворечиво, хотя r_o 10^-3 А называют классическим радиусом электрона.

Итак, ядро атома занимает ничтожную часть объема атома и в нем сосредоточена практически вся (99,95%) масса атома. Если бы ядра атомов располагались вплотную друг к другу, то земной шар имел бы радиус 200 м а не 6400 км (плотность вещества атомных ядер 1,810¹⁷ кг/м³). Поэтому с точки зрения атомистических представлений всякую среду следует рассматривать как вакуум, в который вкраплены атомные ядра и электроны (или по-другому - как вакуум, слегка испорченный вкрапленными в него атомными ядрами и электронами).

Результаты опытов по рассеиванию -частиц свидетельствуют в пользу ядерной модели атома. Однако ядерная модель оказалась в противоречии с законами классической механики и электродинамики. Покажем это.

Предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r. При этом кулоновская сила взаимодействия между электроном и ядром сообщает электрону нормальное (центростремительное) ускорение, определяемое из второго закона Ньютона.

. (1)

При r = 1А из (1) находим, что а_n 10²²м/с². Согласно классической электродинамике, ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны (см. параграф 2.4.) и вследствие этого терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и, в конце концов, упадут на него, что противоречит действительности.

Выход из создавшего тупика был найден в 1913 г. Нильсом Бором, который сформулировал 2 постулата, противоречащие классическим представлениям.

11.2 Постулаты Бора

1. Первый постулат заключается в следующем:

Существуют только некоторые стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает энергию. Этим стационарным состояниям соответствуют вполне определенные (стационарные) орбиты, по которым движется электроны. При движении по стационарным орбитам электроны, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон должен иметь дискретные (квантованные) значения момента импульса

L_n = mrv = n, n = 1, 2, ... (2)

Здесь m, v - масса и скорость электрона, r - радиус его орбиты. С учетом (1) и (2) находим радиусы стационарных орбит электронов

. (3)

Для атома водорода (Z=1) радиус первой орбиты электрона при n = 1, называемый первым боровским радиусом (а), равен

r₁ = a = 0,528 А. (4)

внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (Т = mv²/2) и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром (U =-Ze²/(4₀r)),

 (5)

при выводе формулы (5) учли формулу (1). Подставляя в (5) квантовые радиусы орбит электронов (3), получим, что энергия атома (которая равна энергии электрона, так как ядро атома неподвижно) может принимать только следующие дозволенные дискретные (квантовые) значения

(6)

или

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии. (В атомной физике энергия измеряется в электронвольтах, 1 эВ = 1,610^-19Дж).

2. Второй постулат устанавливает:

При переходе атома (электрона) из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон с энергией

, (7)

где Е_n, Е_m - энергии атома (электрона) в стационарных состояниях n и m, которые определяются согласно (6).

Исходя из своих постулатов Бор создал полуклассическую теорию простейшего водородоподобного атома и объяснил линейчатый спектр атом водорода. К водородоподобным атомам относятся атом водорода (z=1), ион гелия Не⁺ (z=2), ион лития Li⁺⁺ (Z=3) и др. Для них характерно, что вокруг ядра с зарядом = Ze вращается только один электрон.

11.3 Линейчатый спектр атома водорода

Спектр излучения атомарного водорода состоит из отдельных спектральных линий, которые располагаются в определенном порядке. В 1885 г. Бальмер установил, что длины волн (или частоты) этих линий могут быть представлены формулой. Действительно, из (7) с учетом (6) для водорода (Z = 1), следует, что

, (8)

где R = 2,07 10¹⁶ с ^-1 - постоянная Ридберга. Учитывая, что 1/ = v/с = /2с и используя (8), найдем

, (9)

где R =1,097410⁷ м^-1 - называется также постоянной Ридберга.

На рис. 1 изображена схема энергетических уровней атома водорода, рассчитанных согласно (6) при z = 1.

Е_n, эВ

 0 n =

n = 4

СП

СБ

СЛ

При переходе электрона с более высоких энергетических уровней на уровень n=1 возникает ультрафиолетовое излучение или излучение серии Лаймана (СЛ). Когда электроны переходя на уровень n = 2 возникает видимое излучение или излучение серии Бальмера (СБ). При переходе электронов с более высоких уровней на уровень n = 3 возникает инфракрасное излучение, или излучение серии Пашена (СП) и т.д.

Частоты или длины волн, возникающего при этом излучения, определяются по формулам (8) или (9) при m=1 - для серии Лаймана, при m=2 - для серии Бальмера и при m = 3 - для серии Пашена. Энергия фотонов определяется по формуле (7), которую с учетом (6) можно привести для водородоподобных атомов к виду:

, эВ (10)

Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физики. В период ее развития (1913 - 1925 г.) были сделаны важные открытия, например, в области атомной спектроскопии. Однако в теории Бора обнаружились существенные недостатки, например, с ее помощью невозможно создать теорию более сложных, чем атом водорода, атомов. Поэтому становилось очевидным, что теория Бора представляет собой переходной этап на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений. Такой последовательной теорией явилась квантовая (волновая) механика.

11.4 Атом водорода согласно квантовой механики. Квантовые числа электрона в атоме

Результаты, полученные согласно теории Бора в решении задачи об энергетических уровнях электрона в водородоподобных атомах, получены в квантовой механике без привлечения постулатов Бора. Покажем это.

Состояние электрона в водородоподобном атоме описывается некоторой волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера [см.(9.22)]. Учитывая, что потенциальная энергия электрона

(11)

где r - расстояние между электроном и ядром, получим уравнение Шредингера в виде

(12)

Целесообразно воспользоваться сферической системой координат r, , и искать решение этого уравнения в виде следующих собственных функций

(13)

где n, l, m - целочисленные параметры собственных функций. При этом n - называют главным квантовым числом, l - орбитальным (азимутальным) и m - магнитным квантовым числом.

Доказывается, что уравнение (12) имеет решение только при дискретных отрицательных значениях энергии

, (14)

где n = 1, 2, 3,... - главные квантовые числа.

Сравнение с выражением (6) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии, какие получились и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются как следствие основных положений этой науки.

Подставив в (14 ) Z = 1 и приняв n = 1, получим значение энергии основного состояния (т.е. состояния с наименьшей энергией) атома водорода

эВ. (15)

Из решения (13) уравнения Шредингера (12) также следует, что момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле

(16)

где l= 0, 1, 2, ... (n-1) - орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Проекция момента импульса L электрона на направление Z магнитного поля может принимать лишь целочисленные значения, кратные (пространственное квантование) т.е.

(17)

m - называют магнитным квантовым числом. При данном магнитное квантовое число может принимать различных значений.

Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Позднее было показано, что спин имеет квантовую природу. Спин следует считать внутренним свойством, присущим электрону, подобно тому, как ему присущ и заряд и масса.

Собственный момент импульса электрона L_S (спин) выражается через спиновое квантовое число s равное 1/2, т.е. спин квантуется по закону

.

Проекция спина на заданное направление z может принимать два квантованных значения

,

где m_s = s = 1/2 называют магнитным спиновым квантовым числом или просто спиновым квантовым числом, т.е. также как и s.

11.5 Принцип Паули

Итак, состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:

Главное квантовое число n (n = 1, 2 ... ).

Орбитальное (азимутальное) квантовое число l (l = 0, 1, 2, ... n-1)

Магнитное квантовое число m (m = 0, 1, 2, ... l)

Спиновое квантовое число m_s (m_s = 1/2 ).

Для одного фиксированного значения главного квантового числа n существует 2n² различных квантовых состояний электрона.

Один из законов квантовой механики, называемый принципом Паули, утверждает:

В одном и том же атоме не может быть двух электронов, обладающих одинаковым набором квантовых чисел, (т.е. не может быть двух электронов в одинаковом состоянии).

Принцип Паули дает объяснение периодической повторяемости свойств атома, т.е. периодической системе элементов Менделеева.

Лекция 12. Элементы квантовой электроники

12.1 Поглощение, спонтанное и вынужденное излучение

квантовое волновое излучение механика

Пусть Е₁, Е₂, ... - значения энергии, которые может принимать атом или вообще любая атомная система.

При поглощении фотона с энергией h атом переходит с нижнего уровня m на более высокий энергетический уровень n (рис. 1а), при этом

h = E_n - E_m (1)

Атом может самопроизвольно перейти c высшего энергетического состояния E_n в низшее E_m с излучением фотона.

Такое излучение называют спонтанным (самопроизвольным). Так как спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтанное излучение некогерентно.

В 1916 г. Эйнштейн постулировал, что кроме поглощения и спонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной тип взаимодействия. Обсудим его.

Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии Е_n, действует внешнее излучение с частотой , удовлетворяющей условию h=Е_n-Е_m, то возникает вынужденный (индуцированный) переход в состояние m с излучением фотона той же энергии h = Е_n - Е_m (рис. 1, в). Возникшее при этом излучение называют вынужденным (индуцированным) излучением. Таким образом, в процессе вынужденного излучения вовлечены 2 фотона: первый фотон, вызывающий испускание излучения, и вторичный фотон, испускаемый атомом. Существенно, что, вторичные фотоны неотличимы от первичных, являясь их копией.

Следовательно, вынужденное излучение (вторичные фотоны) тождественны вынуждающему излучению (первичным фотонам): оно имеет такие же частоту, фазу, поляризацию, направление распространения, как и вынуждающее излучение. Т.о. вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением.

Эйнштейн показал, что число dN_n атомов, которые из общего числа атомов N_n, находящихся в состоянии n, перейдут в состояние m за время dt

dN_n=(A_nm+B_nm ) N_n dt , (2)

где A_nm - коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, B_nm - коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения, - спектральная плотность энергии внешнего поля (полная объемная плотность энергии w = W/V связана со спектральной плотностью соотношением

w=).

Под понимается частота _nm, соответствующая переходу из состояния n в состояние m.

Взаимодействие атомов в состоянии m с электромагнитным полем может приводить к вынужденному поглощению фотона с энергией h = Е_n - Е_m и сопровождается переходом атома в состояние n. Число таких атомов

dN_m = B_mn N_m dt , (3)

где B_mn - коэффициент Эйнштейна для вынужденного поглощения, N_m - число атомов в состоянии m.

В статистической физике известен принцип детального равновесия (в равновесной термодинамической системе каждый микроскопический процесс сопровождается обратным ему процессом, причем вероятность обоих процессов одинаковая), из которого следует, что

dN_n = dN_m . (4)

Чтобы вынужденное излучение превосходило спонтанное излучение и вынужденное поглощение необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов в возбужденных состояниях было бы больше, чем их число в основном состоянии. Такие состояния называются состояниями с инверсией населенности или инверсными.

Процесс перевода среды в инверсное состояние называется накачкой усиливающей среды. Накачку можно осуществить оптическими, электрическими и другими способами.

В средах с инверсными состояниями вынужденное излучение может превысить поглощение, вследствие чего падающий пучок света при прохождении через эти среды будет усиливаться (такие среды называются активными).

12.2 Принцип работы лазеров

Практическое инверсное состояние среды было осуществлено в 1960 г. в принципиально новых источниках излучения - оптических квантовых генераторах или лазерах. В 1964 г. за фундаментальные работы по квантовой электронике советским ученым Басову Н.Г., Прохорову А.М. и американскому ученому Ч. Таунсу были присуждена Нобелевская премия.

Примером создания активной среды с инверсией населенностей может служить трехуровневый лазер, идея которого была предложена Басовым и Прохоровым в 1955 г. За счет энергии накачки (например, благодаря вспышкам импульсной ксеноновой лампы) атомы среды переходят из состояния 1 в состояние 3, показанное стрелкой Е₁₃ (см. рис. 2).