Броуновское движение. Уравнение Эйнштейна-Колмогорова

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Броуновское движение

2. Уравнение Эйнштейна-Колмогорова

Список использованной литературы

1. Броуновское движение

В 1905 г., непосредственно перед публикацией статьи, содержавшей изложение специальной теории относительности, Эйнштейн закончил серию работ, посвященных классической теории молекулярного движения. Заключительная статья в "Annalen der Physik" давала ответ на вопрос о природе наблюдаемого в микроскоп движения небольших тел, взвешенных в жидкости, - так называемого броуновского движения.

Термодинамические исследования Эйнштейна, и в частности теория броуновского движения, имеют самостоятельный интерес. Но в научной биографии творца теории относительности их следует рассматривать в связи с лейтмотивом всей жизни Эйнштейна.

Только что мы познакомились с первыми тактами этого лейтмотива. Теории относительности еще нет. Но мы уже начинаем угадывать тенденцию, которая ведет к теории относительности. Эйнштейн ищет максимально общую, максимально естественную ("внутренне совершенную") теорию, описывающую самые основные процессы природы. Указанные процессы лежат за пределами "чистого описания", они образуют внутреннюю каузальную основу явлений. Такими процессами служат относительные перемещения материальных тел и состоящих из них материальных систем. Субстанциальной подосновой явлений природы служит относительное движение тел. Это понятие превращает хаос отдельных фактов в гармоничную картину мироздания.

Такая концепция может быть, как мы увидим, согласована со всякой механикой "типа механики Ньютона", т.е. с картиной мира, в которой элементарными процессами признаются движения и взаимодействия тождественных себе тел. Генезис теории относительности связан именно с классическим идеалом науки, в которой исходным понятием служит относительное движение. Генезис теории относительности связан с обобщением, уточнением такого идеала, с освобождением от всего того, что ему противоречило в исторически сложившихся классических теориях физики.

В термодинамике к классическому идеалу приближались модели кинетической теории газов - представления о движениях и соударениях молекул как о субстанциальной основе тепловых явлений. Но эти модели сделали возможным действительное объяснение только в сочетании с макроскопическими законами, определяющими ход процессов, в которых отдельные молекулы и их движения уже не учитываются. В числе таких макроскопических законов - закон перехода тепла от тела к телу.

В своих "Размышлениях о движущей силе огня" Сади Карно выдвинул принцип необратимости: тепло переходит от теплого тела к холодному, но обратно, от холодного тела к теплому, оно само по себе, без затраты энергии со стороны, не может перейти. Такой необратимый переход теплоты служит характерным примером термодинамических процессов, заставивших науку XIX в. далеко отойти от механицизма предшествующего столетия. Может ли точная регистрация положений, скоростей и ускорений молекул объяснить необратимость перехода тепла от горячего тела к холодному? Так же мало, как сколь угодно точная регистрация положений частиц воздуха в каждый момент может объяснить содержание произносимых речей, которые все же не всегда сводятся к акустическим эффектам волнообразных движений частиц воздуха. Не нужно знать координаты и скорости всех частиц металла, из которых состоит стержень, чтобы объяснить, почему теплота распространяется в определенном направлении - от горячего конца стержня к холодному. Законы механики (которым подчинены столкновения молекул, их движения от одного столкновения до другого - вообще микроскопическая картина) не знают необратимости.

Кинетическая теория тепла рассматривает его как результат беспорядочных движений и столкновений молекул. Каждое столкновение описывается исчерпывающим образом в терминах механики. Но чтобы перейти к термодинамическим законам (которым подчинено поведение больших множеств молекул, т.е. макроскопические процессы), нужно отказаться от прослеживания индивидуальных судеб отдельных молекул. Макроскопические закономерности термодинамики - вероятностные, статистические законы; они исходят из вероятности той или иной судьбы молекул, а действительность следует за вероятностью только тогда, когда перед нами большое число индивидуальных судеб. Если взять классический пример теории вероятности - выпадение "герба" и "решки" при бросании монеты, то примерно равные числа выпадений того и другого (соответствующие равенству вероятностей выпадения при каждом бросании) получатся при сотне или тысяче бросаний. Если бросать монету десять раз, такой реализации равенства вероятностей не получится, монета может падать десять раз подряд "горбом" кверху - никакой закономерности тут не обнаружится. Таким же образом не определено никакой термодинамической закономерностью поведение десятка молекул. Они могут обладать самыми различными скоростями, а в следующий момент другими, и никакого закономерного перехода мы тут не обнаружим. Но когда перед нами очень большое число беспорядочно движущихся молекул, мы твердо знаем, что распределение их скоростей с течением времени будет все больше соответствовать вероятности. В металлическом стержне, который никто в данный момент не подогревает, наиболее вероятной будет одинаковая средняя скорость молекул, т.е. одинаковая температура по всей длине стержня. Если стержень нагрет с одного конца и средняя скорость молекул тут больше, то с течением времени температура выравняется. Это макроскопическая закономерность, свойственная лишь большому числу молекул.

Существование макроскопических закономерностей термодинамики, которые отличаются от чисто механических закономерностей поведения отдельных молекул, доставило перед наукой ряд принципиальных вопросов. В каком отношении находится макроскопическая термодинамика к механике молекул? Аналогичный вопрос можно поставить для макроскопических статистических закономерностей биологии, т.е. для закономерностей развития вида, и закономерностей, определяющих в каждом отдельном случае судьбу данной особи.

Очевидно, сложные макроскопические закономерности не сводятся к микроскопическим закономерностям. Мы не поймем необратимого перехода тепла от одного тела к другому и его распространения в данном теле, не поймем хода макроскопических термодинамических процессов вообще, если ограничимся законами механики и попытаемся непосредственно свести к ним более сложные, чем простое перемещение, ряды явлений. В этом смысле термодинамика указывает некоторые границы объяснения природы с позиций ньютоновой механики. Границы эти можно перейти, если включить в систему понятий, служащих для объяснений сложных процессов, некоторые новые понятия, не свойственные механике Ньютона. К числу таких понятий принадлежит, в частности, необратимость. Подобные понятия специфичны для каждого конкретного ряда явлений и создают естественную основу классификации наук, некоторые относительные границы между дисциплинами. Указанные границы являются границами непосредственного применения ньютоновых законов и понятий к другим, помимо механики, разделам естествознания. Мы будем их называть частными границами.

Их существование было открыто в XIX в., что и отличает науку этого столетия от предшествующего. Великие открытия XIX в. показали, что физика с ее статистическими закономерностями и необратимостью не сводится к механике, химия не сводится к физике, биология не сводится к совокупности механических, физических и химических явлений, поскольку сущность органической жизни отнюдь не в механических, молекулярных, химических и тому подобных процессах, без которых, она, впрочем, невозможна. Идея несводимости высших форм движения к более общим и простым была высказана в общем виде Энгельсом в "Диалектике природы". В ней подчеркнут относительный характер несводимости, то обстоятельство, что высшие формы движения неотделимы от низших, что из несводимости отнюдь не следует, "будто каждая из высших форм движения не бывает всегда необходимым образом связана с каким-нибудь действительным механическим (внешним или молекулярным) движением"

Идея несводимости физических - именно термодинамических - закономерностей к механике и их неотделимости от механики, от перемещения частиц вещества позволяет понять действительные истоки некоторых научно-философских дискуссий конца прошлого века.

Забвение несводимости вело к рецидиву механицизма, забвение неотделимости термодинамических процессов от движения отдельных молекул - к попыткам освободить понятие движения от его материального носителя. Оствальд предложил освободить энергию, фигурирующую в термодинамике, от какой-либо связи с движением молекул и затем вообще потребовал замены понятия материи понятием энергии. К сходным воззрениям пришел и Мах, объявивший "верой" убеждение в существовании атомов вещества.

В 1827 г. Броун наблюдал под микроскопом цветочную пыльцу, плававшую в воде. Отдельные пылинки все время находились в беспорядочном движении. Пылинка каждый раз сдвигается на незначительное, почти неулавливаемое глазом расстояние, и происходит это в течение ничтожного интервала времени. Если фотографировать движущуюся пылинку с очень большой экспозицией, на пластинке получится пятно совершенно случайной размазанной формы - результат многократного попадания пылинки на то же самое место перед объективом аппарата. Если фотографировать пылинку, например, через каждые 30 секунд и соединить получившиеся на пластинке изображения пылинки, т.е. почерневшие точки, мы получим ломаную линию.

Понятие броуновского движения

Броуновское движение, правильнее брауновское движение, тепловое движение частиц вещества (размерами в нескольких мкм и менее), находящихся во взвешенном состоянии в жидкости или в газе частиц. Причиной броуновского движения является ряд не скомпенсированных импульсов, которые получает броуновская частица от окружающих ее молекул жидкости или газа. Открыто Р. Броуном (1773 - 1858) в 1827. Видимые только под микроскопом взвешенные частицы движутся независимо друг от друга и описывают сложные зигзагообразные траектории. Броуновское движение не ослабевает со временем и не зависит от химических свойств среды. Интенсивность Броуновского движения увеличивается с ростом температуры среды и с уменьшением её вязкости и размеров частиц.

Последовательное объяснение Броуновского движения было дано А. Эйнштейном и М. Смолуховским в 1905-06 на основе молекулярно-кинетической теории. Согласно этой теории, молекулы жидкости или газа находятся в постоянном тепловом движении, причём импульсы различных молекул неодинаковы по величине и направлению. Если поверхность частицы, помещенной в такую среду, мала, как это имеет место для броуновской частицы, то удары, испытываемые частицей со стороны окружающих её молекул, не будут точно компенсироваться. Поэтому в результате "бомбардировки" молекулами броуновская частица приходит в беспорядочное движение, меняя величину и направление своей скорости примерно 10¹⁴ раз в сек. При наблюдении Броуновского движения фиксируется (см. Рис. 1) положение частицы через равные промежутки времени. Конечно, между наблюдениями частица движется не прямолинейно, но соединение последовательных положений прямыми линиями даёт условную картину движения.

Броуновское движение частицы гуммигута в воде (Рис.1)

Закономерности Броуновского движения

Закономерности Броуновского движения служат наглядным подтверждением фундаментальных положений молекулярно-кинетической теории. Общая картина Броуновского движения описывается законом Эйнштейна для среднего квадрата смещения частицы вдоль любого направления х. Если за время между двумя измерениями происходит достаточно большое число столкновений частицы с молекулами, то пропорционально этому времени t:

= 2D

Здесь D - коэффициент диффузии, который определяется сопротивлением, оказываемым вязкой средой движущейся в ней частице. Для сферических частиц радиуса, а он равен:

D = kT/6pha, (2)

где к - Больцмана постоянная, Т - абсолютная температура, h - динамическая вязкость среды. Теория Броунского движения объясняет случайные движения частицы действием случайных сил со стороны молекул и сил трения. Случайный характер силы означает, что её действие за интервал времени t₁ совершенно не зависит от действия за интервал t₂, если эти интервалы не перекрываются. Средняя за достаточно большое время сила равна нулю, и среднее смещение броуновской частицы также оказывается нулевым. Выводы теории Броуновского движения блестяще согласуются с экспериментом, формулы (1) и (2) были подтверждены измерениями Ж. Перрена и Т. Сведберга (1906). На основе этих соотношений были экспериментально определены постоянная Больцмана и Авогадро число в согласии с их значениями, полученными др. методами. Теория Броуновского движения сыграла важную роль в обосновании статистической механики. Помимо этого, она имеет и практическое значение. Прежде всего, Броуновское движение ограничивает точность измерительных приборов. Например, предел точности показаний зеркального гальванометра определяется дрожанием зеркальца, подобно броуновской частице бомбардируемого молекулами воздуха. Законами Броуновского движения определяется случайное движение электронов, вызывающее шумы в электрических цепях. Диэлектрические потери в диэлектриках объясняются случайными движениями молекул-диполей, составляющих диэлектрик. Случайные движения ионов в растворах электролитов увеличивают их электрическое сопротивление.

Понятие Броуновского движения с точки зрения теории Хаоса

Броуновское движение -- это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения.

Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе Броуновских чисел так же можно преобразовать в музыку. Конечно, этот тип фрактальной музыки совсем не музыкален и может действительно утомить слушателя.

Занося на график случайно Броуновские числа, можно получить Пылевой Фрактал наподобие того, что приведен здесь в качестве примера. Кроме применения Броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах, как, например Star Trek техника Броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато.

Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта Фрактальная геометрия природы. Мандельброт использовал Броуновские линии для создания фрактальных линий побережья и карт островов (которые на самом деле были просто в случайном порядке изображенные точки) с высоты птичьего полета.

После этих предварительных замечаний можно перейти к работам Эйнштейна о броуновском движении и к значению указанных работ.

Эйнштейн объяснил броуновское движение исходя из кинетической теории тепла, из картины беспорядочно движущихся и сталкивающихся молекул. Он учитывал неизбежные флюктуации в беспорядочных ударах, которые наносят телу окружающие молекулы жидкости.

Под флюктуацией, как мы знаем, следует понимать нарушение наиболее вероятного распределения различных событий во времени или в пространстве. Когда мы увеличиваем число событий, например бросаем монету десять, сто, тысячу раз и т.д., фактическое распределение событий "решка" и "герб" стремится к наиболее вероятному распределению - к равному числу выпадений "герба" и "решки". Когда мы уменьшаем число событий (число бросаний монеты), мы всё с большим основанием можем ожидать нарушений вероятности, ожидать "невероятного" выпадения "решки" подряд несколько раз и такого же выпадения "герба" подряд. Когда мы совершим двадцать бросаний, одна и та же сторона монеты может выпасть даже все двадцать раз подряд, но это будет очень редким случаем, а когда мы имеем пять бросаний, то аналогичная флюктуация будет сравнительно частой. При беспорядочных движениях молекул число ударов, нанесенных взвешенной в жидкости пылинке с одной стороны, может значительно превысить число ударов с другой стороны. Если пылинка велика, такая флюктуация маловероятна, на пылинку действует очень большое число молекул и их толчки соответствуют наиболее вероятному распределению; толчки в целом уравновешивают друг друга. Но при очень малых размерах пылинки возможны флюктуации, нарушения равновесия, избыток толчков в одну сторону по сравнению с числом толчков в противоположную сторону. Подобная несимметричность воздействий молекул на пылинку в течение очень короткого промежутка времени вызывает сдвиг пылинки, который можно увидеть при помощи микроскопа.

Представим себе большой резервуар с жидкостью, в котором достигнуто наиболее вероятное, равномерное распределение температуры, т.е. скорость частиц в среднем одна и та же во всех частях резервуара. В этом резервуаре нет потоков жидкости, нет никаких длительных нарушений беспорядочного движения молекул. Небольшие, микроскопические нарушения все время происходят. Такие флюктуации становятся заметными, когда мы переходим к очень малым масштабам. Они вызывают "микроскопические" (в самом прямом смысле, видимые лишь под микроскопом) сдвиги пылинок, плавающих в нашем резервуаре.

Теперь представим себе, что на эти микроскопические закономерности (чисто механические закономерности движений молекул) накладываются макроскопические закономерности. Мы подогрели жидкость у одного края резервуара.

Наблюдая теперь броуновское движение пылинок, можно обнаружить несимметричность броуновских сдвигов. Сдвиги, соответствующие направлению потоков, вызванных подогревом, будут многочисленнее, чем сдвиги в противоположную сторону. На фотографии мы увидим, что пылинка после большого числа броуновских сдвигов не останется вблизи исходного пункта, а уйдет на некоторое расстояние в направлении увлекшего ее потока жидкости.

Чтобы сделать яснее соотношение между микроскопическими закономерностями кинетической теории, описывающей движения молекул, и термодинамическими закономерностями, определяющими поведение больших, макроскопических масс, мы коснемся не физической, а биологической естественнонаучной теории XIX в. - теории Дарвина. Его теория исходит из индивидуальных судеб отдельных организмов. Эти судьбы определяются в каждом случае чисто случайными с точки зрения судьбы всего вида причинами. Пусть внешняя среда, в которой обитает вид, не меняется; вид достиг максимального соответствия среде. Тогда остаются отдельные, индивидуальные изменения и флюктуации - серии одинаково направленных изменений у различных организмов. Такие флюктуации будут встречаться тем чаще, чем меньшие числа особей мы наблюдаем. Флюктуации не нарушают неподвижности вида в целом, так же как флюктуации, вызывающие броуновское движение, не нарушают равномерности и отсутствия макроскопических потоков в резервуаре, о котором недавно шла речь. Если среда, в которой обитают организмы данного вида, требует изменения видовых признаков, симметрия индивидуальных вариаций и флюктуаций нарушается: изменения, направленные в одну сторону, наследуются, накопляются, приводят к изменениям вида в большей степени, чем вариации, направленные в противоположную сторону. Но эти закономерности отбора действуют только статистически; они как бы накладываются на закономерности индивидуальных судеб, определяют лишь вероятность той или иной судьбы организма, и этой вероятности соответствует действительный ход событий, когда мы переходим к большим множествам организмов - к судьбе вида в целом. Идея подобных статистических макроскопических закономерностей (определяющих в отдельных случаях лишь вероятность некоторого хода событий, вероятность, которая превращается в достоверность лишь в большой массе случаев) - одна из самых центральных идей естествознания XIX в. Она не покушалась на основной образ классического естествознания - движение, которое с полной точностью, для каждого атома, в каждый момент и в каждой точке определено (не вероятность того или иного движения, а само движение) первоначальным импульсом и взаимодействием с другими телами в данный момент. За любыми статистическими закономерностями стоит движение частицы, подчиненное подобным не статистическим, а динамическим закономерностям, описанным в "Началах" Ньютона.

Эйнштейн в своей теории броуновского движения сосредоточил внимание на учете этих динамических, нестатистических (можно сказать, "застатистических" или "субстатистических" - они стоят за кулисами статистических закономерностей термодинамики) закономерностей. Вернее было бы сказать, что Эйнштейн показал средствами статистики, при помощи понятий статистики, существование "застатистических" динамических закономерностей движения отдельных молекул.

Теория относительности показала, что исходные динамические закономерности мира иные, не такие, какими их описал Ньютон в "Началах". Но это не изменило динамического характера закономерностей механики (в отличие от статистических закономерностей термодинамики).

Двадцать лет спустя этот динамический, чуждый понятию вероятности характер законов механики был опрокинут новой революцией в науке. Истоки новой революции содержались во все том же томе "Annalen der Physik" - в статье Эйнштейна о квантах света. Но отношение Эйнштейна к мысли о статистических закономерностях как исходных закономерностях мира было очень сложным. В нем нужно разобраться, иначе нельзя показать гармонию всего творчества Эйнштейна в целом. Здесь пришлось так подробно рассказать о статистических закономерностях термодинамики и включить элементарные пояснения, чтобы потом легче было изложить и разъяснить отношение Эйнштейна к квантово-статистическим закономерностям. Этот вопрос интересует не только физиков. Как подходил величайший физик нашего времени к проблеме основных, исходных закономерностей мира - это вопрос не истории физики, а вопрос всей культурной истории XX столетия.

В юности на Эйнштейна произвела сильное впечатление именно неотделимость закономерностей термодинамики от механики молекул. Термодинамика в глазах Эйнштейна - не отрицание движения частиц, т.е. механики как основы картины мира (так думали Мах и Оствальд), и не область непосредственного господства механических законов (так думали эпигоны механицизма); для Эйнштейна термодинамика является широкой областью опосредствованного применения и подтверждения законов движения дискретных частей материи. Для механицизма XVIII в. и для его эпигонов физические задачи, которые решались при помощи механики, были однотипными. В науке XIX в. эти задачи были разнообразными в смысле сложности, многокрасочности, несводимости одна к другой. Для Эйнштейна подобное разнообразие задач и предметов - доказательство силы и согласия с действительностью той теории, которая в последнем счете, не зачеркивая специфичности частных задач, служит ключом к их решению. "Теория, - пишет Эйнштейн, - производит тем большее впечатление, чем проще ее предпосылки, чем разнообразнее предметы, которые она связывает, и чем шире область ее применения. Отсюда глубокое впечатление, которое произвела на меня классическая термодинамика. Это единственная физическая теория общего содержания, относительно которой я убежден, что в рамках применимости ее основных понятий она никогда не будет опровергнута (к особому сведению принципиальных скептиков)"

Что именно в классической термодинамике придает ей такую исключительную устойчивость?

Классические законы, определяющие ускорения, скорости и положения молекул в каждый момент, иначе говоря, законы механики Ньютона, уступили место другим, более точным законам. Незыблемым остается положение о переходе термодинамических систем в достаточно больших пространственных и временных областях из менее вероятных состояний в более вероятные и выведение этой закономерности из большого числа беспорядочных движений отдельных молекул. Могут измениться законы, управляющие этими движениями, но связь сложных необратимых, вероятностных, статистических процессов с движением частиц остается незыблемой.

Теория броуновского движения разбивала иллюзию независимости макроскопических законов от кинетических моделей, в которых фигурируют молекулы. Эйнштейн, рассказывая, как законы броуновского движения и другие открытия в учении о теплоте и молекулярном движении убедили скептиков в реальности атомов, отмечает, что скептицизм Маха и Оствальда вытекал из предвзятой позитивистской схемы.

"Предубеждение этих ученых против атомной теории можно, несомненно, отнести за счет их позитивистской философской установки. Это интересный пример того, как философские предубеждения мешают правильной интерпретации фактов даже ученым со смелым мышлением и с тонкой интуицией"

Могут ли, спрашивает Эйнштейн, факты сами по себе без теоретических конструкций привести к научному представлению о действительности? Под теоретической конструкцией подразумеваются те или иные гипотезы о непосредственно ненаблюдаемых атомах и молекулах и об их движениях. Для Маха подобное вторжение в непосредственно не наблюдаемую область - "метафизика". Для Оствальда задача ограничивается описанием макроскопически наблюдаемых переходов энергии из одной формы в другую без проникновения в закулисный мир движущихся частиц материи. Для Эйнштейна именно в таком проникновении и состоит задача познания физических процессов. Описание непосредственно наблюдаемых фактов (в данном случае - макроскопических процессов) не дает однозначной теории. Непосредственно связанные с эмпирическим материалом понятия вовсе не вытекают однозначным образом из объективной реальности. Их "очевидность" - иллюзия, возникшая от длительного применения.

2. Уравнение Эйнштейна -- Колмогорова

уравнение броуновский движение газ

Микроскопические частицы, находящиеся в среде в свободном, взвешенном состоянии, совершают беспорядочное движение, называемое броуновским. Обозначим вероятность для частицы, вышедшей из точки М_о в момент t_o, находиться в момент t в малой окрестности ?V точки М функцией

W(M, t; M₀ , t₀) . ?V. (1)

Вероятность здесь понимается в том смысле, что если в течение некоторого малого промежутка t_o + ?t из точки М_о выходит достаточно большое количество частиц N (причем взаимодействие между ними пренебрежимо мало), то концентрация этих частиц при ?t>0 в точке М в момент t будет равна W(M, t; M₀ ,t₀), если за единицу массы частиц принять всю массу выходящих из точки Мо частиц.

С подобным же явлением мы встречаемся при диффузии газа, происходящей в какой-либо (например, воздушной) среде. Функция W(M, t; M₀,t₀) представляет функцию точечного источника, соответствующего единичной массе.

Очевидно, что

(2)

и что если начальная концентрация частиц в некоторый момент времени t₀ равна (М), то концентрация и(М, t) этих частиц в момент t > t_o будет равна

(3)

где интеграл берется по всему пространству.

Из последнего равенства следует уравнение

(4)

имеющее место для любого значения t₀ < 0 <. t. Это последнее уравнение называют уравнением Эйнштейна -- Колмогорова.

Покажем, что при определенных условиях, наложенных на функцию W(M,t; M_o,t₀), решение уравнения Эйнштейна -- Колмогорова удовлетворяет некоторому уравнению с частными производными параболического типа. Рассмотрим случай, когда положение точки М характеризуется одной координатой х. Предположим, что функция W(x,t;x_o,to) удовлетворяет следующий условиям:

(5)

Если за время частица переходит из положения в положение х, то является средней скоростью частицы. Таким образом, первое условие означает требование существования конечной скорости упорядоченного движения частицы.

(6)

Величина не зависит от направления смещения точки х относительно точки . Среднее значение квадрата отклонения за время

обычно рассматривается как мера неупорядоченности движения за этот промежуток времени. Требование 2° означает предположение линейкой зависимости среднего квадрата от времени при малых

(7)

Функция , являющаяся функцией точечного источника, для малых значений должна быстро убывать, когда , и возрастать, когда мало.

Для получения дифференциального уравнения Эйнштейна -- Колмогорова умножим обе части уравнения (4) на произвольную функцию , обращающуюся в нуль вместе со своей производной на границах области интегрирования, и проинтегрируем по всей этой области:

Разложив в правой части функцию в ряд Тейлора по :

где -- среднее значение, заключенное между х и , и разделив на , после простых преобразований будем иметь:

Предполагая, что ограничена

и учитывая, что

мы получим:

Из условия 3° вытекает, что это выражение при стремится к нулю. Поэтому, переходя к пределу при и используя условия 1°, 2°, получаем:

После интегрирования по частям правой части, принимая во внимание, что функция обращается в нуль вместе со своей производной на границе области интегрирования, получим:

Так как это соотношение должно иметь место для произвольной функции , то для функции вероятности W(x, t; x_o , t_o), мы получаем дифференциальное уравнение Эйнштейна-- Колмогорова

(8)

Список литературы

1. Колмогоров А.Н, Аналитические методы вероятности, Успехи математических наук, Вып. 5, 1983г.

2. Кураит Р, Уравнение с частными производными, Москва, 1964г .

3. А. Н. Тихонов, Васильева А.Б., А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4е изд., Физматлит, 2005 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 19724. Паташинский А. З., Покровский В. Л. Флуктуационная стадия фазовых переходов. -- М.: изд-во Наука, 1985.

4. В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.

5. Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

6. Л.С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974

7. Змиевская Г. И. Численные стохастические модели неравновесных процессов//Математ. моделирование. 1996. Т. 8. № 11. С. 3--40.

8. Змиевская Г. И., Зиньковская Т. В. Численная модель кластеризации дефектов на поверхности металла: Матер. XII Межд. конф. “Взаимодействие ионов с поверхностью”, 5--8 сентября 1995 г. Звенигород. 1995. Т. 1. С. 89--92.

9. Змиевская Г. И., Бондарева А. Л. Стохастические модели кластеризации дефектов твердого тела//Препринт № 102. -- М., ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1997.

10. Аверина Т. А., Артемьев С. С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений: Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. № 4. С. 777--780.

11. Морозов А. И., Овченков П. А., Сигов А. С. Взаимодействие дефектов в кристалле и процессы кластеризации: В кн. Дискретное моделирование плазмы/Под ред. Ю. С. Сигова.// Сб. науч. тр. -- М., ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 1990.

12. Berzin A. A., Morosov A. I., Sigov A. S. Light-Atom Diffusion and Clustering at Crystal Surfaces//J. Phys.: Condens. Matter. 1997. V. 9. P. 33--41.

13. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. -- М.: ТОО “Янус”, 1995.

Размещено на Allbest.ru