Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. F (t) =ma (t) =-mщ2x (t).

В этом соотношении щ - круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Fупр = - kx.

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Круговая частота щ0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

,

Откуда:

Частота щ0 называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен:

При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты щ0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

Где все физические системы (не только механические), описываемые уравнением, способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

x=xmcos (щt+ц0).

Уравнение называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний щ0 или период T. Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда xm и начальная фаза ц0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени. Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Дl и затем в момент времени t=0 отпущен без начальной скорости, то xm=Дl, ц0=0. Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то,

=

Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза ц0 определяются начальными условиями.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Свободные колебания. Математический маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяж ести уравновешивается силой натяжения нити. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол ц появляется касательная составляющая силы тяжести Fф = - mg sin ц. Знак "минус" в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Математический маятник. ц - угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lц - смещение маятника по дуге.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно ц = x / l.

Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия , пропорциональна не смещению x, а. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде:

Таким образом, тангенциальное ускорение aф маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.

Следовательно:

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим. Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол ц возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

M = - (mg sin ц) d.

Здесь d - расстояние между осью вращения и центром масс C.

Для круговой частоты щ0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Превращения энергии при свободных механических колебаниях

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия - это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника - это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т.д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине:

Для малых колебаний математического маятника:

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими.

Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени ф, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ? 2,7 раз, называется временем затухания.

Частота свободных колебаний зависит от скорости их затухания. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается.

Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания затухают быстро. Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания ф, умноженное на р:

Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим соотношением:

Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания