Волновая функция в квантовой механике

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОУ ВПО «Северо-Кавказский институт бизнеса, инженерных и информационных технологий»

Реферат

«Волновая функция в квантовой механике»

Содержание

1. История квантовой механики

2. Волновая функция

3. Волновая функция

4. Редукция волновой функции

5. Расщепление волнового пакета

Список используемой литературы

1. История квантовой механики

В 1900 году Макс Планк, исследуя различные эмпирические формулы для излучения, смог интуитивно угадать закон излучения абсолютно чёрного тела. Для того чтобы как-то теоретически обосновать этот закон, Планк предположил, что энергия излучается квантами (порциями). При этом энергия каждого кванта равна: = h, где - частота излучения, а h 6,6310 34 Дж с - новая постоянная величина, имеющая размерность действия и названная впоследствии постоянной Планка. В связи с этим 1900 год считается годом рождения квантовой механики. В настоящее время выражение для энергии фотона обычно пишется в виде:

= ћ,

где так называемая циклическая частота, она равна

= 2,

а величина

ћ = h/2

также называется постоянной Планка.

Следующий шаг в развитии квантовой механики был сделан в 1905 году Альбертом Эйнштейном. Изучая закон излучения Планка, Эйнштейн пришёл к выводу, что электромагнитное излучение не только излучается квантами, но также переносится и поглощается квантами. Иначе говоря, свет представляет собой поток частиц - фотонов. Используя это предположение, Эйнштейн смог очень просто объяснить и количественно описать такое необычное для того времени явление как фотоэффект. Суть фотоэффекта состоит в том, что свет, падающий на какой-либо металл, выбивает электроны из его поверхности. Этот эффект был случайно открыт Герцем в 1887 году, когда он исследовал электромагнитные волны, предсказанные теорией Максвелла. Как показали эксперименты, кинетическая энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности падающего на металл излучения, но возрастает с увеличением частоты излучения. Это свойство фотоэффекта не объяснимо в рамках классической электродинамики, но оно легко объяснимо, если предположить, что свет представляет собой поток частиц. Вот уравнение, которое было предложено Эйнштейном для объяснения фотоэффекта:

K = ћ W , (1)

Здесь ћ энергия падающего на металл фотона, К - кинетическая энергия выбитого электрона, а W работа выхода, то есть минимальная энергия, необходимая для выбивания электрона за пределы поверхности металла (она зависит от типа металла и состояния его поверхности).

Можно отметить, что ещё Исаак Ньютон считал, что свет представляет собой поток частиц. Из-за авторитета Ньютона это предположение довольно долго существовало в физике. Но в девятнадцатом веке было экспериментально установлено, что свет имеет волновую природу. Кроме того, из полученных Максвеллом электродинамических уравнений следовало, что колебания электромагнитного поля должны распространяться в пустоте со скоростью света. И вскоре электромагнитные волны были экспериментально обнаружены Герцем. Поэтому в начале двадцатого века никто из учёных не сомневался в том, что свет имеет волновую природу. И никто, даже Планк, не принял всерьёз гипотезу Эйнштейна о том, что свет состоит из частиц. Отрицательное отношение физиков изменилось лишь в 1922 году, после открытия эффекта Комптона (изменения длины волны рентгеновских лучей, обусловленное упругим рассеянием фотонов на электронах).

В 1909 году Эрнст Резерфорд провёл ряд опытов по рассеянию частиц очень тонкой золотой фольгой. Эти знаменитые эксперименты дали основание Резерфорду высказать следующее предположение об устройстве атома. Атом состоит из очень маленького положительно заряженного ядра (примерно 1014 м), в котором сосредоточена практически вся масса атома, и это ядро окружено облаком из отрицательно заряженных электронов (примерно 1010 м). Открытие Резерфорда поставило перед физиками новую проблему: почему атомы стабильны? Дело в том, что с точки зрения классической электродинамики электроны, вращаясь вокруг ядра, должны были бы непрерывно излучать электромагнитные волны.

Излучая, электроны теряли бы свою энергию, что должно было бы привести, в конце концов, к их падению на ядро. Таким образом, согласно классической электродинамике, атом был бы неустойчивым, что ни в какой степени не соответствует действительности [3,с.13].

В 1913 году Нильс Бор для объяснения феномена устойчивости атомов предложил модель атома, основанную на следующих постулатах.

1) Электрон движется вокруг ядра по круговой орбите под действием кулоновской силы и в соответствии с законами Ньютона.

2) Электрон может двигаться только по такой орбите, на которой момент импульса электрона L равен целому числу, умноженному на постоянную Планка:

L = m V r = n ћ, n = 1, 2, 3, 4 … (2)

Здесь m - масса электрона,

V - скорость с которой он движется по орбите,

r - радиус орбиты.

3) Двигаясь по такой орбите, электрон не излучает.

4) При переходе электрона с орбиты с порядковым номером k на орбиту с номером l (k > l) излучается фотон с частотой :

(3)

Здесь Ek энергия электрона на орбите k, а El его энергия на орбите l.

Модель атома, предложенная Бором, хорошо объясняла свойства и спектр атома водорода, а также водородоподобных атомов (то есть атомов, у которых на внешней электронной оболочке находится только один электрон). Но постулаты, лежащие в основе этой модели, не имели никакого теоретического обоснования, и, кроме того, противоречили законам классической электродинамики. Поэтому большинство физиков отнеслось к новой модели скептически.

Следующий важный шаг в становлении квантовой механики был сделан в 1923 году Луи де Бройлем. Исходя из того, что световые волны имеют корпускулярную природу, а также предполагая симметрию в природе, он предположил, что и частицы, например электрон, должны проявлять волновые свойства. Например, фотон обладает энергией

= ћ

и импульсом

p = /c = ћ/c

С другой стороны, с фотоном связан некоторый волновой процесс с длиной волны , равной

 = c/ = 2 c / = 2 ћ /p

Поэтому Луи де Бройль предположил, что не только с фотоном, но и с любой частицей, имеющей импульс p, связан некоторый волновой процесс с длиной волны . При этом:

(4)

И уже через два года гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена в опытах по дифракции электронов. Исходя из того, что электрон обладает волновыми свойствами, де Бройль очень просто объяснил существование стационарных орбит в боровской модели атома. Стационарная орбита - это такая орбита, на которой укладывается целое число волн. То есть электрон, вращаясь вокруг ядра, образует как бы стоячую волну. Гипотеза де Бройля, устанавливающая связь между частицами и волновыми процессами, поражала своей простотой и новизной подхода к решению противоречия волна-частица. Эта идея была настолько нова, что, несмотря на экспериментальное подтверждение, которое последовало очень быстро, потребовалось определённое время, чтобы она получила всеобщее признание среди физиков.

Основываясь на идеях де Бройля, в 1926 году Эрвин Шрёдингер написал своё знаменитое волновое уравнение, описывающее движение частицы в поле U(x,y,z):

(5)

Здесь m - масса частицы, i - мнимая единица, а (x,y,z,t) - шрёдингеровская волновая комплексная функция (амплитуда волны де Бройля). Вероятность обнаружить частицу в малой части объёма

dV = dxdydz

в момент времени t равна

dW = (x,y,z,t)2dxdydz

То есть плотность вероятности пропорциональна квадрату модуля волновой функции. При этом:

(x,y,z,t)2dxdydz = 1

Можно отметить, что вероятность обнаружить частицу в какой-нибудь данной точке пространства всегда равна нулю, потому что объём точки равен нулю. Поэтому имеет смысл говорить только о плотности вероятности нахождения частицы в данной точке. Если функция известна в начальный момент времени, то из уравнения Шрёдингера можно найти функцию в последующие моменты времени. И в принципе это уравнение способно объяснить все атомные явления, кроме тех, которые связаны с магнетизмом и теорией относительности. Оно может быть применимо и для системы, состоящей из многих частиц. Волновую функцию, которая отлична от нуля только в некоторой небольшой области пространства, иногда называют волновым пакетом.

Наконец, в 1927 году Вернер Гейзенберг, пытаясь устранить противоречие “волна-частица”, сформулировал принцип неопределённости (соотношение неопределённостей). Этот принцип выражает фундаментальный предел возможности одновременного измерения положения частицы и её импульса:

xpx ћ/2. (6)

Здесь x - неопределённость в положении частицы, а px - неопределённость в проекции её импульса вдоль оси x. Не сразу стало ясно, что именно выражает это соотношение. Только ли принципиальную невозможность получить более полное знание о движении частицы или же объективную неопределённость в её движении. Аналогично соотношению (6) Гейзенберг установил соотношение для неопределённости в измерении энергии частицы Е и промежутка времени t, в течение которого производится данное измерение:

tЕ ћ/2

2. Волновая функция

С развитием квантовой механики в физике появилось множество новых, непривычных понятий и идей. Одно из таких понятий - волновая функция, которая в квантовой теории служит для описания объектов и, тем самым, заменяет совокупность «привычных» параметров: координата, скорость, энергия и т.д.

Волновая функция это функция состояния, пси-функция, или амплитуда вероятности представлена как комплексная функция, используемая в квантовой механике для вероятностного описания состояния квантовомеханической системы. В широком смысле -- то же самое, что и вектор состояния.

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: вероятность нахождения частицы или физической системы в данном состоянии равна квадрату абсолютного значения амплитуды вероятности этого состояния. Что это означает?

В качестве функции ш берётся квадрат модуля сопряженного комплексной функции.

Напомню.

Комплексная функция -- функция, которую можно представить в виде

f(x) = u(x) + iv(x),

где i -- это «мнимая» единица, а u и v -- действительные функции. Функция u(x) называется действительной частью функции f(x), а iv(x) -- её мнимой частью.

Функция

f*(x) = u(x) - iv(x)

называется комплексно сопряжённой функции

f(x) = u(x) + iv(x)

Произведение функции на её комплексно сопряжённую называется квадратом модуля функции. Квадрат модуля функции всегда положителен и обозначается как Ш.

|f(x)|2 = f(x) f*(x) = u(x)2 + v(x)2

Вот это и есть база функции Шрёдингера. Дальше пойдут решения и вариации.

Волновая функция Ш(х1,х2, …хn) зависит от координат (или обобщённых координат) системы и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля Ш(х1,х2, …хn)2 представлял собой плотность вероятности обнаружить систему в положении, описываемом координатами

х1 = x01, x2 = x02, …, xn = xon

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полный набор физических величин, которые можно измерить в системе. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и другие.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями Ш1 и Ш2 , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

ШУ = c1 Ш1 + c2 Ш2

при любых комплексных c1 и c2.

Волновая функция представляет собой наиболее полное возможное описание квантово-механической системы, за исключением, быть может, матрицы плотности, предложенной Л.Д. Ландау, с помощью которой можно описывать системы систем, что невозможно при использовании волновой функции (в случае обычной системы матрица плотности есть тот же квадрат модуля волновой функции) скоростей всех её частиц и это описание позволяло описать всё будущее и прошлое системы, то в квантовой механике некоторые параметры описать принципиально невозможно. Согласно квантовой механике, описание системы заканчивается на уровне волновой функции (и матрицы плотности) и только на уровне волновой функции (и матрицы плотности) возможно, описать будущее и прошлое системы. Более подробное описание системы, например, с точностью до указания местоположений и скоростей всех её частиц -- невозможно, и значения этих параметров оказываются более или менее случайными.

Таким образом, создав квантовую механику, наука дошла до состояния, когда она смогла положить конец многовековому противопоставлению детерминизма и индетерминизма. Современная наука утверждает, в мире сочетаются детерминизм и индетерминизм, и границей между ними служит... матрица плотности или волновая функция?..

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, -- это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования вопроса, есть ли на нём бильярдные шары, предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать о том, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше.

Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.

Частица в квантовой механике оказывается как бы «размазанной» по координате, по энергии и пр., и это «размазывание» характеризуется волновой функцией. Волновую функцию можно представить себе как «волну вероятности»: например, вероятность того, что квантовая частица находится в точке с заданными координатами, равна квадрату ее волновой функции, аргументом которой является координата. Соответственно, вероятность того, что частица имеет определенный импульс, равна квадрату волновой функции с импульсом в качестве аргумента. Поэтому у квантовой частицы нет фиксированной координаты или импульса - они принимают то или другое значение лишь с какой-то вероятностью. Однако измерение этих величин сразу же делает их фиксированными - так, пропустив частицу через очень маленькое отверстие, можно утверждать, что ее координаты равны координатам отверстия. При этом волновая функция частицы оказывается ненулевой только в том месте, где расположено отверстие. Тем самым, измерение меняет волновую функцию частицы - она как бы «схлопывается», становясь отличной от нуля только там, где частица была зарегистрирована.

Главная проблема квантовой механики - это вопрос о том, что происходит в момент редукции волновой функции. Почему плоская волна электрона «реализуется» в одной точке фотопластины? Является ли наша неспособность «вычислить», какая именно из имеющихся возможностей «реализуется», фундаментальным законом природы, либо же следствием несовершенства используемых нами методов и приборов. Сам процесс редукции так же не уловим, как линия горизонта или основание радуги. В какой момент он происходит? В момент взаимодействия волновой функции с фотопластиной, являющейся «классическим» объектом, либо же в момент «наблюдения» экспериментатора за фотопластиной? И чем же так выделен «наблюдатель», что ему дано право выбирать по какому из возможных путей пойдет мир дальше?

Давайте попробуем разобраться, где проходит грань между «классическим» и квантовым объектом. В бытность студентами (а именно только студенты, пожалуй, в наше время и задаются такими вопросами), мой отец В.А. Мазур и его друг А.В. Гайнер рассуждали примерно следующим образом. Процесс «наблюдения» - это есть процесс взаимодействия волновой функции с прибором, который имеет настолько сложную волновую функцию, что рассчитать ее нет никакой возможности. Поэтому он является классическим объектом. Результат взаимодействия волновой функции электрона с таким объектом непредсказуем и носит вероятностный характер, но не потому, что это есть фундаментальный закон природы, а потому, что наши методы исследования несовершенны. Желая упростить модель «наблюдения», они гипотетически поставили такой эксперимент. Берем плоскую волну электрона, падающую на идеально плоскую фотопластину, состоящую из атомов водорода, расположенных в шахматном порядке. Все атомы находятся в основном состоянии. Вычислить результат взаимодействия не составляет большого труда. Волновая функция пластины после взаимодействия представляет из себя сумму N (где N - число атомов в пластине) слагаемых, каждое из которых имеет «вес» 1/N. Первое слагаемое - атом номер 1 возбужден, остальные - в основном состоянии, второе слагаемое - атом номер 2 возбужден, остальные - в основном состоянии и т.д. Вывод, который отсюда сделали мой отец и А.В. Гайнер - такая пластина не является классическим объектом, а остается квантовым, реальные же пластины устроены достаточно сложно, чтобы быть классическими.

Я же предлагаю довести их гипотетический эксперимент до конца, и рассмотреть, что будет после взаимодействия этой пластины с наблюдателем. Конечно, смоделировать волновую функцию наблюдателя нам не по силам. Но некоторые аналогии кажутся достаточно очевидными. Итак, наш «квантовый» наблюдатель посмотрел на эту фотопластину. Что произойдет с его волновой функцией? Как легко можно понять, она распадется на N слагаемых. Условно их можно назвать так: первое слагаемое - наблюдатель видит возбужденный атом номер 1, второе слагаемое - наблюдатель видит возбужденный атом номер 2 и т.д. Опять, казалось бы, момент редукции от нас ускользнул. Но давайте рассмотрим субъективные ощущения наблюдателя. Предположим, он провел этот эксперимент три раза. Как легко видеть, его волновая функция имеет уже N в кубе слагаемых. И вот тут и произошла редукция. Предположим, что он встретил «классического», а не «квантового» наблюдателя, который спросил у его результаты этих экспериментов. И от N в кубе слагаемых нашего «квантового» наблюдателя останется только одно. Но заметьте - он будет твердо уверен в том, что в первом случае он видел возбужденным атом, скажем номер 27, во втором - 3, а в третьем - 137. Никаких воспоминаний о других слагаемых своей волновой функции в нем не останется. Об этих своих «субъективных» ощущениях он и расскажет «классическому» наблюдателю.

Отсюда мы видим, что процесс редукции может быть вовсе не связан с процессом «наблюдения». В момент «наблюдения» не наблюдатель «выбирает» одно из возможных состояний мира, а сам «распадется» на слагаемые. Каждое из этих слагаемых соответствует слагаемым «измеряемого» объекта. Предположим, что редукция происходит вообще очень редко. Раз в год, например. Все наблюдатели, и мы с вами, в том числе, после редукции и представления не будем иметь о том, что наши волновые функции имели другие, «нереализовавшиеся» слагаемые.

Очевидно, что особой необходимости в «реализации», как таковой, нет. Она проистекала из субъективного ощущения тех наблюдателей, которые «видели» как из равновероятных возможностей случайным образом «реализуется» только одна. Ведь ни одно из слагаемых волновой функции наблюдателя не содержит информации о других слагаемых.

Тут мы упираемся в вопрос о том, что такое «я» наблюдателя. Легко понять, что «субъектом» является не весь ансамбль «слагаемых», а только одно из них. Причем - любое. То есть, человек представляет из себя не «мировую линию», а «дерево», причем точками разветвления являются моменты «наблюдений», а попросту - моменты взаимодействия с окружающим миром. И касается это, как вы понимаете, не только людей.

Картина мира, которая предстает после осознания вышеизложенного, выглядит совершенно фантастично. Все, что могло случиться - случилось. Все потерянные возможности были реализованы, они существуют в одном мире и пространстве с нами, но никакого воздействия на нас не оказывают. И, надо признать, что эта картина мира является прямым следствием законов квантовой механики, а не досужими домыслами псевдонаучных фантастов.

Скептики, конечно, могут сказать - а какие следствия из этих рассуждений? Никакого практического смысла они не в себе не несут. Это не совсем так.

Во-первых, становиться очевидным, что нет границы между квантовым и классическим объектом. Момент редукции для нашего субъективного «Я» происходит действительно в момент наблюдения. Но это не мы что-то делаем с миром, а мир что-то делает с нами. Но для простоты можно оставить понятие редукции и гордиться тем, что каждый «реализует» свой мир.

Во-вторых, легко объясняется тот эксперимент, который был поставлен то ли в конце сороковых, то ли в начале пятидесятых. Какая-то частица, распадалась на два осколка, каждый из которых летел в противоположных направлениях. Так, как в момент распада частица покоилась, то все направления полета 1-го осколка были равновероятны. Но вот второй, согласно закону сохранения импульса, должен был лететь в строго противоположном направлении. Детекторы, улавливающие осколки, были поставлены так, чтобы разница времен между «поимкой» осколков была меньше, чем потребуется свету, чтобы дойти от одного детектора до другого (чтобы исключить возможное воздействие результатов на одном детекторе на результаты на другом). Парадокс был в том, что волновые функции двух осколков «реализовывались» согласованно друг против друга, согласно законам сохранения, но ставя в тупик физиков - как волновая функция осколка номер два «узнает» о произошедшей редукции волновой функции осколка номер один?

Как мы теперь понимаем, редукция осколка номер два происходит не в момент его взаимодействия с детектором, а в момент взаимодействия наблюдателя с детектором, так что причинно-следственные связи не нарушаются.

Особенности описания движения частиц в квантовой механике. Согласно гипотезе де Бройля, движущаяся частица обладает волновыми свойствами, и этими свойствами нельзя пренебречь, если длина волны де Бройля частицы сравнима или больше характерного размера области движения частицы. Как показывают оценки, условие выполняется для частиц малых масс, движущихся в областях, размеры которых сравнимы с размерами атомов. Такие частицы в дальнейшем будем называть микрочастицами.

Для описания движения микрочастицы, обладающей волновыми свойствами, не может быть использован способ, разработанный в классической механике, когда состояние частицы определяется заданием в любой момент времени ее пространственных координат и скорости (импульса). При этом движение частицы связано с изменением со временем ее механического состояния, а непрерывная смена состояний соответствует движению частицы по определенной траектории.

Наличие у микрочастицы волновых свойств, как это следует из соотношений неопределенностей Гейзенберга (2.16), делает невозможным одновременное точное определение координат и импульса микрочастицы. Следовательно, механическое состояние микрочастицы не может быть задано классическим способом, а представление о траектории движения микрочастицы принципиально не может быть использовано для описания ее движения.

Такой отказ от традиционного классического способа описания движения частицы может даже вызвать внутренний протест. Как это частица может двигаться в пространстве, не имея при этом траектории движения? Вероятно, мы просто не можем измерить ряд параметров, знание которых позволило бы описать траекторию, по которой все таки движется частица. Еще раз подчеркнем, что это не так. История развития физики показала, что только отказавшись от классического способа описания движения частицы, только отказавшись от представления о траектории движения, можно правильно и полно описать движение микрочастицы, обладающей волновыми свойствами, и предсказать результаты экспериментов с такими частицами.

Физическая теория, в которой описывается движение частиц, обладающих волновыми свойствами, первоначально получила название волновой механики. Однако, это название вскоре было заменено другим названием - квантовая механика - так как оказалось, что волновая механика предсказывает дискретный характер, то есть квантование различных физических величин у движущихся микрочастиц. Именно название квантовая механика закрепилось за этой теорией.

Квантовая механика является более общей физической теорией, чем классическая механика. Однако, при выполнении условия

,

когда волновыми свойствами частицы можно пренебречь, выводы квантовой механики должны совпадать с результатами классической механики. Этого требует принцип соответствия, утверждающий, что любая более общая физическая теория не должна исключать предыдущую, а должна включать ее как предельный частный случай. Поэтому при описании движения ракеты в космическом пространстве, подводной лодки в глубинах океана и даже при описании движения электрона в электронно-лучевой трубке физика всегда с успехом будет использовать классический способ описания механического движения тел. Только при существенном уменьшении пространственных масштабов движений микрочастиц, с которыми имеет дело атомная и ядерная физика, а также физика элементарных частиц, квантовая механика становится единственно возможным аппаратом описания явлений микромира. Отметим однако, что хотя квантовые эффекты проявляются на уровне атомных систем, эти эффекты определяют особенности работы многих современных установок и приборов и лежат в основе передовых технологий.

Переходя к описанию движения частиц в квантовой механике, сформулируем ряд ее постулатов, лежащих в основе теории.

Первый постулат квантовой механики: Состояние частицы в квантовой механике описывается заданием волновой функции

,

являющейся функцией пространственных координат и времени.

Аппарат, разработанный в квантовой механике, позволяет, проводя некоторые операции над волновой функцией , получать полную информацию о движении микрочастицы.

Вероятностный смысл волновой функции. Невозможность задания состояния микрочастицы указанием в любой момент времени ее координат и скорости и отказ от траекторного способа описания движения приводит к вероятностному способу описания движения микрочастицы. Это означает, что в квантовой механике, определяя состояние частицы, следует указать способ определения вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства в данный момент времени.

В 1926 г. М.Борн так сформулировал вероятностный смысл волновой функции в квантовой механике:

Квадрат модуля волновой функции



определяет плотность вероятности того, что в момент времени частица может быть обнаружена в точке пространства

с координатами , и .

Следовательно

(3.1)

Отметим, что волновая функция в общем случае является комплекснозначной функцией, то есть содержит действительную и мнимую части. Физический смысл, поэтому, имеет не сама волновая функция, а ее квадрат модуля - действительная величина, которую во многих случаях удобно находить, умножая волновую функцию на комплексно сопряженную ей функцию , так как из теории комплексных чисел следует, что

Преобразуем формулу (3.1) к виду

(3.2)

Здесь - вероятность того, что для заданного квантового состояния частицы в некоторый момент времени мы обнаружим частицу в элементарном объеме , окружающем точку (рис. 3.1).

Рис. 3.1

При описании движения частиц мы будем использовать - мерное () евклидово пространство . Обычно, в этом пространстве, которое в физике называют конфигурационным пространством, вводят декартову прямоугольную систему координат. В такой системе координат для одномерного () движения частицы вдоль оси элемент "объема"

,

для двумерного движения на плоскости ()

,

а для трехмерного движения ()

.

В задачах, обладающих пространственными симметриями, можно использовать также цилиндрическую или сферическую системы координат, определяя волновую функцию как функцию этих координат и времени.

Из формулы (3.2) следует, что в заданном квантовом состоянии частицы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать также вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объема . Действительно, так как

,

то из (3.1) и (3.2) следует, что

(3.3)

Формулы (3.1) - (3.3) определяют вероятностный или статистический смысл волновой функции в квантовой механике.

Свойства волновой функции. Если в качестве области пространства в (3.3) взять все пространство , для которого , то обнаружение частицы во всем пространстве является достоверным событием, вероятность которого равна единице. Следовательно, из вероятностного смысла волновой функции вытекает, что

(3.4)

Условие (3.4) называют условием нормировки волновой функции, а волновую функцию, удовлетворяющую этому условию, называют нормированной волновой функцией.

Следует заметить, что в некоторых задачах квантовой механики условие нормировки в виде (3.4) может не выполняться. В таких задачах частица движется из бесконечности и уходит в бесконечность. Поэтому квадрат модуля волновой функции в таких задачах не стремится к нулю на бесконечности, и интеграл в условии (3.4) становится расходящимся. Примером такой волновой функции служит плоская волна де Бройля (2.3), которая является волновой функцией, описывающей квантовое состояние свободно движущейся частицы. При использовании ненормированных волновых функций важно не абсолютное значение квадрата модуля волновой функции, а отношение ее квадратов модулей в двух точках пространства. Это отношение определяет отношение вероятностей обнаружения частицы вблизи этих точек пространства. Следует отметить, что в задачах с ненормированными волновыми функциями некоторый аналог условия нормировки может быть получен с использованием плотности потока вероятности. Определение этой физической величины и связь ее с волновой функцией будут даны в параграфе 3.3.

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения или условия на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции. Они включают в себя:

1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интегралы в (3.3) и (3.4) станут расходящимися интегралами. Таким образом, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.

2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.

3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции

.

Эти частные производные волновой функции лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная функция, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Принцип суперпозиции квантовых состояний. Сформулируем одно из важных свойств квантовых состояний, которое формально является следствием линейности уравнения Шредингера для волновой функции, которое будет обсуждаться в следующем параграфе. Из линейности этого уравнения следует, что если частица может находиться в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией , а также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией , то эта частица может также находиться в состоянии, описываемом волновой функцией

(3.5)

где и , в общем случае комплексные числа.

Очевидно, можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния частицы, которое описывается волновой функцией

(3.6)

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента определяет вероятность того, что при измерении, проведенном над системой с такой волновой функцией , мы обнаружим ее в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией . Поэтому для нормированных волновых функций

.

Квантовомеханический принцип суперпозиции состояний не имеет аналога в классической механике. Действительно, в классической теории свободная частица в данный момент времени движется либо в одном направлении в пространстве, либо в другом направлении.

А куда движется квантовая частица, состояние которой описывается волновой функцией, являющейся суперпозицией двух плоских волн де Бройля

.

Такая частица одновременно движется и вправо вдоль оси и влево. С точки зрения классической механики такой ответ абсурден. С позиций квантовой механики это означает, что при проведении серии опытов по обнаружению направления движения частицы, находящейся в таком квантовом состоянии, с вероятностью

будет получен ответ, что частица движется вправо вдоль оси , а с вероятностью

- что частица движется влево.

Точно также в состоянии, являющемся суперпозицией двух плоских волн де Бройля, распространяющихся в направлениях вдоль осей и , когда

нет однозначного ответа на вопрос "куда движется частица?". Ответ, что частица движется и в направлении оси и в направлении оси не означает, что она движется вдоль биссектрисы угла между осями и . Такой ответ означает, что это движение, в котором следует считать, что частица с некоторой вероятностью движется вдоль оси , а с некоторой вероятностью - вдоль оси . Такой результат будет получен в серии измерений направления движения частицы.

Столь необычный ответ квантовой механики казалось бы на простой вопрос, не является чисто теоретическим абстрактным результатом. В связи с этим отметим, например, что в современных информационных технологиях, разрабатывающих квантовые компьютеры, возможно использование логического элемента не только с двумя состояниями "0" и "1", но и элементов, которые могут находиться в состояниях суперпозиции нуля и единицы с некоторыми вероятностями. Такие элементы существенно изменяют принцип работы компьютера и позволяют создавать алгоритмы, значительно повышающие быстродействие и эффективность переработки информации.

Возможность состояний, в которых данная физическая величина не имеет определенного значения, и которые получаются суперпозицией состояний, с определенным значением этой величины, является характерной чертой квантовой механики, принципиально отличающей ее от классической механики. Описать такое "смешанное" состояние одной частицы на языке классической механики невозможно. Поэтому не следует рассматривать системы, в которых формально объединены как классические, так и квантовые объекты. Такие системы некорректны для исследования, так как в них обнаруживаются неразрешимые противоречия. Одно из таких противоречий демонстрирует предложенный Э.Шредингером парадокс, который получил название "парадокса кошки".

Пусть в замкнутой системе, которая изображена на рис. 3.2 и ограничена некоторым непроницаемым "ящиком", находится кошка. На кошку направлен ствол заряженного пулей ружья. Перед нами система, содержащая классические объекты. Запустим теперь в этот ящик движущуюся микрочастицу, обладающую волновыми свойствами. При попадании этой квантовой частицы в курок ружья, ружье стреляет, и кошка погибает.



Рис. 3.2

Пусть наша частица может находиться в первом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией , и пусть в этом состоянии вероятность обнаружить частицу в области вблизи курка равна нулю. Это означает, что если микрочастица находится в первом квантовом состоянии, то кошка в ящике жива.

Есть другое состояние частицы, описываемое волновой функцией . В этом квантовом состоянии вероятность нахождения частицы в области вблизи курка ружья велика и практически равна единице. Неудивительно, что если частица находится во втором состоянии, то кошка мертва.

По принципу суперпозиции состояний микрочастица может находиться и в состоянии, которое является суперпозицией первого и второго состояний и описывается волновой функцией

(3.7)

Тот факт, что частица в таком состоянии с равной вероятностью может быть обнаружена либо в состоянии 1, либо в состоянии 2, возражений не вызывает. Однако, естественно, возникает коварный вопрос. Жива или мертва кошка в состоянии микрочастицы, описываемом волновой функцией (3.7)? Ведь кошка не может находиться в состоянии, которое является суперпозицией жизни и смерти, то есть не может быть не живой, не мертвой. Так жива или мертва кошка? Ведь если мы откроем ящик, то однозначно увидим, что кошка или жива, или мертва. И если она мертва, то когда это произошло? Ведь до открытия ящика однозначного ответа, что кошка мертва, не могло быть. Неужели мы убили кошку тем, что открыли ящик? На все поставленные вопросы нет ответов только потому, что была рассмотрена некорректная система, которая формально объединяла классические и квантовые объекты.

3. Волновая функция

В основе механики Ньютона лежит представление о теле как о материальной точке (в том случае, когда размерами тела можно пренебречь), которая движется в пространстве по вполне определённой траектории - математической линии (то есть бесконечно тонкой линии). А законы Ньютона позволяют написать уравнение траектории. Если размерами тела пренебречь нельзя, то можно рассматривать центр масс тела, который в каждый момент времени находится в определённой точке пространства. И движение центра масс происходит по непрерывной траектории в соответствии с законами Ньютона. Механика Ньютона вполне наглядна и в этом смысле проста для понимания. А с точки зрения квантовой механики движение электрона (или другой частицы) нельзя рассматривать как движение по какой-либо траектории. С точки зрения квантовой механики движение электрона может быть полностью описано с помощью волновой функции.

Давайте разберём этот вопрос на конкретном примере. Предположим, электрон движется в пространстве и проходит сначала точку А, а затем точку В (см. рис. 1). Это означает, что до какого-то момента времени вероятность обнаружить электрон в окрестности точки А была равна нулю. Затем, начиная с некоторого момента времени, вероятность обнаружить электрон в окрестности точки А стала отлична от нуля, и в течение некоторого промежутка времени она возрастала до максимума. А затем, в течение некоторого времени, вероятность обнаружить электрон в окрестности точки А опять уменьшилась до нуля. Общее время tA прохождения электроном точки А можно оценить так:

(8)

здесь xA размер области, в которой функция, описывающая движение электрона, отлична от нуля (в то время, когда электрон проходит т. А); Vx средняя скорость электрона вдоль оси x (вдоль направления движения), она остаётся неизменной при движении электрона.

Рис. 1. Движение электрона можно схематично изобразить в виде движения облака (размеры облака определяются объёмом пространства, в котором волновая функция отлична от нуля), состоящего из виртуальных электронов.

И с точки зрения квантовой механики невозможно определить, в какой момент времени электрон прошёл точку А. Можно только рассчитать интервал времени tA, в течение которого существует вероятность обнаружить электрон в окрестности точки А. Пока облако движется из точки А в точку В, его размеры увеличиваются, происходит так называемое расплывание волнового пакета.

Аналогичным образом электрон проходит точку В. При этом, пока электрон движется из точки А в точку В, размеры области, в которой функция отлична от нуля, увеличиваются, происходит так называемое расплывание волнового пакета. Расплывание волнового пакета происходит потому, что электрон (или любая другая частица) не только не имеет точной координаты своего местоположения в пространстве, но он также не имеет и определённой скорости движения. И в каждый момент времени электрон обладает непрерывным спектром скоростей в некотором интервале (см. рис. 2).

Рис. 2. В каждый момент времени электрон не имеет ни точной координаты своего местоположения, ни точно определённой скорости движения. Он как бы “размазан” и в обычном пространстве (слева), и в пространстве скоростей (справа).

Вероятность обнаружить электрон в промежутке между точками x1 и x2 равна:

.

А вероятность W(Vx1,Vx2) того, что электрон будет иметь скорость в интервале скоростей (Vx1,Vx2) равна:

.

Зная волновую функцию, описывающую движение электрона, всегда можно рассчитать не только распределение x(x), но и распределение V(Vx). То есть можно рассчитать распределение плотности вероятности местонахождения электрона и в обычном пространстве, и в пространстве скоростей. Вообще говоря, в квантовой механике принято говорить о распределении плотности вероятности местонахождения электрона в фазовом пространстве - пространстве координат и импульсов (x,y,z,px,py,pz). Ширина распределения x(x) и ширина распределения V(Vx) связаны между собой через соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Электрон может получить более точную координату своего местоположения только в результате взаимодействия с классическим прибором (объектом, неопределённость в местоположении которого достаточно мала). При этом размеры виртуального облака уменьшаются практически до нуля, происходит так называемая редукция волновой функции.

4. Редукция волновой функции

Чтобы наглядно представить себе поведение квантовых объектов, рассмотрим детально, каким образом происходит процесс редукции волновой функции. Именно этот процесс и является ключом к пониманию такого квантового парадокса, как “действие на расстоянии”, или нелокальность квантовой механики. Для удобства описания предположим, что область, в которой электрон (или другой квантовый объект) совершает дискретное движение, достаточно большая, например комната. Закон сохранения энергии не позволяет электрону иметь определённое местоположение, так как в этом случае энергия электромагнитного поля, создаваемого им, будет очень высока. В данном же случае, какой, сколь угодно малый, промежуток времени мы бы ни взяли, электрон успеет исчезнуть и появиться во всех точках комнаты.

Может возникнуть вопрос: а не противоречит ли движение электрона теории относительности? Нет, не противоречит, так как ни масса, ни заряд, ни энергия не перемещаются со скоростью, превышающей скорость света. Также невозможно, используя неопределённость в местоположении электрона, передать сигнал (информацию) быстрее скорости света. Далее мы разберём этот вопрос. Нужно отметить, что теория относительности накладывает ограничение только на классическую скорость движения физических объектов. А дискретное (хаотическое) движение электрона не приводит к бесконечной скорости в классическом смысле, так как проявляется только в неопределённости его движения.

Предположим, мы всё же решили узнать, где находится электрон. И для этого в комнату выпустили фотон. Пусть для наглядности фотон будет иметь размер (то есть длину волны), примерно, футбольного мяча. Этот футбольный мяч пролетает через комнату, и существует вероятность его взаимодействия с электроном. Пусть в промежуток времени [t0;t0+t] произошло это взаимодействие. То есть в этот промежуток времени электрон и фотон оказались в одном и том же месте комнаты (с точностью до размера футбольного мяча). Необходимо отметить, что электрон не находился в этом месте перед самым взаимодействием. Перед самым взаимодействием он находился сразу во всех точках комнаты. Так вот, в промежуток времени [t0;t0+t] нам удалось электрон “поймать”. Мы как бы спровоцировали его на мгновение принять определённое местоположение. Только во время взаимодействия у электрона появляется более точное местоположение. При этом область его локализации практически мгновенно уменьшается от размеров комнаты до размеров футбольного мяча. Происходит так называемая редукция волновой функции.

Следует отметить, что уменьшение области локализации электрона вызывает возрастание величины электромагнитного поля, создаваемого им. Это, в свою очередь, приводит к увеличению неопределённости в импульсе электрона.



Рис. 7. Редукция (коллапс) волновой функции

Размеры электрона меньше чем 1016 см [13]. Если бы электрон был локализован в области с размером r 1016 см, то энергия e электромагнитного поля, создаваемого им, была бы примерно в тысячу раз (!) больше, чем энергия покоя электрона:

e e2/r 1000 mec2

Электрон не обладает такой энергией и, следовательно, не может иметь точного местоположения в пространстве. Поэтому он вынужден двигаться дискретно (хаотически) в некоторой области пространства (внутри электронного облака - облака виртуальных электронов, рис. 7,a). Это облако движется внутри комнаты, постоянно увеличиваясь в размерах, и как результат, занимает объём всей комнаты (расплывание волнового пакета, рис. 7,a-d).

Затем в комнату влетает фотон (рис. 7,e). В точке A происходит взаимодействие между фотоном и электроном и, как результат, редукция волновой функции (мгновенное уменьшение размеров электронного облака, рис. 7,f). Энергия фотона и направление его движения изменяются, а электрон получает более точное местоположение.

Говоря о редукции волновой функции, мы использовали термин “мгновенно”. Но ведь абсолютно мгновенно ничего не происходит. Всегда всё происходит в какой-то отличный от нуля промежуток времени. В данном же случае нас интересует следующее: если взаимодействие произойдёт достаточно быстро, может ли скорость редукции (схлопывания) волнового пакета быть больше скорости света? Скажем, размеры комнаты L, время взаимодействия t (в принципе, это время можно сколь угодно уменьшать). Возможно ли L/t >> с? Да, возможно. Скорость редукции (схлопывания) волновой функции (волнового пакета) может быть сколь угодно больше скорости света. Противоречит ли это теории относительности? Нет, не противоречит, потому что в данном случае ни энергия, ни заряд, ни масса не перемещаются быстрее света. Более того, необходимо отметить, что если бы редукция волновой функции происходила со скоростью меньшей, чем скорость света, то именно тогда возникли бы противоречия с теорией относительности.

Действительно, пусть произошло взаимодействие электрона с фотоном. Если бы в этот промежуток времени существовала отличная от нуля вероятность нахождения его в какой-либо другой точке комнаты, значит, в принципе, существовала бы возможность там обнаружить электрон. Но электрон как целое не может перемещаться в пространстве быстрее света. Поэтому, если время взаимодействия t, то вероятность нахождения электрона на расстоянии большем, чем r = ct от места взаимодействия (от точки А; рис. 7,f), равна нулю.

5. Расщепление волнового пакета

Давайте ещё раз рассмотрим электрон, который совершает дискретное (хаотическое) движение в ограниченной области пространства, например в комнате. В каждый, сколь угодно малый, но конечный, промежуток времени электрон успевает побывать (исчезнуть и появиться) во всех точках комнаты.

Теперь предположим, что мы разделили комнату пополам непроницаемой для электрона перегородкой (перегородка так же, как и стены комнаты, не взаимодействует с электроном, рис. 8,а). Что в этом случае изменится в движении электрона? Ничто не изменится. Перегородка не будет мешать электрону двигаться по всей комнате, так как электрон движется не по непрерывной траектории, а дискретно: исчезает из одной точки и появляется в другой. Область же, в которой электрон совершает дискретное (хаотическое) движение, может перемещаться и расплываться в пространстве только непрерывно, так как скорость её перемещения и расплывания ограничена скоростью света.

Рис. 8.

редукция коллапс волновая функция квант

Итак, у нас получились две изолированные друг от друга комнаты, внутри которых движется дискретно (хаотически) только один электрон. И если мы начнём отодвигать друг от друга эти комнаты, то электрон будет продолжать двигаться хаотически, находясь по-прежнему в обеих комнатах (рис. 8, b). Расстояние между комнатами можно сделать сколь угодно большим - электрон будет продолжать двигаться одновременно в двух комнатах (рис. 8,с). Примером такого дискретного движения в двух изолированных друг от друга областях может служить движение электрона в атоме (см. рис. 9).

Рис. 9. Схематичное изображение распределения плотности вероятности местонахождения электрона в атоме для 2р-состояния

На рисунке изображён разрез в плоскости XZ. Распределение плотности вероятности симметрично относительно оси Z, поэтому точно такой же график распределения будет и в плоскости YZ. Наибольшая вероятность местонахождения электрона - в центре каждого “лепестка”, а в плоскости XY она равна нулю. С точки зрения классического (непрерывного) движения невозможно объяснить, каким образом электрон может находиться в обоих лепестках, не пересекая при этом плоскость XY.

Таким образом, если волновой пакет (виртуальное облако), в котором электрон совершает хаотическое (дискретное) движение, имеет возможность расщепиться на две половины, то он, расщепившись на два волновых пакета, может двигаться в различных направлениях. Электрон, совершая хаотическое движение в этих пакетах, также будет двигаться одновременно в различных направлениях. Например, он сможет пройти через два отверстия одновременно (см. рис. 10). Если при дальнейшем движении эти волновые пакеты соединятся на детекторе, то произойдёт их интерференция. Хотя электрон при этом только один. Движение любого другого квантового объекта (например, фотона) будет происходить аналогично.

Рис. 10. Электрон в виде виртуального облака вылетает из источника и движется к экрану с двумя отверстиями

При этом виртуальное облако непрерывно увеличивается в размерах. Когда облако долетает до экрана, то какая-то его часть проходит через одно отверстие, какая_то через другое, а какая-то часть отражается от экрана и движется в обратную сторону.