Влияние пондермоторной силы на температурные поля и напряжение в слое

Размещено на http://www.allbest.ru/

Влияние пондермоторной силы на температурные поля и напряжение в слое

Аббасов Зафар Думан оглы,

старший преподаватель Гянджинского государственного университета, Азербайджан

Температурные поля и напряжения в электропроводных телах, находящихся в электромагнитном поле, обычно определяют, исходя из удельной мощности джоулева тепла. При этом пондермоторные силы не учитываются [2, 3]. В данной работе рассматривается динамическая задача термоупругости, в которой учитывается влияние пондермоторных сил и связанность полей деформации и температуры. Термоупругие постоянные материала принимаются постоянными.

Пусть на верхнем слое  имеет место конвективный теплообмен с внешней средой, температура которой равна начальной температуре  слоя, нижнее основание теплоизолировано. Примем, также, что основание  свободно от силовой нагрузки, а при  переменный  равен нулю. Полагая , приходим к решению системы уравнений [2, 3].

  (1)

при начальных (2)

и граничных условиях (3)

(31)

Здесь через  обозначаются безразмерные координаты отношения к толщине слоя , кроме того приняты обозначения:

- отклонение температуры от начального.

- нормальные напряжения в направление оси

;  коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и теплоотдача на основание слоя  - коэффициент линейного расширения;  - модуль упругости и коэффициент Пуассона, - плотность материала слоя; - пондермоторная сила, -удельная мощность джоилова тепла.  и  считаются постоянными величинами;

 - параметр связанности.

В рассматриваемом случае нормальные напряжения  и  определяются формулами

(4)

(5)

Подставляя значение  из третьего уравнения в (1) получим систему уравнений относительно функций  и .

 , (6)

,   

скорость распространения продольных волн. Решение системы (6) должно удовлетворять начальные условия.

(7)

и граничные условия (3),

  (8)

Решение задачи (6)-(8) будем искать в виде суммы по степеням коэффициента связности :

(9)

Подставляя (9) в (6) получим:

 ,

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , будем иметь следующую систему начально-краевых задач:

 ; (А0)

 ; (Б0)

;

  (А1)

 ; (Б1)

а при  и  должны быть решениями следующих краевых задач:

 ; (Ак)

 ; (Бк)

В задачах  начальные и граничные условия получены при подстановке (9) в (2), (3) и (31).

Как видно из системы полученных задач учет связаности температурных и деформацонных полей появлается в системах задач при . Полученные задачи будем решать методом разделения переменных. Решение задачи  этим методом будет

(10)

где  являются корнями транецендентного уравнения.

 или (11)

и принято обозначение

 ;

Подставляя значение (10) в задаче , отыщем . Для этого вначале граничные условия приведем к однородным

Введем функцию

, (12)

Подставляя (12) в задаче , получаем задачу для определения функции .

 ;

Решение задачи  представим в виде

(13)

Для определения функции  подставляем (13) в уравнение и умножаем уравнение в задаче  на  и проинтегрируем полученное равенство в отрезке . Учитывая ортогональность функций  при этом, получим:

,

здесь учтена формула

Общее решение этого уравнения представляется в виде:

(14)

где  произвольные постоянные, которые определяются при помощи начальных условий задачи :

Подставляя значения  в (14) результат (13) определяем

(15)

Теперь при помощи (15) и для значения  из (12) получаем решение задачи :

(16)

где приняты обозначения:

;

Решение задачи  представим в виде

(17)

Подставляя значение  из (16) в правую часть (17) и удовлетворяя начальному условию  определяем

(18)

Подставляя (18) в (17) получаем решение задачи

(19)

Решение задачи  связано с задачей определения функции  при помощи формулы

(20)

где  является решением задачи с однородными кривыми условиями:

,  (Д1)

  определяется формулой

(21)

Собственные функции задачи  образуют ортогональную систему , а собственные числа есть  Поэтому решение задачи  представим в виде:

(22)

где  определяется уравнением:

Произведя интегрирование по частям, последнее равенство перепишем следующим образом

Подставляя (19) в правую часть последнего равенства и проделывая необходимые вычисления, получаем общее решение, в которое входит сумма  Здесь произвольные постоянные определяются начальными условиями  Следовательно, найденное  подставляя в (22) и находим значение искомой функции  определяется согласно формулой

Пренебрегая членами в (9) содержание  приближенно можно определить

  (24)

Учитывая (5) в третьем уравнении и используя полученные формулы для переменных и температуры можно записать приближенную для компонента напряжения :

(25)

а другие компоненты напряжений определяются по формулам (4):

(26)

В случае рассмотрение несвязанной задачи термоупругости имеем формулы (10) и (16). Из приведенных формул видно, что значения поля перемещений и температуры, а также компонентов напряжений зависят от джоулева тепла и пондермоторной силы. Исследования температурных толей и напряжений проводились для слоя из стали Х18Н9Т, характеристики материала которых принимались равными   вт/м.град;

м2/сек, , Н/м2,   м.

Заключение

пондермоторный температура электромагнитный

Полученные числовые значения показывают, что распределение напряжений и температурных полей практически совпадают для всех значений . Построены графики для напряжений  и температурного поля .

Литература

1. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев, «Наука думка», 1970.

2. Бурак Я.И., Гачкевич А.Р. О влиянии периодического во времени электромагнитного поля на температурные поля и напряжения в электропроводном слое // Прикладная механика, №7, 2004.

3. Родигин Н.М. Индукционный нагрев стальных изделий токами нормальной частоты. М., Металлургия, 1996.

Размещено на Allbest.ru