Математическое моделирование движения жгута пищевой массы после горизонтального прессования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский Государственный Университет Пищевых Производств.

ДОКЛАД

на тему: «Математическое моделирование движения жгута пищевой массы после горизонтального прессования»

Благовещенская Маргарита Михайловна

доктор технических наук, профессор

Иванов Яков Викторович

аспирант

Большое количество теоретических работ посвящено математическому моделированию течения пищевых масс в каналах различной формы. Но после формования в прессе или в экструдере пищевая масса выходит из матричного отверстия и движется в воздухе в виде жгута.

При вертикальном прессовании траектория движения жгута однозначна: вертикально сверху вниз. Но теоретическое описание траектории жгута при горизонтальном прессовании, к сожалению, отсутствует, что затрудняет математическое моделирование процессов формования пищевых масс в кондитерской, хлебопекарной, макаронной и мясной промышленности.

Для построения математической модели рассмотрим движение жгута пищевой массы, выходящего из матричного отверстия с постоянной горизонтальной скоростью v_m. Большинство пищевых масс, помимо вязкости, обладают свойством ползучести [1], при которой скорость деформации под действием приложенной постоянной силы развивается во времени постепенно, достигая постоянной величины. Можно предположить, что не только вязкость, но и ползучесть будет влиять на траекторию жгута. Тогда исходное уравнение движения пищевой массы [2] с учетом ползучести будет иметь следующий вид:

,(1)

где i, j - индексы, принимающие значения 1, 2, 3;

t - время, с;

v_i - компоненты скорости смещения частицы пищевой массы, м/с;

x_i - оси координат, м;

k = G/з ;

G - модуль сдвига при ползучести, Н/м²;

з - вязкость пищевой массы, Па;

f_i - компоненты напряженности массовых сил, м/с²;

с - плотность пищевой массы, кг/м³;

P_ij - тензор напряжений, Н/м².

Жгут, выходящий из формующего отверстия, состоит из однородной вязкой пищевой массы (конфетной, макаронной), поэтому тензор напряжений P_ij можно записать в виде [2]:

канал жгут пищевая масса

,(2)

где p - гидростатическое давление, Н/м²;

д_ij - символ Кронекера;

о - объемная вязкость, Па;

?v_m/?x_m ? дивергенция вектора скорости смещения частицы пищевой массы, 1/с.

Жгут пищевой массы, вышедший из матричного отверстия, имеет свободные границы и внутри него отсутствует гидростатическое давление, не происходит резкое объемное сжатие или расширение, что позволяет считать пищевую массу несжимаемой. Следовательно, слагаемыми, содержащими символ Кронекера, можно пренебречь.

Движение жгута пищевой массы происходит в плоскости, образованной вектором скорости выхода жгута из матричного отверстия и направлением ускорения свободного падения. Поэтому для того, чтобы записать компоненты уравнений (1) и (2), достаточно выбрать прямоугольную систему координат (горизонтальная ось x параллельна скорости выхода жгута, вертикальная ось y направлена параллельно ускорению свободного падения) таким образом, чтобы середина матричного отверстия находилась на высоте y = h при x = 0. Тогда v_x(0,h) = v_m и v_y(0,h) = 0, так как в момент выхода жгута из матричного отверстия вертикальная составляющая скорости жгута отсутствует. Вне выбранной плоскости никакие силы не действуют, поэтому движением жгута в этом направлении можно пренебречь, так как деформация жгута происходит под действием вертикального ускорения свободного падения g.

Подобная задача решена в гидравлике для струи воды, истекающей из отверстия в вертикальной стенке. Уравнение траектории струи воды в выбранной системе координат имеет параболический характер:

.

С учетом принятых допущений из выражения (1) получаем соотношения для компонент скорости:

,(3)

,(4)

а из выражения (2) получаем соотношения для ненулевых компонент тензора напряжения:

; ; .(5)

Из уравнения неразрывности получаем:

 или .(6)

Внутри жгута со свободными границами не могут образоваться вихревые течения, тогда

или .(7)

С учетом этих соотношений получаем, что

.(8)

При безвихревом плоском течении траекторию движения частицы пищевой массы, находящейся в центре поперечного сечения жгута, можно представить в виде линии тока [1]. Абсолютное значение скорости этой частицы не изменяется и равно v_m, но под действием ускорения g происходит поворот линии тока и изменение компонент скорости v_x и v_y, что позволяет записать:

или (9)

Из соотношения (9) получаем:

.(10)

Тогда из уравнений (3) и (4) с учетом соотношений (6)-(10), получаем уравнения линии тока, проходящей через центр жгута пищевой массы:

и ,(11)

решение, которых можно записать в виде

и .

В момент времени t = 0 жгут пищевой массы начинает выходить из матричного отверстия со скоростью v_x = v_m при v_y = 0. Из этих условий находим константы интегрирования:

и .

Тогда можно записать:

и (12)

Интегрируя по времени выражения (12), соответственно получаем:

и

Из начальных условий t = 0 , х(0) = 0 и у(0) = h находим постоянные интегрирования

и ,

подставляя которые получаем

и .(13)

Как видно из соотношений (13) при t > ?, предельное значение х_п = v_m/k, а у стремится к отрицательному бесконечному значению.

Выражая t через х и подставляя это значение t в равенство для у, получаем уравнение линии тока, а следовательно, и уравнение траектории жгута вязкой пищевой массы, обладающей ползучестью:

.(14)

Уравнение (13) позволяет математически моделировать движение жгута пищевой массы, обладающей ползучестью, после горизонтального прессования.

В случае отсутствия свойства ползучести у пищевой массы (k = 0) из уравнений (11) таким же путем получаем, что траектория движения жгута в этом случае будет параболической, как и у струи воды.

На рисунке 1 приведены для сравнения результаты математического моделирования в системе компьютерной алгебры Maple движения жгута пищевой массы без учета ползучести f1(x) и с учетом ползучести f2(x).

Рис. 1. Траектории движения жгута пищевой массы

Литература

1. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 320 с.

2. Черняк В.Г., Суетин П.Е. Механика сплошных сред. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 352 с.

Размещено на Allbest.ru