Методы конечных разностей и конечных элементов в задачах электромагнитной совместимости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы конечных разностей и конечных элементов в задачах электромагнитной совместимости

Валетов Еремей Владимирович,

докторант Университета штата Мичиган, США

Введение

Цель данной статьи - рассмотрение основных численных методов и их применения в задачах электромагнитной совместимости. Исторически сложилось так, что аналитические методы считались абсолютно истинным выражением процессов, происходящих в физическом мире. Однако обладая физической наглядностью аналитические методы имели значительный недостаток: они были предназначены только для анализов процессов с высокой степенью идеальности, что, к сожалению, в реальных исследовательских задачах недопустимо.

Аналитические методы и методы физико-математического моделирования

С некоторой натяжкой к данным методам можно отнести и методы физико-математического моделирования. Данные методы начали интенсивно развиваться с 50 - 60-х годов ХХ века. Ввиду отсутствия или очень слабых возможностей вычислительной техники в то время преимущественно разрабатывались методы физического и аналогового моделирования. При физическом моделировании соответствующие величины оригинала и модели имеют одинаковую физическую природу. Аналоговые методы базируются на аналогии уравнений, описывающих процессы в оригинале и модели. При этом соответствующие величины, характеризующие оригинал и модель (величины - аналоги), имеют различную физическую природу.

Во многих случаях аналоговые методы имеют преимущества: наглядность получаемых решений, большая универсальность по сравнению с аналитическими методами, возможность моделировать процессы в реальном масштабе времени. К недостаткам аналоговых методов можно отнести следующие: трудоемкость изготовления аналоговых моделей; для обеспечения условий подобия требуются предварительные расчеты, которые плохо поддаются автоматизации и требуют повышенного внимания от исследователя. Указанных недостатков лишены численные методы.

Численные методы

С развитием цифровой вычислительной техники все большее распространение стали получать численные методы моделирования электромагнитных полей, основанные на пространственной и пространственно-временной дискретизации. Преимущества численных методов заключаются в том, что они позволяют получить искомый результат с учетом реальных свойств материалов и геометрии всех входящих в расчетную область тел [12].

Численные методы нацелены на непосредственное решение уравнений поля с граничными условиями, обусловленными геометрией задачи и самой задачей. Хотя они требуют большего объема вычислений, чем аналитические методы или экспертные системы, численные методы являются крайне мощным инструментом анализа задач электромагнетизма. Не делая заранее никаких предположений о том, какие полевые взаимодействия наиболее значимы, численные методы осуществляют анализ всей геометрии исследуемой конфигурации полностью. При этом геометрия задачи задается в виде входных данных [1].

Как известно, все электромагнитные процессы в межсоединениях ПП описываются посредством уравнений Максвелла [8]. Из системы полных уравнений Максвелла путем несложных математических преобразований можно получить следующие уравнения:

Это уравнения Гельмгольца и они являются исходными при проведении анализа волновых процессов (в частности электромагнитного излучения) [4].

Для решения данных уравнений необходимо правильно выбрать и задать граничные условия. Однако, при моделировании электромагнитного излучения возникают трудности, связанные с постановкой условий в открытой области, где напряженность поля неизвестна. Моделирование электромагнитного поля на бесконечности, в том числе, связано с поиском таких методик постановки граничных условий, которые будут обеспечивать высокую точность решения уравнений поля, даже если граничные условия ставятся на достаточно близком расстоянии от исследуемого объекта.

Именно задачи подобного класса сдерживали применение метода конечных разностей в области электромагнитной совместимости.

Непосредственное применение численных методов к открытой (или, другими словами, бесконечной) области, вмещающей бесконечное число узлов, приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений, решение которой не может храниться в конечной памяти вычислительной машины. Поэтому необходимо осуществлять редукцию этой системы, исходя из общих, достаточно универсальных соображений, например, искусственно ограничивая открытую область либо идеальной, либо поглощающей границей. Идеальную границу целесообразно использовать в тех случаях, когда заранее известно, что решение краевой задачи в открытой области достаточно быстро убывает на бесконечности. В частности, для уравнений Лапласа и Пуассона метод ограничения открытых областей идеальными границами был рассмотрен в [3].

При рассмотрении в открытых областях краевых задач для уравнения Гельмгольца быстрого убывания поля на бесконечности, как правило, не наблюдается. Поэтому оказывается, что вместо идеальных границ в этом случае необходимо использовать поглощающие границы. Детальный обзор подобных граничных условий был сделан в [1].

Современный подход в постановке поглощающих граничных условий состоит в применении так называемого материального поглотителя. Данные граничные условия реализуются путем окружения расчетной области материалом с электромагнитными потерями, который ослабляет проходящее через него электромагнитное поле. Идея использования материальных поглощающих граничных условий была изложена достаточно давно. Однако первые поглощающие граничные условия не обеспечивали достаточно малого коэффициента отражения от границы, поскольку характеристический импеданс материальной границы был согласован с импедансом вакуума только при нормальном падении волны [9].

Использование материальных поглощающих условий получило новый толчок в 1994 году, когда был создан идеально согласованный слой (в латинском сокращении PML - Perfectly Matched Layer), изначально описанный в [10]. Метод разбиения компонент поля, изначально используемый для построения PML можно рассматривать как имеющий исключительно математический смысл и не имеющий никакого соответствия физическому миру. Однако в [11] он был получен с помощью продолжения функций, описывающих поле, в комплексную плоскость. Хотя идеально согласованный слой считается физически не реализуемым, в [13] была физически реализован слой, имеющий аналогичные характеристики. Надо заметить, что отечественные авторы отстают от зарубежных в части применения идеально согласованного слоя для задач моделирования электромагнитных полей. Среди отечественных авторов, следует выделить работы И.В.Белова [2] для моделирования распределения электромагнитных полей в помещениях.

Пример покрытия PML показывается на рис. 1.

Рис. 1. Построение идеально согласованных слоев PML, окружающих объект.

После установления слоя PML, далее необходимо задать границы на наружной поверхности. Самый простой путь состоит в том, чтобы ограничить поле или идеальными электрическими проводниками (PEC) или идеальными магнитными проводниками (PMC). Обычно использование PEC уменьшает размер задачи.

Существует несколько различных методов для решения задач, подобных анализу электромагнитного излучения (ЭМИ). В настоящее время при анализе ЭМИ используются следующие основные методы:

- метод конечных разностей во временной области;

- метод конечных элементов;

- метод моментов.

Несмотря на свое формальное отличие в названии, по сути, данные методы являются подобными.

Широкое использование и развитие численных методов началось с методов конечных разностей (МКР) (или методов сеток). Эти методы основаны на замене дифференциальных операторов в уравнениях математической физики конечно-разностными операторами в соответствии с построенной сеткой (пространственная дискретизация области и ее границ заключается в построении сетки, состоящей из узлов и ребер). Путем такой замены дифференциальные уравнения в частных производных преобразуются в систему алгебраических уравнений относительно узловых величин. Проблемы построения и свойства систем конечно-разностных уравнений рассмотрены в [6]. В случае однородной среды переход к разностным уравнениям осуществляется путем простого применения конечно-разностных операторов. Для уточнения аппроксимации частных производных в состав этих операторов могут включаться конечные разности высших порядков. В случае кусочно-неоднородной среды к узлам, принадлежащим поверхностям раздела сред, вместо обычных разностных операторов применяются условия сопряжения, отражающие скачкообразные изменения частных производных. Аппроксимация частных производных по обе стороны от границы раздела сред выражается также через конечные разности. Граничные условия Дирихле учитываются простым заданием искомых величин в граничных узлах. Граничные условия Неймана или Коши аппроксимируются с помощью конечно-разностных операторов. Главным недостатком МКР является трудность в анализе непрямолинейных границ (которые имеют место в пакетах программ специализированного применения) [8].

Основным свойством получаемых систем конечно-разностных уравнений является ленточная или профильная структура матрицы коэффициентов. Ширина ленты или профиля определяется нумерацией узлов, регулярностью сетки, максимальным порядком конечных разностей, используемых для аппроксимации частных производных. Как правило, матрица коэффициентов характеризуется слабой заполненностью внутри ленты или профиля даже при оптимальной нумерации узлов, поэтому для ее хранения в памяти ЭВМ часто применяется технология разреженных матриц. Методы решения систем сеточных уравнений определяются их свойствами. Методы матричной прогонки основаны на гауссовом исключении или факторизации применительно к ленточным матрицам. Другие прямые методы основаны на различных видах разложения на множители применительно к разреженным матрицам. Основным недостатком прямых методов является плохая приспособленность их к компактным схемам хранения разреженным матриц (при факторизации происходит их заполнение). Поэтому приходится использовать итерационные методы.

Помимо конечно-разностных методов решения задач математической физики существуют методы, обладающие свойствами как численных, так и аналитических: методы интегральных уравнений, вариационные и проекционные методы (методы взвешенных невязок и связанные с ними методы конечных (МКЭ) и граничных элементов).

Метод конечных элементов основан на интегральной формулировке граничной задачи [7]. Вместо дифференциальных уравнений с частными производными устанавливаются соответствующие функционалы. Исследуемая область в зависимости от размерности задачи делится на плоские или объемные элементы, в которых неизвестное распределение поля аппроксимируется полиномами. Использование метода Рэлея-Ритца позволяет затем получить систему линейных алгебраических уравнений. Поскольку некоторые из выделенных элементов включают границы исследуемой области, полученная система уравнений может быть решена для внутренних точек. Метод конечных элементов имеет некоторое преимущество перед методом конечных разностей в гибкости, так как с его помощью легко учитываются сложные границы. Порядок аппроксимирующих полиномов дает дополнительную свободу при численном расчете. Недостатком метода является большая требуемая память ЭВМ.

Метод моментов, наряду с методом конечных разностей во временной области, наиболее широко распространен в современных пакетах анализа ЭМИ. В основе метода моментов - решение интегрального уравнения. Данный метод преобразует интегральное уравнение в систему алгебраических уравнений, которая решается численным способом. Сам метод представляет собой развития метода Галеркина. В методе моментов используется базовая треугольная функция, и дельта-функция как тестовые (проверочные) функции. Если базовые и тестовые функции различны, как в методе моментов, то правая часть системы уравнений приобретает как бы «момент», вместо нулевой правой части, как в методе Галеркина [5]. Хотя с точки зрения решения этой системы эти подходы эквивалентны. В настоящее время этот метод наиболее широко применяется для моделирования ЭМИ иностранными авторами, однако следует отметить один весьма важный недостаток данного метода: матрица получается полностью заполненной, а не разреженной, как в МКЭ, вследствие чего значительно увеличивается время вычисления.

Приведем основные характеристики численных методов, используемых при прогнозировании ЭМИ от ЭС и их компонентов. Порядок следования методов будет соответствовать повышению аналитической сложности и, соответственно, уменьшению их гибкости. Результаты сравнения методов приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Сравнение численных методов анализа электромагнитных процессов.

Оценка, приведенная в табл. 1, является качественной. Нет четко установленной границы между определениями «умеренный» и «большой». Кроме того, существует значительный разброс в каждом параметре для определенного метода.

Учитывая тот факт, что при использовании численных методов необходимо проводить огромное количество математических вычислений, то необходимо использовать сложные программные комплексы, среди которых можно выделить такие комплексы, как Ansys. Nastran, Femlab. Потребность в большом количестве машинных ресурсов и дорогостоящих программных комплексах и является главным недостатком численных методов.

Заключение

В данной работе были рассмотрены численные методы, такие метод конечных разностей и метод конечных элементов, а также их применение в задачах электромагнитной совместимости.

Литература

численный моделирование электромагнитный совместимость

1. Агапов С.В., Чермошенцев С. Ф. Методы и средства анализа и прогнозирования электромагнитных излучений от электронных средств // Информационные технологии. - 2003. - №11. - С. 2-12.

2. Белов И.В. Моделирование высокочастотных электромагнитных полей внутри помещений: Авторефер. дис. … канд. физ.-мат. наук. - М., 1999. - 16 с.

3. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. - М.: Изд-во «Наука», 1972. - 560 с.

4. Никольский, В.В. Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. - 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1989. - 544 с.

5. Разевиг В. Д., Курушин А. А. Среда проектирования Microwawe Office. - М.: Солон, 2003. - 335 с.

6. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

7. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. - М.:Мир, 1986. - 229 с.

8. Чермошенцев С.Ф. Информационные технологии электромагнитной совместимости электронных средств. - Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2000.- 152 с.

9. A transmitting boundary for transient wave analysis / Z. P. Liao, H. L. Wong, B.-P. Yang, Y.-F. Yuan // Sci. Sin., Ser.A. - 1984. - Vol. 27., № 10. - P. 1063-1076.

10. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // J.Comput.Phys. - 1994. - Vol. 114, № 2. - P._185-200

11. Chew W. C., Weedon W. H. A 3D perfectly mathed medium from modified Maxwell's equations with strethed coordinates // Microwave Opt. Technol. Left. - 1994. - Vol. 7, № 9. - P. 599-604.

12. Numerical Techniques for Microwave and Millimeter Wave Passive Structures / ed T. Itoh. - New York: Wiley. - 1989. - 700 p.

13. Ziolkowski R. W. The design of Maxwellian absorbers for numerical boundary condition // IEEE Trans. Antennas and Propagation. - 1997. - Vol. 45, № 4. - Р. 656-671.

1. Размещено на www.allbest.ru