Электрические цепи однофазного синусоидального тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электрические цепи однофазного синусоидального тока



Размещено на http://www.allbest.ru/

Дано:

L2 = 23,4 мГн, L3 = 27,9 мГн, C3 = 39,9 мкФ, R1 = 17 Ом, f = 80 Гц, ,

, , ;

Задание:

Записать полное уравнение Кирхгофа для расчетов тока электрической цепи в двух формах записи.

Рассчитать токи во всех ветвях в комплексной форме

а) уравнения Кирхгофа

б) МКТ

в) МУП

г) МН

д) МЭГ

3) Составить сравнительную таблицу результатов

4) Определить показания ваттметра с помощью

а) P =

б) P =

5) Построить топографическую диаграмму, совпадающую с векторной диаграммой токов и напряжений цепи.

6) Построить графики кривых на пассивных элементах цепи.

Записать полное уравнение Кирхгофа для расчетов тока электрической цепи в двух формах записи.

Дано:

L2 = 23,4 мГн, L3 = 27,9 мГн, C3 = 39,9 мкФ, R1 = 17 Ом, f = 80 Гц, ,

, , ;

Решение:

Переведём в комплексный вид все э.д.с. и найдём сопротивления всех элементов.

= 0

= 225,6/ * = 160*cos(-5) + j*160*sin(-5) = 159,4 - j13,94 = 160* В

= 80/* = 56,73*cos(5) + j*56,73*sin(5) = 56,51 + j4,944 В

= 80/* = 56,73*cos(-85) + j56,73*sin(-85) = 4,944 - j56,51 В

= 2f = 6,28*80 = 502,4 c-1

XL2 = L2 = 502,4 * 0,0234 = 11,76 Ом

XL3 = L3 = 502,4 * 0,0279 = 14 Ом

XC3 = 1/C3 = 1/(502,4*39,9*10-6) = 49,88 Ом

Z1 = R1 = 17 Ом

Z2 = jXL2 = j11,76 Ом

Z3 = j(XL3 - XC3) = - j35,88 Ом

Имея все сопротивления цепи упростим нашу схему для удобства решения.



2) Рассчитать токи во всех ветвях в комплексной форме

а) I-II законы Кирхгофа.

Z1 = R1 = 17 Ом

Z2 = jXL2 = j11,76 Ом

Z3 = j(XL3 - XC3) = - j35,88 Ом

= 160* = 159,4 - j13,94

=+ = 56,51 + j4,944 + 4,944 - j56,51 = 65,45 - j51,56 = 83,319 e-j38

По I закону Кирхгофа.

- += 0

По II закону Кирхгофа

Z1 + Z2 =

-Z2 - Z3 = - - = -

Составим систему уравнений

- += 0

Z1 + Z2 =

-Z2 - Z3 = - - = -

- Z1 -((Z2 + Z1)* Z3)/Z2 = - * ((Z2 + Z1)/Z2)

Z2 + Z1 = 17 + j11,76 = 20,67 e-j55,33

(Z2 + Z1)/Z2 = 20,67 e-j55,33/11,76ej90 = 1,75765ej55,33 = 1 - j1,44557

((Z2 + Z1)/Z2)*Z3 = 1,75765e-j55,33 * 35,88e-j90 = 63,0644 e-j145,33

- Z1 -((Z2 + Z1)* Z3)/Z2 = - 17 + 51,867 + 35,88 = 34,867 + j 35,88 = 50 ej46

- * ((Z2 + Z1)/Z2) = 159,4 - j13,94 + 9,08358 + j146,17255 = 168,48368 + j132,232556 = 214,17796 ej38

50 ej46 = 214,17796 ej38

= 4,26104 e-j8 = 4,22 - j0,59 A

-Z2 - Z3 = -

= ( - Z3 )/ Z2 = (65,45 - j51,56 - 21,1692 + j151,4136)/j11,76 = (86,6192+j99,8536)/j11,76 = 132,18748 ej49/ 11,76 ej90 = 11,24046 e-j41 = 8,4909 - j7,36557

= - = 8,4909 - j7,36557 - 4,22 + j0,59 = 4,2709 - j6,775 A

= 8 e-j57 = 4,2709 - j6,775 A

= 11,24046 e-j41 = 8,4909 - j7,36557

= 4,26104 e-j8 = 4,22 - j0,59 A

б) Методом контурных токов. (МКТ)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Z1 = R1 = 17 Ом

Z2 = jXL2 = j11,76 Ом

Z3 = j(XL3 - XC3) = - j35,88 Ом

= 160* = 159,4 - j13,94

=+ = 56,51 + j4,944 + 4,944 - j56,51 = 65,45 - j51,56 = 83,319 e-j38

Решение:

=

= -

= -

Составим уравнения для двух имеющихся в схеме контуров

*(Z2 + Z1) -* Z2 =

-* Z2 + * (Z2 + Z3) = -

Методом Гаусса домножая на соответствующие множители получаем формулу для нахождения тока в общем виде.

* (+ (Z2 + Z3)*(Z1 + Z2)) = * Z2 - * (Z1 + Z2)

Находим почленно части уравнения и затем подставляем их

= (11,76ej90)2 = 138,2976 ej180 = - 138,2976

(Z2 + Z3)*(Z1 + Z2) = (j11,76 - 35,88)*(17 + j11,76) = 29,12e-j90 * 20,6711ej34,7 = 498,586932 e-j55,3 = 283,6512 - j410,04

* Z2 - * (Z1 + Z2) = 160e-j5 * 11,76e-j90 - 83,314 e-j38 * 20,6711 ej34,7 = 1881,6 ej85 - 1722,1e-j3,3 = 163,99224 + j1874,43994 - 1719,9956 + j106,828 = -1555,00266 + j1981,26794 = 2518,62226 ej128

Подставляем численные значение в уравнение общего вида.

* (138,2976 + 283,6512 - j410,04) = - 1555,00366 + j1981,26944

= 2518,62226 ej128/ 588,36518e-j44 = 4,2807 ej172 = - 4,22 + j0,59

Находим оставшийся ток

= (+* Z2)/ (Z1 + Z2) = >

электрическая цепь однофазный синусоидальный ток

* Z2 = 4,2807ej172 * 11,76ej90 = 50,341 ej262 = - 7,00611 - j49,85108

= (159,4 - j13,94 - 7,00611 - j49,85108)/(17 + j11,76) = (152,39384 - j63,79108)/(17 + j11,76) = 4,2701 - j6,73207

Подставляем найденные токи и находим токи во всех ветвях.

= = 4,2701 - j6,73207

= - = 4,2701 - j6,73207 + 4,22 - j0,59 = 8,4901 - j7,32207

= - = 4,23 - j0,59

в) Метод узловых потенциалов (МУП)

Z1 = R1 = 17 Ом

Z2 = jXL2 = j11,76 Ом

Z3 = j(XL3 - XC3) = - j35,88 Ом

= 160* = 159,4 - j13,94

=+ = 56,51 + j4,944 + 4,944 - j56,51 = 65,45 - j51,56 = 83,319 e-j38

Заземлим один из узлов. Пусть это будет узел p.

В соответствии с правилами нахождения узловых токов составим уравнения для искомых токов.

= (-+ )/Z1

= /Z2

= (-+)/Z3

Находим потенциал

= Uab =

= (* B1 + * B2 )/(B1+B2+B3)

* B1 + * B2 = 160/17ej0 + 83,314e-j38/35,88e-j90 = 9,411 + 2,322ej52 = 9,37518 - j0,82022 + 1,43018 + j1,83054 = 10,805536 + j1,01032 = 10,85ej5

B1+B2+B3 = 1/Z1 + 1/Z2 + 1/Z3 = 1/17ej0 + 1/11,76e-j90 + 1/35,88ej90 = 0,05882 - j0,08503 + j0,02787 = 0,05882 - j0,05716 = 0,082e-j44

Подставляем числовые значения и находим значение потенциала.

= 10,85ej5 / 0,082e-j44 = 132,317e49 = 82,80 + 99,86

По составленным вначале уравнениям находим искомые токи в вевтях.

= ( - (82,80 + 99,86) + 159,4 - j13,94)/17 = (72,6 - j113,8)/17 = 4,2705 - j6,6941

= (82,80 + 99,86)/11,76ej90 = 132,317ej49/11,76ej90 = 11,2514e-j41 = 8,4914 - j7,38095

= (- 82,80 - 99,86 + 65,45 - 51,56)/(-35,88) = (- 22,35 - j151,42)/(-35,88) = 152,9177e-j48/35,88e-j90 = 4,2619e-j8 = 4,213 - j0,59

г) Метод наложения (МН)

Z1 = R1 = 17 Ом

Z2 = jXL2 = j11,76 Ом

Z3 = j(XL3 - XC3) = - j35,88 Ом

= 160* = 159,4 - j13,94

=+ = 56,51 + j4,944 + 4,944 - j56,51 = 65,45 - j51,56 = 83,319 e-j38

Удалим источники э.д.с. из ветви 3 и подсчитаем получившиеся токи.

Т.к. сопротивления Z2 и Z3 соединены параллельно для упрощения дальнейших расчетов будем их принимать как одно

Z23.

Z23 = Z2*Z3/(Z2+Z3) = (11,76ej90 * 35,88e-j90)/(j11,76 - j35,88) = 421,9488ej0/24,12e-j90 = 17,49373ej90 = j17,49373

Найдём токи , ,

(Z1 + Z23) =

= /(Z1 + Z23)= / (17 + j17,49373) = 160e-j5/24,393248ej46 = 6,55919e-j51 = 4,1442 - j5,0845

U23 = * Z23 = 6,55919e-j51 * 17,49373ej90 = 114,744698ej39 = 88,9468 + j72,4978

= U23/Z2 = 114,744698ej39/11,76ej90 = 9,7572e-j51 = 6,16477 - j7,5635

= U23/Z3 = 114,744698ej39/35,88e-j90 = 3,198ej129 = - 2,01256 + j2,4853

2) Для 2 варианта удалим э.д.с. из ветви 1 и найдём токи.



Так же как и в первой схеме найдем общее сопротивление для ветвей содержащей Z1 и Z2

Z12

Z12 = Z1*Z2/(Z1+Z2) = (17ej0 * 11,76 ej90)/(17 + j11,76) = 199,92ej90/20,67117ej34,67 = 9,671144ej55,33 = 5,50215 + j7,9538

Найдём токи , ,

(Z3 + Z12) =

= / (-j35,88 + 5,50215 + j7,9538) = 83,319e-j38/28,48269e-j78,8 = 2,9252ej40,8 = 2,22 + j1,9049

U12 = * Z12 = 2,9252ej40,8 * 9,671144ej55,33 = 28,291ej95 = - 2,9364 + j28,13848

= U12/Z1 = 28,291ej95/17ej0 = 1,66417ej95 = - 0,1727 + j1,65788

= U12/Z2 = 28,291ej95/11,76ej90 = 2,4056ej5 = 2,3965 + j0,2096

Найдя токи двумя способами просуммируем их чтобы получить искомые токи.

= - = 4,1442 - j5,0845 + 0,1727 - j1,65788 = 4,2892 - j6,74238

= + = 6,16477 - j7,5635 + 2,3965 - j0,2096 = 8,56127 - j7,3539

= -+ = - ( - 2,01256 + j2,4853) + 2,22 + 1,9049 = 4,23256 - j 0,5804

д) Метод эквивалентного генератора (МЭГ)

Z1 = R1 = 17 Ом

Z2 = jXL2 = j11,76 Ом

Z3 = j(XL3 - XC3) = - j35,88 Ом

= 160* = 159,4 - j13,94

=+ = 56,51 + j4,944 + 4,944 - j56,51 = 65,45 - j51,56 = 83,319 e-j38

Преобразуем нашу схему. Удалив одну ветвь и возьмём за эквивалентный генератор оставшуюся часть цепи.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Размещено на http://www.allbest.ru/

(Z1+Z3) = -

= (- )/(Z1+Z3)

(Z1+Z3) = 17 - j35,88 = 39,7e-j64,6

- = 159,4 - j13,94 - 65,45 + j51,56 = 93,95 + j37,62= 101,2021ej21,8

= (- )/(Z1+Z3) = 101,2021ej21,8 / 39,7e-j64,6 = 2,54893e86,4

Получив ток найдём Uxx

Uxx = - Z1 = - 2,54893e86,4 * 17ej0 = - 43,331ej86,4 = 159,4 - j13,94 - 2,667419 + 43,2497 = 156,73 - j57,193 = 166,839e-j20

Eг = Uxx

Так же найдём Zг = Zвх

Zг = (Z1*Z3)/(Z1+Z3) = (17ej0 * 35,88e-j90)/(17 - j35,88) = 609,96e-j90 / 39,7035e-j64,6 = 13,883 - j6,577

Имея напряжение холостого хода и входное сопротивление подсчитаем ток в выделенной цепи.

= Eг/(Z2 + Zг) = 166,839e-j20 / (j11,76 + 13,883 - j6,577) = 166,839e-j20/ = 8,55847 - j7,31481 A

Результат сходиться с данными полученными другими методами, значит решение верно.

3) Сравнительная таблица результатов.

Метод
Кирхгофа	4,2709 - j6,775	8,4909 - j7,36557	4,22 - j0,59
МКТ	4,2701 - j6,73207	8,4901 - j7,32207	4,23 - j0,59
МУП	4,2705 - j6,6941	8,4914 - j7,38095	4,213 - j0,58
МН	4,2892 - j6,74238	8,56127 - j7,3539	4,23256 - j 0,5804
МЭГ	-	8,55847 - j7,31481	-

4) Определить показания ваттметра с помощью

Размещено на http://www.allbest.ru/

a) P = * cos

Найдём мощность по данным взятым из Метода Контурных Токов и Метода Эквивалентного генератора.

= 156,73 - j57,193 = 166,839e-j20

= 4,2701 - j6,73207 = 7,972 e-j57,6

т.к. ваттметр подключен к ветви содержащей активное сопротивление, то ток совпадает с напряжением следовательно = 0

P = * cos= 166,839e-j20 * 7,972 e-j57,6 cos 0 = 1330,053e-j77,6 = 284,2254 - j1299,3371604 Вт

б) P = Re *

Re * = 284,2254 Вт

Размещено на Allbest.ru