Основы теории цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Разложить напряжение в ряд Фурье до 5-й гармоники включительно, используя табличные разложения приведенные в учебниках, и пояснения, которые даны в указаниях к данной задаче.

2. Обозначив сопротивления элементов схемы в общем виде как , вывести формулу для комплексной амплитуды напряжения на нагрузке через комплексную амплитуду входного напряжения , полученное выражение пригодно для всех гармоник, только под и следует принимать сопротивления для соответствующей гармоники.

3. Используя формулу п. 2, определить комплексную амплитуду напряжения на выходе (на нагрузке) для 0, 1, 3-й гармоник ряда Фурье.

4. Подсчитать активную, реактивную и полную мощность источника несинусоидального напряжения для 0, 1, 3-ей гармоник, для чего предварительно рассчитать соответствующие гармоники входного тока.

5. Записать мгновенное значение напряжения на нагрузке в виде ряда Фурье.

6. Построить друг под другом линейчатые спектры входного и выходного напряжений.

7. Определить значения граничных частот полосы прозрачности фильтра (частот среза). Построить зависимость характеристического сопротивления , затухания , и сдвиг по фазе в функции частоты .

8. На вход фильтра подать первую гармонику напряжения . Определить коэффициент постоянной передачи , характеристического сопротивления . Найти напряжения и токи во всех ветвях в схеме. По полученным данным построить векторную диаграмму напряжений, совмещенную с токами.

Исходные данные и схема

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследуемая схема

L = 17.4 мГн

C = 0.87 мкФ

Т = 1.45 мс

Um = 51.1 В

RH = 185 Ом

Размещено на http://www.allbest.ru/

График напряжения .

Задание 1

Теоретические сведения:

Ряд Фурье -- это тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте .

Как известно из курса математики, всякая периодическая функция с периодом T, удовлетворяющая условиям Дирихле т.е. ограниченная функция, имеющая за период конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов. В радиотехнике все функции сигналов удовлетворяют условиям Дирихле. Поэтому производить проверку на выполнение условий Дирихле не требуется. , может быть разложена в ряд Фурье (тригонометрический ряд). Разложение периодической функции в тригонометрический ряд можно записать в двух формах:

Где коэффициенты ряда (1) равны:

Переход от первой формы ряда (1) ко второй форме ряда осуществляется с помощью формул:

а обратный переход:

Тригонометрическую форму ряда Фурье можно преобразовать в комплексную:

где комплексный коэффициент

Представленный в задании сигнал напряжения обладает свойством симметрии. Это свойство позволяет значительно упростить разложение функции напряжения в ряд Фурье:

1) Функция смещена относительно оси ординат. Поэтому амплитуда сигнала относительно оси абсцисс будет равна . Преобразуем сигнал к табличному виду Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники . - М.: Высшая школа, 1984,- стр. 182. (Рис.3).

2) Несмещенная функция на рисунке 3 симметрична относительно оси абсцисс при смещении на полу период, следовательно в ее разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники.

3) Несмещенная функция симметрична относительно начала координат, следовательно, ее разложение будет содержать только синусные составляющие.

Произведем разложение функции в тригонометрический ряд используя табличные разложения При разложении ряда использована таблица 7.1 из учебника Л.А. Бессонова (стр. 182):

Итак, запишем наш ряд:

Следуя заданию, найдем амплитуды первых пяти гармоник:

Теперь запишем окончательный ответ, восстановив функцию к виду на рис. 2:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 2

Сначала перерисуем схему (рис. 4) с учетом того, что:

Для вывода формулы для комплексной амплитуды напряжения на нагрузке через комплексную амплитуду входного напряжения , будем использовать А параметры:

Далее, используя режимы холостого хода и короткого замыкания, вычислим все параметры:

1) Найдем А параметр при холостом ходе на зажимах 2-2` () (рис. 4)

2) Для определения коэффициента B предварительно найдем ток в режиме короткого замыкания зажимов 2-2` (рис. 5). Затем при этом же режиме найдем B коэффициент.

3) Определим коэффициент C при холостом ходе на зажимах 2-2` ():

4) Найдем коэффициент D при замыкании накоротко зажимов 2-2` ()

Следуя методическому указанию Коценельсон. «Методические указания» - стр.59 :

Размещено на http://www.allbest.ru/

Данная формула выведена для комплексной амплитуды напряжения на нагрузке через комплексную амплитуду входного напряжения . Полученное выражение пригодно для каждой гармоники

Задание 3

Чтобы определить комплексную амплитуду напряжения на выходе для 0, 1, 3 гармоник, воспользуемся формулой, выведенной в задании 2:

где n - номер гармоники. В нашем случае n = {0, 1, 3}

Теперь, подставляя гармоники в формулу, получим Вычисления производились в пакете Matematica 5.0, что:

Ответ:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 4

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для определения активной, реактивной, и полной мощности источника несинусоидального напряжения для 0, 1, 3 гармоник, найдем входное сопротивление. Для этого преобразуем исходную схему:

Теперь определим формулу, для нахождения сопротивлений при указанных гармониках:

Теперь определим сопротивления для каждой из гармоник:

Рассчитаем гармоники входного тока:

Итак, теперь найдем мощности по следующим формулам:

ь Активная мощность

Размещено на http://www.allbest.ru/

ь Реактивная мощность

Размещено на http://www.allbest.ru/

ь Полная мощность

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 5

Для нахождения значения напряжения на нагрузке воспользуемся методом комплексных амплитуд. Для постоянной составляющей напряжения на нагрузке, используя схему замещения, получим следующее значение напряжения .

Воспользуемся также данными, полученными в задании 3.

Напряжение на нагрузке в виде ряда Фурье запишется в следующем виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 6

Теоретические сведения Фриск В.В. Основы теории цепей . - М.: РадиоСофт, 2002,- стр. 162.

Совокупность гармонических составляющих, на которые раскладываются сигнал называется спектром. Спектр состоит из постоянной составляющей и гармонических составляющих, частоты которых образуют дискретный ряд значений Чтобы получить наглядное представление о спектре, строят так называемую спектральную диаграмму. Различают амплитудные и фазовые спектры. Их строят в виде ряда отрезков линий, длины которых пропорциональны амплитудам гармоник. Расположение этих отрезков на частотной оси определяется частотами спектральных составляющих.

Задание 7

1) Определение граничных частот полосы прозрачности фильтра.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рисунке 7 изображен k-фильтр нижних частот (произведение дает постоянное число k). В дальнейшем будем считать, что фильтр нагружен на согласованную нагрузку. Теперь мы можем определить полосу прозрачности нашего фильтра:

напряжение ряд фурье фильтр

2) Определение характеристических постоянных

Ш Характеристическая постоянная ослабления :

В п/п: В п/з:

Ш Характеристическая постоянная фазы :

В п/з: В п/п:

Зависимость характеристических постоянных от частоты изображена на рисунке 8.

3) Определение характеристического сопротивления.

Так как дан фильтр нижних частот:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Следовательно, нагрузка к фильтру подключена согласованно.

Сопротивление, удовлетворяющее согласованию нагрузки либо согласованному включению называется, характеристическим сопротивлением четырехполюсника.

4) Построим зависимость характеристического сопротивления от частоты:

Для того, чтобы определить, индуктивный или емкостный характер имеет в полосе затухания , следует определить характер входного сопротивления этого фильтра для предельного режима. Для нашего фильтра определим, что характеристическое сопротивление в полосе затухания носит индуктивный характер (со стороны входа индуктивность).

Задание 8

Произведем расчет цепи, полагая, что на вход четырехполюсника подана 1 гармоника напряжения .

Определим значение постоянной передачи:

Для расчета цепи воспользуемся методом контурных токов. Обозначим все токи в схеме и выделим контурные токи. Нарисуем дерево графа (рис. 10). Из него видно, что необходимо составить два уравнения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исходная система уравнений примет вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теперь найдем напряжения на всех элементах цепи:

На основе полученных данных построим векторную диаграмму токов и напряжений.

Список используемой литературы

ь Конспект лекций по Основам Теории Цепей.

ь Атабеков Г.И.

Теоретические основы электротехники. Литейные электрические цепи. - М.: Энергия. 1978. -592 с.

ь Бессонов Л.А.

Теоретические основы электротехники . - М.: Высшая школа, 1978,-528 с.

ь Попов В. П.

Основы теории цепей.-М : Высшая школа, 1985.-496 с.

ь Шебес М.Р.

Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах.-М.: Высшая школа, 1973, - 655 с.

ь Схемопостроитель 2003 (ver. 2.3)

ь MS PaintXP

ь Graphical Analysist 3.1

ь Microsoft Word 2000

ь Mathematica 5

Размещено на Allbest.ru