Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

по курсу «Электротехника»

«Метод интеграла Дюамеля»

Выполнил студент гр. МП-38

Музыченко М.Ю

Проверил Сапожников Б.И

Определение интеграла Дюамеля

Пусть нам надо решить следующую задачу- вычислить напряжение на выходе u2(t) некоторой линейной системы с переходной характеристикой a(t) на заданный входной сигнал u1(t) в заданный момент времени t. Введем текущее время q. Заменим сигнал u1(q) его ступенчатым приближением, как это показано на рисунке снизу c некоторым фиксированным шагом dq (на рисунке он равен 1, но может быть произвольным).

Начальное значение u1(q) создает выходной сигнал u1(q)*a0). Если в момент времени (q+dq) возникает скачок входного сигнала, то его значение можно вычислить как (du1/dq)*dq. Выходной сигнал можно вычислить, умножив значение этого скачка на значение переходной характеристики, определяемое с учетом времени действия скачка до момента времени t. Это время равно t-q-dq. Просуммировав реакции системы от u1(0) и всех скачков получим приближенную формулу для зависимости

Если устремить dq к нулю (число ступенек при этом будет бесконечным), то эта формула переходит в выражение:

Оно называется интегралом Дюамеля. Вообще говоря можно получить еще три подобные формулы

Мы ограничимся первой из приведенных формул интеграла Дюамеля.

Реакция дифференцирующей RC-цепи на экспоненциально нарастающий перепад

Для примера возьмем тривиальный случай, когда сигнал u1(t) экспоненциальный перепад, а переходная характеристика - спадающая экспонента

Немного усложним задачу и вычислим реакцию дифференцирующей RC-цепи на синусоидальный сигнал с экспоненциально спадающей амплитудой

Выражение для u2(t) по-прежнему получено в аналитическом виде, однако его уже нельзя назвать простым, и оно представлено комплексным выражением.

Увы, такова жизнь при использовании аналитических методов. Функция Simplify позволяет заметно упростить выражение для u2(t) и сделать его вещественным, хотя и довольно сложным.

Пока это, однако, не мешает вычислениям и построению графиков зависимостей u2(t)

Реакция линейной системы на входное воздействие с разрывами

А теперь применим интеграл Дюамеля для вычисления u2(t) как реакции дифференцирующей RC-цепи на входное воздействие в виде разнополярных симметричных прямоугольных импульсов - зависимость u1(t) = Sign(Sin(t/t1)):

Увы, здесь нас постигла неудача - Mathematica 4 отказывается вычислять интеграл Дюамеля, в который входит функция u1(t) такого вида. И неудивительно - данная функция содержит разрывы, в которых производная в подынтегральной функции устремляется в бесконечность. Разумеется, можно вычислить u2(t) для любой части u1(t), где u1(t)= const, но нас интересует общее решение.

Приближенное вычисление интеграла Дюамеля

Увы, но в подобных приведенному выше случаях мы вынуждены отказываться от аналитического вычисления интегралов. И более того, от применения встроенных в Mathematica 4 функций численного интегрирования. Вы можете проверить самостоятельно, что применение функции NIntegrate в данном случае к успеху не приводит. К счастью у нас остается еще одна возможность - приближенное вычисление интеграла Дюамеля по формуле, которая является его обоснованием.

Пусть q принимает дискретные значения с шагом

Тогда для приближенного вычисления интеграла Дюамеля можно использовать формулу

Она позволяет вычислить u2(t) для любого момента времени и построить график зависимости u2(t)

Вычисление реакции интегрирующей RC-цепи на меандр

Приведем еще один пример приближенного вычисления интеграла Дюамеля - получение реакции интегрирующей RC-цепи (напряжение снимается с конденсатора C) на меандр

Для большей наглядности изобразим каждый график на отдельном рисунке:

Расчет реакции интегрирующей RC-цепи на прямоугольный импульс

Следующий пример иллюстрирует реакцию интегрирующей RC-цепи на прямоугольный импульс, временная зависимость которого задана с помощью функции If.

интеграл дюамель цепь

Для вычисления u2(t) воспользуемся приближенным (численным) методом вычисления интеграла Дюамеля

Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения

Подставив выражение для импульсной характеристики в интеграл наложения, получим

На основании фильтрующего свойства импульсной функции

Тогда

Таким образом

Решение задач

Сопротивление r и емкость С, соединенные последовательно, подключаются при t=0 к источнику э. д. с. в виде треугольного импульса (см рисунок ниже). Определить ток при t<2T.

Реакция цепи на единичную функцию равна

Воспользуемся формулой

:

Проинтегрировав, получим ток после окончания действия импульса, т. е. для t<2T

.

Задача 2.

Сопротивление r и индуктивность L, соединенные последовательно, подключают при t= 0 к источнику ступенчатой э. д. с., (показанной на рисунке ниже). Определить ток при и .

Так как решение проще всего находится методом наложения, сначала решим этим методом, затем для сравнения методом интеграла Дюамеля. Суммируем реакции на две единичные ступени напряжения, одна из которых запаздывает на ; при вычитается реакция цепи на удвоенную ступень напряжения, смещенную в сторону запаздывания на .

Итак, при

.

При .

Теперь решим эту же задачу с использованием интеграла Дюамеля, а именно формул(1)

,

где - некоторый оригинал функции , где - операторное сопротивление цепи; (2)

Изображение реакции цепи на импульсную функцию равно:

.

Следовательно, , .

При .

При .

По второй формуле (2) реакция цепи на единичную функцию равна

Следовательно, , ,

Т. е. Получаются те же интегралы, которые были вычислены выше.

Выводы по применению интеграла Дюамеля

1. Интеграл Дюамеля дает простой и наглядный способ вычисления реакции u2(t) линейной системы (цепи) на произвольное входное воздействие u1(t) при известной переходной характеристике a(t) цепи.

2. Если u1(t) и a(t) представлены аналитическими выражениями, содержащими элементарные функции, и не имеющими особенностей на отрезке [0,t], то средствами Mathematica 4 можно вычислить u2(t) в аналитическом виде. Для упрощения выражения для u2(t) можно использовать функцию Simplify.

3. Если u1(t) или a(t) содержит особенности (разрывы, устремления в бесконечность и др.), то получение аналитического выражения для u2(t) может стать невозможным и в этом случае целесообразно применять приближенную формулу для интеграла Дюамеля. Недостаток такого подхода - вычисления происходят с довольно низкой скоростью.

4. Метод интеграла Дюамеля целесообразно применять в тех случаях, когда известна или легко находится реакция на единичную функцию, а воздействующая функция имеет кусочно-аналитическую форму.

Литература

Атабеков Г.И. Основы теории цепей.-М.: Энергия , 1969.

«Help» к пакету Mathematica 4

Теория линейных электрических цепей. Учеб. Пособие для радиотехнических специальностей вузов / Афанасьев Б.П., Гольдин О.Е. и др. М.: Высш. Шк., 1973.

Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. - Л.: Энергия, 1972.

Попов В.П. Основы теории цепей. - М.: Высш. Шк., 1985.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Изд.6-е.-М.: Высш. Шк., 1973.

Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. - М.: Высш. Шк., 1987.

Размещено на Allbest.ru