Исследование движения механической системы с одной степенью свободы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по разделу «Динамика»

Тема: «Исследование движения механической системы с одной степенью свободы»

Аннотация

В работе проведено исследование движения машины с кривошипно-кулисным приводом. Получено дифференциальное уравнение движения данной машины с помощью уравнения Лагранжа второго рода. Далее составлено дифференциальное уравнение для определения окружного усилия в точке К. Построен алгоритм вычислений.

С помощью ЭВМ проинтегрировано полученное дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях.

Оглавление

1. Динамический расчет машины с кулисным приводом

1.1 Составление дифференциального уравнения движения машины

1.2 Определение окружного усилия в точке К

1.3 Построение алгоритма вычислений

Вывод и анализ результатов

Литература

1. Динамический расчет машины с кулисным приводом

Описание системы и условий расчета

Схема машины с кривошипно-кулисным приводом приведена на рис. 1.1. Со стороны электромотора к маховику 1 приложен вращающий момент Движение от маховика 1 передается на каток 3 посредством кулисы 2, имеющей горизонтальные направляющие. Далее каток 3 передает движение ползуну 4. Полезная нагрузка моделируется силой , приложенной к ползуну. Механизм расположен в вертикальной плоскости. Сопротивлением движению пренебрегаем. Элементы конструкции машины считаем абсолютно твердыми. Трение в подшипниках не учитываем. Ползуны скользят по направляющим без трения. Проскальзывание между телами 2 - 3 и 3 - 4 отсутствует. Каток 3 катится без скольжения.

Рис. 2.1.

Задание на расчет.

1. Составить дифференциальное уравнение движения машины методом уравнений Лагранжа второго рода.

2. Определить окружное усилие в точке К.

3. Построить алгоритм вычислений.

4. Проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение движения при заданных начальных с помощью ЭВМ.

Для расчета принять:

M₀=112 Н*м

k=3,7Н*м*с

µ₁=246

I₁=2 кг*м²

m₂=14кг

m₃=24 кг

m₄=12 кг

OA=r₁=0,06 м

R₁=0,36 м

R₃=0,16 м

r₃=0,12 м

p₃=0,14 м

ц₁(0)=0

₁(0)=0

1.1 Составление дифференциального уравнения движения машины

машина движение дифференциальное уравнение

Рассматриваемая механическая система при принятых условиях расчета имеет одну степень свободы. Примем за обобщенную координату угол поворота маховика . За положительное направление отсчета обобщенной координаты примем направление, противоположное движению часовой стрелки (рис.2.2).

Запишем уравнение Лагранжа второго рода

 (2.1)

где T- кинетическая энергия машины;

- обобщенная скорость;

- обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате

Вычислим кинетическую энергию машины как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав, т. е.

Кинетическая энергия маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси,

Кинетическая энергия поступательно движущейся кулисы

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение,

где - момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс.

Кинетическая энергия ползуна 4, совершающего поступательное движение,

Таким образом, кинетическая энергия машины

(2.2)

Выразим линейные и угловую скорости через обобщенную координату и обобщенную скорость . Очевидно, что Координата центра масс кулисы (рис.2.2)

(2.3)

откуда

(2.4)

Так как точка Р₃ является мгновенным центром скоростей катка, то

(2.5)

(2.6)

Ползун 4 совершает поступательное движение, поэтому

(2.7)

Подставляя формулы (2.4) - (2.7) в выражение (2.2), получаем

Назовем приведенным моментом инерции величину

Тогда кинетическую энергию машины можно записать в виде

(2.8)

Заметим, что приведенный момент инерции является функцией обобщенной координаты

Вычислим производные от кинетической энергии (2.8), входящие в уравнение (2.1):

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Вычислим обобщенную силу . Изобразим на расчетной схеме (рис 2.3) задаваемые силы и моменты:. Связи, наложенные на систему, являются идеальными, поэтому их реакции не показаны на расчетной схеме. Сообщим маховику возможное перемещение в направлении возрастания обобщенной координаты.

Вычислим сумму элементарных работ задаваемых сил на возможных перемещениях точек их приложения:

Выражая в последнем соотношении скалярные произведения через проекции векторов, получаем

Выразим величину через вариацию обобщенной координаты. Имеем

(2.13)

Подставим соотношение (2.13) в формулу (2.12):

Коэффициент при в правой части последней формулы есть, по определению, обобщенная сила

Перепишем последнее равенство с учетом выражений и , а же формулы (2.7):

(2.14)

Заметим, что обобщенная сила является функцией обобщенной координаты и обобщенной скорости, т. е.

Подставляя формулы (2.9) и (2.10) в уравнение Лагранжа второго рода (2.1), имеем

Окончательно получаем дифференциальное уравнение движения машины в виде

1.2 Определение окружного усилия в точке К

Для определения окружного усилия в точке К составим дифференциальное уравнение поступательного движения ползуна 4:

Расчетная схема изображена на рис. 2.4. На ней показаны силы, действующие на ползун 4: полезная нагрузка , сила тяжести ,реакция направляющих ползуна и составляющие силы, с которой каток 3 действует на ползун 4, - нормальная и окружная силы, которые обозначены через

Дифференциальное уравнение поступательного движения ползуна 4 имеет вид:

Отсюда

так как то

1.3 Построение алгоритма вычислений

Исходные данные:

Постоянная величина, вычисляемая в программе:

Задание начальных значений угла поворота и угловой скорости:

Цикл по времени от t = 0 до t = с шагом

Расчет в текущей точке t:

Определение движения

,

Определение реакции связи:

Конец вычислений в текущей точке; печать t, и S.

Подготовка к расчету в следующей точке:

Значение угла поворота и угловой скорости

.

Новое значение времени

Проверка условия окончания цикла: переход к пункту 5, если, иначе - к пункту 4.1.

Конец вычислений.

Вывод и анализ результатов

В работе мы исследовали движение машины с кривошипно-кулисным приводом. Получили дифференциальное уравнение движения данной машины с помощью уравнения Лагранжа второго рода.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Время неустановившегося движения машины невелико и составляет около 2 с.

2. В установившемся режиме движение маховика близко к равномерному вращению, угловая скорость которого порядка 25 рад/с.

Литература

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учеб.: т.2. Динамика.-2-е изд. -М.: Наука, 1979. -544 с.

2. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных сотрудников и инженеров. -М.: Наука, 1984. -831 с.

3. Новожилов В. В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической механике на базе ЭВМ: Учеб. Пособие для втузов. -М.: Высш. шк., 1986. -136 с.

Размещено на Allbest.ru