Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Единой мерой различных форм движения и взаимодействия всех видов материи является энергия. Различным видам движения и взаимодействия материи, соответствуют различные виды энергии: механическая, тепловая, химическая, электро-магнитная, атомная.

Прямолинейное движение тела под действием силы, направленной под углом к перемещению

Простейшей форме движения - механической, соответствует механическая энергия. Она характеризует способность тела или системы тел совершать работу и измеряется количеством работы, которую при определенных (заданных) условиях может совершить система. Например, катящийся шар, сталкиваясь с некоторым телом, перемещает его, т.е. совершает работу. Растянутая пружина, сокращаясь после устранения деформирующей силы, совершает работу по перемещению своих частей (витков). Следовательно, катящийся шар и растянутая пружина обладают механической энергией. Процесс изменения механической энергии тела под действием силы называется процессом совершения работы. Приращение энергии тела в этом процессе называется работой силы, отсюда следует общее соотношение, связывающее работу и изменение энергии

А=Е₂-Е₁,

где: А - совершаемая работа, Е₁ и Е₂ - энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Сила, приложенная к телу, совершает работу, если тело перемещается. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила, направленная под углом к перемещению, то работа равна скалярному произведению векторов перемещения и силы (рис. 2.6) , где - касательная составляющая силы, т.е. проекция на .

Криволинейное движение под действием переменной силы

Если же сила переменна по величине и по направлению или перемещение не прямолинейно, то траекторию движения разбивают на малые участки dS - так, чтобы участок можно было бы считать прямолинейным и силу, действующей на нем - постоянной (рис. 2.7). Тогда работа на этом участке , а работа на всем пути равна сумме всех элементарных работ . При . Для вычисления такого интеграла надо знать зависимость от S. Если эту зависимость представить графически (рис. 2.8), тогда работа силы по перемещению из S₁ в S₂ численно равна площади заштрихованной фигуры, ограниченной кривой F(S), координатной осью S и двумя вертикальными прямыми S₁ и S₂. Сила не совершает работу (А=0), если r=0 или. Если , то А0; если , то А0. При одновременном действии на тело нескольких сил, работа равна алгебраической сумме работ составляющих сил .

Графическое изображение работы

Сила F называется консервативной, если совершаемая ею работа не зависит от формы траектории, а зависит от начального и конечного положений точки (тела). На рис. 2.9. изображены две различные траектории движения тела под действием некоторой консервативной силы. Работа, совершаемая данной силой на пути 1а2 равна А_1а2. Работа, совершаемая на пути 2а1, будет отрицательной и А_1а2 = - А_2а1. Поскольку совершаемая работа не зависит от формы траектории, мы можем записать: , или , где - означает интегрирование вдоль замкнутой траектории или интеграл по контуру. Отсюда следует важное свойство консервативных сил - при перемещении материальной точки (тела) вдоль замкнутой траектории работа консервативной силы тождественно равна нулю. Сила всемирного тяготения, сила упругости - консервативные силы. Силы, неудовлетворяющие этому условию называют неконсервативными или диссипативными. Примером таких сил служат силы трения.

Возможные траектории движения тела под действием консервативной силы

упругий тело сила абсолютный

Для характеристики скорости совершения работы вводится понятие мощности. Мощностью, развиваемой силой , называется скалярная физическая величина, численно равная работе, совершаемой этой силой за единицу времени

Кинетическая и потенциальная энергии.

Полная механическая энергия Е_м складывается из кинетической Е_к и потенциальной Е_п энергий Е_м = Е_к + Е_п.

Кинетическая энергия Е_к - это энергия движущегося тела, она равна работе, которую могло бы совершать тело при торможении до полной остановки Е_к=А_тор. Соответственно, эта работа численно равна работе внешней силы по увеличению скорости тела от 0 до т.е. Е_к=А_{разгона}. Рассчитаем эту работу, учитывая, что работа внешней силы F над телом на малом участке перемещения dr равна (здесь использован второй закон Ньютона, соотношение и законы дифференцирования)

.

Так как по определению , то получаем .

Зависимость потенциальной энергии тела от расстояния до поверхности Земли

Если система состоит из n движущихся точек (тел), то ее полная кинетическая энергия равна . Если система обладает только кинетической энергией, то изменение кинетической энергии тела равно работе сил, действовавших на тело во время движения .

Потенциальная энергия Е_п - это энергия взаимодействия тел системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия - величина, зависящая от выбора начального положения, при котором Е_п=0, т.е. она величина относительная. Если работу совершают консервативные силы, то происходит изменение Е_п системы на величину . Конкретный вид зависимости Е_п от расположения тел системы связан с характером сил взаимодействия тел.

Рассмотрим два примера:

1). Определим Е_п тела, поднятого над землей т.е. энергию взаимодействия этого тела с планетой Земля. Известно, что на тело действует консервативная сила тяжести, при небольших высотах h она мало меняется и считается по формуле P = mg. При падении тела сила тяжести совершает работу A=mgh, при этом потенциальная энергия тела уменьшается ровно на эту величину. Если Е_п1 - потенциальная энергия тела, поднятого над землей, а Е_п2 - потенциальная энергия тела на поверхности земли, которую принято считать равной нулю, то из связи работы и изменения энергии, получим . График зависимости Е_п от h представлен на рис. 2.10. Ясно, что Е_п10 при h0, т.е. над землей и Е_п20 при h0, т.е. ниже уровня земли.

Зависимость потенциальной энергии упруго сжатой пружины от величины деформации

2). Определим потенциальную энергию упруго деформированной пружины. Из экспериментов известно, что при сжатии (растяжении) пружины в ней возникает сила упругости . Знак минус показывает, что сила упругости направлена в сторону противоположную деформации. Работа этой силы затрачивается на увеличение потенциальной энергии пружины т.е. A=E_п= Е_п2 - Е_п1. Так как dA=Fdx=kxdx, то (Е_п недеформированной пружины считается равной нулю).

Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы. Так как работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии, то или . Высшая математика позволяет выразить малое изменение любой функции (дифференциал функции) через частные производные от этой функции по ее аргументам. Конкретно для дифференциала потенциальной энергии, зависящей от координат, можно получить . Если подставить это выражение в , то после записи левой части через проекции силы на оси координат, получим

.

Это выражение должно быть справедливо при любых малых перемещениях dx, dy, dz, что может быть только тогда, когда выполняются соотношения

.

В результате получаем связь между Е_п и F, в векторной форме ее записывают сокращенно в виде

,

где используют математический символ для вектора, который называется градиентом скалярной величины Е_п и обозначается grad (Е_п)

.

Закон сохранения и превращения энергии в механике.

В 1748 г. М.В. Ломоносов сформулировал закон сохранения материи и движения. Через 100 лет Р. Майер и Г. Гельмгольц дали количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии.

В замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела другому, но общее количество энергии остается неизменным. В природе и технике постоянно имеют место превращения одних видов энергии в другие. Например, в электродвигателях электрическая энергия переходит в механическую, в ядерном реакторе ядерная энергия переходит в тепловую, затем в механическую и электромагнитную, при фотоэффекте - электромагнитная в электрическую и т.д. Однако следует иметь в виду, что одновременно может происходить несколько типов превращений энергии, например, обычно некоторая часть энергии непременно превращается во внутреннюю (тепловую) энергию вещества (в энергию теплового движения молекул). Но всегда общий запас энергии системы в любой момент времени остается неизменным. Закон сохранения и взаимопревращения энергии является всеобщим законом природы, не имеющим исключений; если он как бы нарушается в эксперименте, значит что-то не учтено.

Закон сохранения механической энергии формулируется следующим образом: Если в замкнутой системе действуют консервативные силы, то механическая энергия не переходит в другие виды и остается постоянной во времени (при этом возможен переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот) .

Продемонстрируем действие этого закона на примере свободного падения тела.

Используемые в примере, направления для координат, скорости и ускорения свободного падения

Пример: Пусть тело массой m начинает падать вниз с высоты h.

Рассчитаем его механическую энергию в различные моменты времени. В начальный момент времени, в верхней точке его механическая энергия равна mgh (Е_к =0 так как начальная скорость равна нулю).

Если не учитывать силы трения о воздух, то в любой следующий момент времени t координату и скорость тела можно рассчитать с помощью законов кинематики для равноускоренного движения с ускорением свободного падения g (см. рис. 2.12): z = h - gt²/2, v = - gt.

Механическая энергия в этот момент времени будет равна

Е_м = Е_п + Е_к = mgz + mv²/2 = mg (h - gt²/2) + m(gt)²/2 = mgh,

т.е. равна энергии в начальный момент времени. Отсюда видно, что механическая энергия не меняется со временем. Если же рассматривать и действие сил трения, то окажется, что механическая энергия тела при движении уменьшается. Это объясняется частичным превращением ее во внутреннюю (тепловую) энергию воздуха и самого тела.

Удар абсолютно упругих и неупругих тел является примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении физической задачи.

Удар (или соударение) - это столкновение двух или более тел, взаимодействующих очень короткое время. Кроме ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или игровых шаров) сюда можно отнести и такие, как столкновение человека с землей при прыжке с парашюта и пр. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами столь велики, что мы можем пренебречь прочими внешними силами, действующими на них. Это позволяет приближенно рассматривать систему тел в процессе их соударения как замкнутую и применять к ней законы сохранения.

При ударе тела испытывают деформацию. Понятие удара подразумевает, что кинетическая энергия относительного движения ударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Опыты показывают, что относительная скорость тел после соударения не достигает своего значения до соударения. Это объясняется тем, что не бывает идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальной составляющей относительной скорости тел после удара к нормальной составляющей относительной скорости тел до удара называется коэффициентом восстановления е: е = н_n'/н_n.

Если для соударяющихся тел е=0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если е=1 - абсолютно упругими. На практике для всех тел 0<е<1 (например, для шаров из слоновой кости е=0,89; для стальных шаров е=0,56, для свинца е?0). Но в некоторых случаях тела можно с большой степенью точности рассматривать либо как абсолютно неупругие, либо как абсолютно упругие.

Линией удара называется прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и перпендикулярная к поверхности их соприкосновения. Удар называется центральным, если соударяющиеся тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через центры их масс. Здесь мы рассматриваем только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар - соударение двух тел, в результате которого в обоих участвующих в столкновении телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия тел до удара после удара снова превращается в первоначальную кинетическую энергию (отметим, что это идеализированный случай). (рис. 1)

Рис. 1 Рис. 2

Абсолютно неупругий удар - соударение двух тел, в результате которого тела соединяются, двигаясь дальше как единое целое. Абсолютно неупругий удар можно продемонстрировать с помощью шаров из пластилина (глины), которые движутся навстречу друг другу (рис. 2). Определим, как изменяется кине-тическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие от их скоростей, а не от самих деформаций, то мы имеем дело с диссипативными силами, подобным силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии в этом случае не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит уменьшение кинетической энергии, которая переходит в тепловую или другие формы энергии.

Когда m₂>>m₁ (масса неподвижного тела очень велика), то н<<н₁ и практически вся кинетическая энергия тела переходит при ударе в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть значительно массивнее молота. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молота должна быть гораздо большей (m₁>>m₂), тогда н?н₁ и почти вся энергия тратится на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар - это пример потери механической энергии под действием диссипативных сил.

Размещено на Allbest.ru