Плоские волны

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Плоские волны

пространство вектор электрическое поле

В плоской волне всем точкам среды, лежащим в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, в каждый момент времени соответствуют одинаковые смещения и скорости частиц среды. Таким образом, все величины, характеризующие плоскую волну, являются функциями времени и только одной координаты, например, х, если ось Ох совпадает с направлением распространения волны.

Волновые поверхности или геометрические места точек среды, где в данный момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, для плоской волны представляют собой систему параллельных плоскостей (рис. 1).

Рисунок 1.

Рассмотрим безграничное трехмерное пространство с декартовой системой координат, в каждой точке которого задана некоторая величина А (физическая природа ее безразлична), которая во времени и в пространстве меняется по закону:

При этом говорят, что в пространстве существует монохроматическая плоская волна. Аргумент косинуса, называемый обычно фазой волны, является функцией времени t и пространственной координаты z. Если зафиксировать z , то величина A принимает те же самые значения через промежутки времени, кратные периоду

.

Если же фиксировано время, то величина A изменяется периодически вдоль оси z с периодом , называемым длиной волны. Легко видеть, что величины и связаны друг c другом:

Число служит важнейшей характеристикой волнового процесса и носит название постоянной распространения волны. Употребляются также термины фазовая постоянная и волновое число. Физический смысл величины состоит в том, что она указывает на сколько радиан изменяется фаза волны при прохождении одного метра пути.

Наличие двух возможных знаков в формуле связано с тем, что плоские волны могут распространяться в двух противоположных направлениях. Назовем поверхность, удовлетворяющую уравнению

,

волновым фронтом плоской волны. Очевидно, что в рассматриваемом случае волновые фронты представляют собой бесконечные плоскости, перпендикулярные оси z и перемещающиеся в пространстве со скоростью

Носящей название фазовой скорости. Поскольку время изменяется всегда лишь в одном направлении, уравнение

соответствует фронту волны, распространяющейся в направлении положительной оси z. Изменение знака в фазе волны ведет к изменению направления ее распространения.

Введем комплексные амплитуды плоских волн. Будем рассматривать волны, распространяющиеся в положительном направлении, а для волны, идущей в противоположную сторону.

Распространение волн в любой реальной среде неизбежно сопровождается уменьшением их амплитуды за счет тепловых потерь. Закон затухания легко найти из следующих соображений. Предположим, что в начальной плоскости z=0 амплитуда волны имеет исходную величину условно принимаемую за 100%. Положим далее, что при прохождении 1м пути амплитуда падает на 10%, то есть Легко сообразить, что и так далее.

Из элементарной алгебры известно, что именно таким свойством обладает показательная функция, т.е. в общем виде можно записать соотношение пропорциональности.

Задача 1

Определите комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны в металле с параметрами =6·10⁷ См/м, =1 на частотах 10 КГц и 1 МГц, если в заданной точке пространства комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля Н = 25 А/м. Построить амплитуды Е на указанных частотах в зависимости от проводимости в интервале 1 ? у ? 10⁸ См/м.

Выражение для комплексной амплитуды напряженности электрического поля:

Магнитного поля:

Е_о - амплитуда падающей волны;

- волновое сопротивление вакуума;

= 1203,14 = 376,8 Ом

Зная комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, выразим:

= H т₀ = 25376.84 = 37680

Графики:

2. Показатель преломления вещества -- величина, равная отношению фазовых скоростей света в вакууме и в данной среде.

n =

Показатель преломления зависит от свойств вещества и длины волны излучения. Для некоторых веществ показатель преломления достаточно сильно меняется при изменении частоты электромагнитных волн от низких частот до оптических и далее. Также может еще более резко меняться в определенных областях частотной шкалы. По умолчанию обычно имеется в виду оптический диапазон или диапазон, определяемый контекстом.

Показатель преломления можно представить как корень из произведения магнитной и диэлектрических проницаемостей среды

При распространении плоской электромагнитной волны в пространстве, представляющем собой области с различным значением параметров и границами раздела в виде плоскостей, возникают отраженные и преломленные волны.

Комплексные амплитуды этих волн связаны с комплексной амплитудой волны падающей волны коэффициентами отражения:

И коэффициентами преломления:

Эти коэффициенты могут быть представлены на основании граничных условий на плоскостях, разделяющих среды с различными значениями электродинамических параметров.

Угол падения, при котором отраженная волна на границе раздела двух немагнитных сред не возникает, называется углом Брюстера, значение которого можно найти из соотношения:

Задача 2

Найти вид поляризации преломленной волны для углов падения 20, 45, 60 и 80, если падающая на границу раздела между вакуумом и средой с показателем преломления n = 1,5 плоская электромагнитная волна имеет круговую поляризацию

Падающая волна круговой поляризации может быть представлена в виде:

Выделим комплексные амплитуды, параллельную и перпендикулярную к плоскости падения:

В нашем случае, первая среда - вакуум, а вторая - диэлектрик с показателем преломления n, соответственно эти среды имеют относительную диэлектрическую и магнитную проницаемости равные:

Для угла падения волн коэффициенты преломления соответствующей поляризации будут равны:

Для прошедшей во вторую среду комплексные амплитуды, параллельная и перпендикулярная к плоскости падения, равны:

Поскольку в нашем случае коэффициенты преломления T действительны, то прошедшая волна будет эллиптически поляризована с главными осями, направленными вдоль || и направлений и иметь коэффициент эллиптичности:

Вычислим коэффициенты для данных углов падения:

3. Прямоугольный волновод -- металлический волновод прямоугольной формы, способный поддерживать распространяющиеся вдоль него волны. Особенность волновода в том, что в нем существует нижний предел пропускаемых частот, то есть волны ниже определенной частоты затухают и не могут в нем распространяться.

Основные преимущества прямоугольного волновода являются: достаточно большая мощность передаваемого сигнала, почти полное отсутствие потерь на излучение энергии в окружающую среду.

Каждому набору значений индексов m и n соответствует свое распределение поля в волноводе, своя критическая длина волны . Минимальные значения индексов если m = 0, n = 0, но поля нет. Одновременно индексы не могут быть равны нулю, по частям возможно.

m = 0, 1, 2, 3 . . .

n = 0, 1, 2, 3 . . .

Индексы m и n определяет распределение поля по координатам х, у.

С учетом периодичности функции cos, число m имеет смысл - количество полуволн, укладывающихся вдоль а, n - число полуволн, укладывающихся вдоль b. В волноводе бесчисленное множество волн, но не все эти волны могут распространяться. Распространяются только те, которые удовлетворяют условию: <

- длина волны в волноводе.

зависит от размеров поперечного сечения а и b, и значения индексов m и n. Максимальная кр будет для индексов m = 1, n = 0, т.е. волны, у которой значения индексов минимальны.

Максимальной , обладает волна . У всех других волн критическая длина волны меньше, волну называют основной волной в волноводе. Она наиболее часто используется.

Для того, чтобы научится правильно изображать структуру полей Е-волн, следует придерживаться следующих положений:

волна обладает продольной составляющей E_z, линии векторов и взаимно перпендикулярны, магнитные силовые линии имеют вид замкнутых петель;

должны соблюдаться граничные условия у стенок волновода (E = 0), поэтому линии вектора напряженности электрического поля перпендикулярны стенкам волновода, тогда как магнитные силовые линии касательны к стенкам волновода;

что число m определяет число стоячих полуволн по ширине волновода (по оси х), а число n - число стоячих полуволн по длине волновода (по оси у).

Задача 3

Определить мощность, подводимую к антенне радиолокационной станции от передатчика с импульсной мощностью в непрерывном режиме ,

прямоугольных медных труб сечением ахb = 7,2х3,4 см и имеет КБВ = 0,7. Проверить, возможна ли передача указанной мощности по такому тракту.

Так как известна длина волны, найдем частоту:

Удельная проводимость меди (из справочника) :

Найдем коэффициент затухания по формуле:

3,138

Далее найдем коэффициент передачи волны по волноводу:

выразим из формулы для расчета КБВ и получим:

Для того, чтобы определить мощность, подводимую к антенне умножим коэффициент передачи на мощность передатчика:

Рассчитаем допустимую мощность передачи по данному тракту:

Отсюда сделаем вывод, что передача по данному тракту указанной мощности возможна.

4. Объемный резонатор представляет собой замкнутую полость, ограниченную металлическими стенками, внутри которой существуют электромагнитные колебания. Конфигурация объемного резонатора может быть любой, однако наибольшее практическое применение находят прямоугольный, цилиндрический, коаксиальный и квазистационарный тироидный объемные резонаторы.

Наиболее распространённым является цилиндрический объёмный резонатор Типы колебаний в цилиндрическом объёмном резонаторе характеризуют 3 индексами m, n, р, соответствующими числу полуволн электрического или магнитного поля, укладывающихся по его диаметру, окружности и длине (напримерили ). Тип колебания (Е или Н) и его индексы определяют структуру электрического и магнитного полей в резонаторе. Колебание цилиндрический объёмный резонатор обладает особым свойством: оно безразлично к наличию контакта цилиндрических и торцовых стенок. Магнитные силовые линии этого колебания направлены так, что в стенках объёмного резонатора возбуждаются только токи, текущие по окружностям цилиндра. Это позволяет делать неизлучающие щели в боковых и торцовых стенках объемного резонатора.

Кроме цилиндрических, применяются объёмные резонаторы другой формы, например в лабораторных устройствах -- прямоугольные объёмные резонаторы (рис. 3, а). Важен объёмный резонатор тороидальной формы с ёмкостным зазором (рис. 3, б), применяемый в качестве колебательной системы клистрона.

Объёмный резонатор является пространственным разделение электрического и магнитного полей. Электрическое поле локализуется главным образом в ёмкостном зазоре, а магнитное -- в тороидальной полости.

Распределение поля в диэлектрическом объёмном резонаторе при существенном различии в диэлектрической проницаемости диэлектрика и окружающего пространства близко к распределению поля в металлических полых резонаторах той же формы. В отличие от полых объёмных резонаторов, поле диэлектрических резонаторов проникает в окружающее пространство, однако быстро затухает при удалении от поверхности диэлектрика.

Металлические полые объёмные резонаторы изготавливают обычно из металлов с высокой электропроводностью (Ag, Cu и их сплавы) или покрывают полость изнутри слоем Ag или Au. Объёмный резонатор с чрезвычайно высокой добротностью получают из сверхпроводящих металлов. Настройка резонатора на определённую частоту производится изменением его объёма путём перемещения стенок или введения в полость объёмный резонатора металлических поршней, пластин и др. настроечных элементов. Связь с внешними цепями осуществляется обычно через отверстия в стенках объёмного резонатора, с помощью петель, штырей и др. элементов связи. Для диэлектрических объёмных резонаторов используются диэлектрики с высокой диэлектрической проницаемостью (рутил, тиганат стронция и др.), имеющие малые диэлектрические потери.

Объёмный резонатор широко применяются в технике в качестве колебательных систем генераторов (клистронов, магнетронов и др.), фильтров, эталонов частоты, измерительных контуров, а также различных устройств для исследования твердых, жидких и газообразных веществ. Объёмные резонаторы применимы для частот 109--1011 гц. Для более высоких частот длина волны возбуждаемых в объёмном резонаторе колебаний становится сравнимой с размерами неизбежных шероховатостей и отверстий в стенках объёмного резонатора, что приводит к рассеянию электромагнитной энергии. Эта недостатки устраняются в открытых резонаторах, представляющих собой систему зеркал.

Все они, кроме последнего, являются по существу закороченными на концах отрезками волноводов. В таких резонаторах могут существовать колебания типа Е, у которых = 0, и колебания типа Н, у которых = 0. Анализ полей в резонаторах производят посредством решения уравнения Гельмгольца для составляющих и при равенстве нулю тангенциальной составляющей электрического поля на стенках резонатора . В результате получаются выражения для резонансной частоты для составляющих векторов поля в резонаторе.

Основным типом колебаний в прямоугольном резонаторе, имеющим минимальную резонансную частоту, в зависимости от соотношения размеров а, b, и l могут быть , или . Например, при b <а и, b < l основным типом колебаний является

Индексам m и n соответствует своя структура поля.

Для каждого типа волны - своя резонансная частота. Для получения минимальной резонансной частоты f рез надо использовать колебания с минимальными значениями m, n, p.

Задача 4

Перестраиваемый резонатор образован отрезком прямоугольного волновода сечением 23х10 мм, внутри которого перемещается поршень. Определить пределы перемещения поршня для перестройки резонатора в пределах 8 - 12 ГГц. Тип колебания

1) Определим длину резонатора, при которой он будет работать на частоте 8 ГГц:

Найдем

Найдем искомую длину

2) Определим длину резонатора, при которой он будет работать на частоте 12 ГГц:

Найдем

Найдем искомую длину

Ответ: поршень можно перемещать в пределах: 14,89 мм < / < 32.37 мм.

Список используемой температуры:

1. Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн». - М.: Высш. школа, 1981. - 208 с.

2. Вольман В.И., Пименов Ю.В. «Техническая электродинамика». - М.: Связь, 1971. - 487 с.

3. Морозов А.В., Нырцов А.Н., Шмаков Н.П. «Электродинамика и распространение радиоволн»: -- Санкт-Петербург, 2007. - 408 с.

Размещено на Allbest.ru