Постулати квантової механіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Постулати квантової механіки

1. Поняття хвильової функції та її властивості

У класичній механіці при одновимірному русі вздовж осі х стан частинки в кожний момент часу t задається двома величинами: координатою частинки x(t) і її швидкістю або імпульсом частинки. Таке визначення стану частинки є головним вихідним моментом побудови класичної механіки.

У фізиці мікрочастинок через наявність у них хвильових властивостей класичне визначення стану частинки втрачає будь-який зміст, а з ним і поняття сили, яка за визначенням є функцією класичного стану.

Установити фізичний зміст квантового стану допомогло відкриття корпускулярно-хвильового дуалізму матерії. У квантовій фізиці стан частинки задається хвильовою функцією, яка є комплексною величиною і визначається у всіх точках простору і в будь-який момент часу. Аналогічно класичним хвилям рух елементарних частинок характеризується хвилями де Бройля.

Рівняння хвилі де Бройля елементарної частини називається хвильовою функцією і позначається . Хвильова функція  не має жодного відношення до механічних хвиль. Класичні хвилі поширюються у пружних середовищах, а елементарні частинки можуть рухатись також і у вакуумі. Слід мати на увазі, що хвилі де Бройля властиві будь-яким частинкам, як зарядженим так і нейтральним, в той час як електромагнітні хвилі випромінюються лише зарядженими частинками при їх прискореному русі. Для класичних хвиль характерні найбільш суттєві властивості, такі як енергія, імпульс, інтенсивність, яка визначається квадратом амплітуди хвилі.

Поняття фізичного змісту хвильової функції прийшло після того, як вияснилось, що в інтерференції хвиль де Бройля проявляються властивості окремих частинок, а не їх системи. Це підтверджується незалежністю інтерференції від інтенсивності частинок в пучку. Інтерференція спостерігається навіть в тих випадках, коли за час польоту від джерела до детектора пролітає лише одна частинка. Цей факт можна тлумачити так лише у випадках, коли рух будь-якої мікрочастинки підпорядковується статистичним закономірностям [16; с. 48].

Хвильова функція є функцією координат і часу. Фізичний зміст має квадрат хвильової функції, який визначає густину ймовірності перебування мікрочастинки в деякому об'ємі dV:

;

Якщо проінтегрувати цю величину по всіх можливих значеннях х, ми отримаємо одиницю, тобто частинка десь знаходиться у просторі:

Ця рівність має назву умови нормування хвильової функції: у дуже великому об'ємі ймовірність перебування частинки рівна одиниці. Якщо інтеграл не існує, то не має змісту густини ймовірності. Однак величина має зміст відносної ймовірності перебування частинки в точках х₁ і х₂, тобто за допомогою хвильової функції  визначається лише імовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору. Зі сказаного випливає, що хвильова функція  повинна задовольняти певні обмежувальні умови, які ще називаються стандартними умовами: вона має бути скінченою, однозначною і неперервною, тому що імовірність не може бути більшою за 1.

Рівнозначним термінові «хвильова функція» є термін «амплітуда ймовірності», або просто «амплітуда стану», що відбиває фізичний зміст величини . З уваги на те, що має місце закон додавання амплітуд, який збігається з законом додавання векторів, величину називають також вектором стану.

Якщо частинка рухається в тривимірному просторі, то хвильова функція в декартових координатах залежить від х, у, z, а величина є густиною ймовірності перебування частинки в околі точки (х, у, z). Умова нормування має вигляд:

,

де інтегрування відбувається по всьому об'єму V, у якому рухається частинка.

В багатьох задачах квантової механіки розглядаються періодичні процеси, в яких складова хвильової функції, що залежить від часу, подається у вигляді: . В такому разі хвильова функція може бути представлена як добуток двох функцій, одна з яких - функція координат, а інша - часу:

Більшість фізиків із самого початку вважали, що хвильові властивості має кожен окремо взятий електрон. Це підтвердив прямий експеримент, який здійснили в 1949 р. Л.М. Біберман, П.П. Сушкін і В.О. Фабрикант [14; с. 9]. Учені спостерігали проходження електронів через кристал, який відігравав роль дифракційних ґраток. Частинки проходили через установку по черзі через певний інтервал часу. Після тривалої експозиції було отримано таку ж дифракційну картину, як і в тому випадку, коли багато електронів проходили одночасно через кристал. Закономірним буде наступне питання: чи створює кожен електрон дифракційну картину чи він створює почорніння тільки в одній точці фотопластинки?

Макроскопічна електромагнітна хвиля, наприклад, дифрагуючи на отворі, розділяється на ряд пучків, що йдуть у різних напрямках і відповідають максимумам дифракційної картини. Енергія хвилі дробиться на кілька частин. Якщо електрон - хвиля, то він повинен за аналогічної ситуації розділитися на частини, але якщо електрон - частинка, що зберігає свою цілісність при проходженні отвору, то розділитися на частини він не може. Взаємодія з діафрагмою може змінити напрямок його руху, але після проходження отвору електрон потрапляє в одну конкретну точку екрана.

Відповідь повинен дати реальний експеримент: потрібно, щоб екран являв собою сукупність детекторів, які вловлюють окремі частинки і вимірюють їхні маси й заряди. Такі досліди технічно можливі і дають однозначний результат: закінчуючи рух, кожна частинка потрапляє у визначену точку екрана. Тому й у нашому уявному експерименті, де розглядалося проходження частинок через отвір у діафрагмі, кожен окремий електрон буде спричинювати почорніння фотопластинки на невеликій ділянці.

Одна частинка не створює дифракційної картини. Усю картину можна одержати тільки завдяки потраплянню на пластинку пучка частинок. Електрон не поділяється на частини і повністю зберігає свою цілісність, тобто заряд, масу й інші характеристики.

У цьому виявляються корпускулярні властивості мікрочастинок. У той же час очевидним є і виявлення хвильових властивостей. Електрон після проходження отвору ніколи не потрапить на екран у тому місці, де повинен бути мінімум дифракційної картини; він може виявитися тільки в точках екрана поблизу дифракційних максимумів. При цьому вказати, в якому саме конкретному напрямку полетить дана частинка, в яку точку екрана вона потрапить, заздалегідь не можна.

Якщо взяти багато частинок, то почорніння фотопластинки свідчить про таку закономірність: більша частина частинок потрапить в зону головного максимуму; кількість частинок, що припадають на інші максимуми, убуває в міру зростання номера (порядку) максимуму. Для окремої частинки не можна вказати конкретну точку, але можна передбачити ймовірність її влучання в те чи інше місце екрана.

Зв'язок між функцією розподілу ймовірності р(x) і хвильовими властивостями електрона, які описує -функція Шредінгера, встановив у 1926 р. М. Борн [17; с. 73]. Він стверджував: якщо мікрочастинки мають хвильові властивості, які можна описати за допомогою хвильової функції (-функції), то імовірність р(х) виявити електрон у точці х дорівнює квадрату хвильової функції

(х): .

Тому «хвилі матерії» - це не звичайні матеріальні хвилі, як електромагнітні чи хвилі на поверхні моря, а хвилі особливі - це «хвилі ймовірності». Вони визначають імовірність розподілу частинок у просторі [5; с. 34].

Ми не маємо права говорити про траєкторію електрона в атомі, - її взагалі не існує. Але ми можемо говорити про ймовірність перебування електрона в тих чи інших точках, тобто схематично зобразити електрони в атомі у вигляді деякої електронної хмари, форма і щільність р(х) якої визначає хвильова функція (х).

2. Математичний апарат квантової фізики

Завдання квантової механіки, як і кожної науки, полягає в тому, щоб за результатами одних вимірювань передбачити результати інших вимірювань. Однак у квантовій механіці процес вимірювання відіграє, на відміну від класичної механіки, особливу роль. Самі операції вимірювання потребують докладного аналізу, що пов'язано з обмеженням на сумісне визначення, наприклад, координати та імпульсу частинки.

Отже, побудова квантової теорії вимагає фундаментальних змін основних класичних уявлень та законів. Так само як квантово-механічні явища відрізняються від класичних, так само й математичний апарат квантової механіки відмінний від апарату класичної механіки. Математичний апарат квантової механіки є теорією лінійних операторів у функціональних гільбертових просторах. Це знаходиться у повній відповідності до того, що самі вимірювання можна розглядати як операції, які здійснюються над фізичними системами.

Оператором називають дію, за допомогою якої за заданою функцією знаходять іншу функцію : ^.

Для обчислення середніх значень координати х та імпульсу р частинки в стані, що описується хвильовою функцією , необхідно виконати такі операції:

,

,

де символом позначено операцію диференціювання .

Кожній фізичній величині А у квантовій механіці ставиться у відповідність оператор цієї величини такий, що її середнє значення у стані дорівнює:

,

де q - сукупність змінних, на яких задана хвильова функція.

Зіставлення операторів з фізичними величинами повинно виконуватись з урахуванням тих умов, які накладаються основними принципами квантової механіки [5; с. 89]:

1. Принцип суперпозиції - вимагає лінійності всіх рівнянь для хвильових функцій , що в свою чергу вимагає, щоб оператори фізичних величин були лінійними операторами:

,

де С = const,

2. Фізичні велични - це `постережу вальні величини. Їх вимірюють у дослідах, в результаті яких отримують дійсні числа. Це означає, що середні значення операторів, які представляють фізичні величини, є дійсними:

,

або в математичному записі:

Ця рівність є частинним випадком загального співвідношення.

Уведемо транспонований до оператор ' такий, що:

Порівнюючи з попередньою рівністю, маємо: .

Уведемо поняття спряженого оператора до : , або в інтегральній формі:

квантовий суперпозиція хвильовий механіка

Отже, внаслідок дійсності спостережуваних величин, маємо: .

Оператори, що задовольняють цю умову, називають самоспряженими, або ермітовими [5; с. 91]. В інтегральній формі умова самоспряженості може бути записана у вигляді:

Вимірювання на досліді фізичної величини А, що характеризується своїм оператором , дають значення А₁, А_2, …, з сукупності власних значень оператора . Інакше кажучи, вимірювання величини А в стані в кожному акті дають різні і, взагалі кажучи, щораз інші значення, але кожен раз із сукупності А₁, А_2,…. і тільки. Тобто спектр можливих значень спостережу вальних величин збігається зі спектром операторів, що з ними зіставляються.

Саме цим і визначається зміст операторів у квантовій механіці. Оператори мають такий зміст, що їхні власні значення дають можливі результати вимірювань відповідної їм фізичної величини в довільному стані.

Приклади операторів фізичних величин, що діють на хвильові функції, які залежать від координат частинки, наведено в таблиці 1.

Таблиця 1. Оператори фізичних величин, що діють на хвильові функції, які залежать від координат частинки

3. Квантово-механічний принцип суперпозиції

У заданих фізичних умовах мікрочастинка може перебувати в різних станах в залежності від способу, яким вона в ці умови потрапляє. Звертаючись до найпростішого випадку вільного руху мікрочастинки без дії зовнішніх сил і без взаємодії з іншими частинками, ми можемо мати справу зі станами руху, які відрізняються як величиною, так і напрямом імпульсів. Кожен із цих станів може бути реалізований сам по собі. Однак існують і більш складні випадки. Прикладом може слугувати дифракційний дослід Девіссона і Джермера, в якому падаючий на кристал пучок розкладається на систему дифрагованих пучків [3; с. 142]. Після взаємодії з кристалом рух відбувається знову-таки в порожньому просторі, але представляється вже сукупністю хвиль де Бройля, що відрізняються один від одного напрямком поширення.

Направляючи на поверхню кристала пучок певної довжини хвилі л, ми не можемо отримати яку-небудь із дифрагованих хвиль, а отримуємо відразу всю сукупність цих хвиль (разом із падаючою), що знаходяться до того ж у певних фазових відносинах один до одного і тому здатних до інтерференції. Вся ця сукупність хвиль являє собою єдине хвильове поле і зображується однією хвильовою функцією ш. Однак таке хвильове поле є сукупністю простих хвиль де Бройля ш_р, кожна із яких сама по собі може описувати можливий стан руху частинки в порожньому просторі. У цьому можна переконатися, якщо виділити за допомогою діафрагми з усього хвильового поля ш один з дифрагованих пучків і потім вдруге піддати його дифракції [3; 143].

Ми говоримо, що стан, який виникає при дифракції частинок на поверхні кристала, є суперпозицією (накладанням) станів вільного руху, що описуються простими хвилями де Бройля. Цей випадок суперпозиції є частковим випадком загального принципу суперпозиції станів, що складає одну з основ квантової механіки.

Даний принцип може бути сформульований наступним чином: якщо будь-яка система (частинка чи їх сукупність) може перебувати у стані, що задається хвильовою функцією ш₁, і в іншому стані ш₂, то вона може перебувати і у стані, що задається хвильовою функцією ш, такою що:

,

де С₁ і С₂ - довільні комплексні числа, що визначають амплітуди і фази часткових станів ш₁ і ш₂. Звідси випливає, що якщо маємо ряд можливих станів системи, які відрізняються один від одного значенням якої-небудь величини (імпульсу, енергії, моменту імпульсу і т. п.), заданої хвильовими функціями ш₁ і ш₂, …, то згідно принципу суперпозиції, існує сумарний стан:

,

де С₁ і С₂ - довільні комплексні амплітуди.

Якщо функції ш₁, ш₂, … задовольняють деякі рівняння, то і ш задовольняє ці рівняння. Звідси випливає важливий наслідок принципу суперпозиції: всі рівняння, яких задовольняють хвильові функції в квантовій механіці, є лінійними рівняннями.

Коефіцієнти С₁, С₂, … дають «вагу» станів ш₁, ш₂, … в повному стані ш, тобто визначають міру участі станів ш₁, ш₂, … у формуванні ш. Отже, дорівнює ймовірності реалізації стану ш_n, причому повна ймовірність .

Якщо хвильову функцію домножити на довільне комплексне число, не рівне нулеві, то нова хвильова функція буде описувати той самий стан [10; с. 115].

Якщо стани, що входять в суперпозицію, відрізняються один від одного на нескінченно малу величину, то замість суми матимемо інтеграл: . Важливим прикладом суперпозиції такого виду являється представлення довільного хвильового поля ш (x, y, z, t) у вигляді суперпозиції хвиль де Бройля:

,

Хвильову функцію будь-якого стану можна записати у вигляді:

,

де с (р_x, р_y, р_z, t) - амплітуда хвилі де Бройля, що має імпульс р (р_x, р_y, р_z).

Твердження очевидне, оскільки є не що інше, як розклад ш (x, y, z, t) в потрійний інтеграл Фур'є. Щоб впевнитися у цьому, позначимо:

,

Тоді на основі формула може бути записана у вигляді:

,

Звідси за теоремою Фур'є про перетворення інтеграла знаходимо для кожної функції ш амплітуду ц, а разом з тим і с:

.

Таким чином, бачимо, що будь-який стан можна розглядати як суперпозицію хвиль де Бройля, тобто станів із заданим імпульсом частинки р (р_x, р_y, р_z).

Список літератури

1. Анисимов В.М., Третьякова О.Н. Практический курс физики. Основы квантовой физики // Под ред. Г.Г. Спирина, 2-е изд. испр. - М.: МАИ, 2007. - 162 с.

2. Астахов А.В., Широков Ю.М. Курс физики: Учебное пособие. - В 3-х томах. Т.3. Квантовая физика // Под ред. Ю.М. Широкова. - М.: Наука, 1983. - 240 с.

3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики // Учебное пособие, 5-е изд. перераб. - М.: Наука, 1976. - 664 с.

4. Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. Электромагнетизм. Волновая оптика. Квантовая физика. - Т. 2. - М.: Высшая школа, 2003. - 476 с.

5. Вакарчук І.О. Квантова механіка: Підручник. - Львів: ЛДУ ім. І. Франка, 1998. - 616 с.

6. Ваулин Е.П., Коновалова З.И., Соколова Е.Ю., Третьякова О.Н., Ющенко Т.А. Вихман Э. Квантовая физики. - М.: Наука, 1978. - 396 с.

7. Герни Р.В. Введение в квантовую механику // Под ред. Л.Э. Гуревича. - Перев. с англ. В.В. Солодовникова. - М.: Ленинград, 1985. - 191 с.

8. Глауберман А.Ю. Квантова механіка. - Львів: ЛДУ ім. І. Франка, 1962. - 506 с.

9. Грашин А.Ф. Квантова механика. - М.: Просвещение, 1974. - 207 с.

10. Давыдов А.С. Квантовая механика. - 2-е изд. - М.: Наука, 1973. - 253 с.

11. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механіки. - М.: Наука, 1985. - 380 с.

12. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Под ред. Л.П. Питаевского. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 197 с.

Размещено на Allbest.ru