Размещено на http://www.allbest.ru/

Взаимодействие зарядов

Кулона, согласно которому сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними

где  - электрическая постоянная,  - относительная диэлектрическая проницаемость.

В случае одноименных зарядов сила оказывается положительной, (что соответствует отталкиванию между зарядами). В случае разноименных зарядов сила отрицательна, что соответствует притягиванию зарядов.

Электрический диполь

Совокупность двух равных по величине разноименных точечных зарядов q, расположенных на некотором расстоянии  друг от друга, малом по сравнению с расстоянием до рассматриваемой точки поля называется электрическим диполем. (рис. 13.1)

Произведение  называется моментом диполя. Прямая линия, соединяющая заряды называется осью диполя. Обычно момент диполя считается направленным по оси диполя в сторону положительного заряда.

Силовые линии

Электрическое поле наглядно изображается с помощью силовых линий. Силовой линией электрического поля называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором напряженности поля. Силовые линии проводятся с такой густотой, чтобы число линий, пронизывающих воображаемую площадку 1м², перпендикулярную полю, равнялось величине напряженности поля в данном месте. Тогда по изображению электрического поля можно судить не только о направлении, но и о величине напряженности поля. Электрическое поле называется однородным, если во всех его точках напряженность Е одинакова. В противном случае поле называется неоднородным.

При положительном заряде, образующем поле, вектор напряженности направлен вдоль радиуса от заряда, при отрицательном - вдоль радиуса по направлению к заряду. Исходя из положительного заряда (или входя в отрицательный заряд) силовые линии теоретически простираются до бесконечности.

Электростатическое поле. Напряжённость поля

Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Электрическое поле покоящихся зарядов называется электростатическим. Электростатическое поле отдельного заряда можно обнаружить, если внести в это поле другой заряд, на который в соответствии с законом Кулона будет действовать определенная сила. Внесем в электрическое поле, созданное зарядом q, точечный положительный заряд, называемый пробным . На этот заряд, по закону Кулона, будет действовать сила

Если в одну и туже точку помещать разные пробные заряды ,  и т.д., то на них будут действовать различные силы, пропорциональные этим зарядам. Отношение  для всех зарядов, вносимых в поле, будет одинаковым и будет зависеть лишь от q и r, определяющих электрическое поле в данной точке. Эта величина является силовой характеристикой электрического поля и называется напряженностью (E). Итак

,

т.е. напряженность данной точки электрического поля это сила действующая на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку.

Учитывая закон Кулона (13.1) нетрудно получить выражение для напряженности поля создаваемого точечным зарядом q



или в векторной форме

	(13.2)

За единицу напряженности принимается напряженность в такой точке поля, в которой на единицу заряда действует единица силы.

Принцип суперпозиции электрических полей

Если поле образовано не одним зарядом, а несколькими, то силы, действующие на пробный заряд, складываются по правилу сложения векторов. Поэтому и напряженность системы зарядов в данной точке, поля равна векторной сумме напряженностей полей от каждого заряда в отдельности.

	(13.3)

Согласно принципу суперпозиции электрических полей можно найти напряженность в любой точке А поля двух точечных зарядов  и  (рис. 13.1). Сложение векторов  и  производится по правилу параллелограмма. Направление результирующего вектора  находится построением, а его абсолютная величина может быть подсчитана по формуле

Поток вектора напряженности электростатического поля

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N_E.

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис. 13.4).

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению (рис. 13.5).

где  - угол между силовой линией и нормалью  к площадке dS;  - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

	(13.4)

Так как , то

	(13.5)

где  - проекция вектора  на нормаль и к поверхности dS.

Теорема Остроградского-Гаусса

Определим поток напряжённости поля электрических зарядов через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиуса R, окружающей один заряд, находящийся в ее центре). Напряженность поля по всей сфере одинакова и равна.



Таким образом, полный поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на . Это положение называется теоремой Остроградского - Гаусса. С помощью этой теоремы можно определить напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

Примеры применения теоремы Гаусса

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

2. Электростатическое поле шара.

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

5. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда

Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда  из одной точки электростатического поля в другую на отрезке пути , по определению равна

где  - угол между вектором силы F и направлением движения . Если работа совершается внешними силами, то dA0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении пробного заряда  из точки «а» в точку «b» будет равна

где  - кулоновская сила, действующая на пробный заряд  в каждой точке поля с напряженностью Е. Тогда работа

Пусть заряд  перемещается в поле заряда q из точки «а», удалённой от q на расстоянии  в точку «b», удаленную от q на расстоянии  (рис 1.12).



Как видно из рисунка  тогда получим

Как было сказано выше, работа сил электростатического поля, совершаемая против внешних сил, равна по величине и противоположна по знаку работе внешних сил, следовательно

Потенциальная энергия электростатического поля

Полученный результат свидетельствует о том, что работа не зависит от пути, по которому перемещался в электростатическом поле пробный заряд , и зависит только от положений точек «а» и «b». Такое поле называется потенциальным. Поэтому работа, очевидно, равна убыли потенциальной энергии W этого заряда

Перенесем пробный заряд на бесконечность. Напряженность поля Е на бесконечности принимается равной нулю, следовательно . Но так как , то второе слагаемое тоже будет равно нулю и тогда

Циркуляция вектора напряженности

Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L

Потенциал электростатического поля

Внося в данную точку поля различные пробные заряды  мы будем, соответственно, изменять потенциальную энергию, т.е. получим различные . Но отношение потенциальной энергии к заряду остается величиной постоянной. Следовательно для характеристики поля можем использовать это отношение. Обычно оно обозначается буквой  и называется потенциалом поля в данной точке

	(13.19)

Потенциал является энергетической характеристикой поля. Он численно равен работе, которую надо затратить против сил электрического поля при перенесении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку поля. Единица измерения потенциала - вольт. С учетом (1.16)

	(13.20)

Когда поле образовано несколькими произвольно расположенными зарядами , потенциал его  в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых каждым зарядом в отдельности, т.е.

	(13.21)

Если из точки «а» в точку «b» электрического поля перемещается заряд q', то при этом совершается работа против электрических сил, равная

где  и  - потенциалы поля в точках «а» и» b».

В СИ за единицу разности потенциалов принимают Вольт (В), Разность потенциалов между двумя точками поля равна одному Вольту, если для перемещения между ними заряда в один Кулон нужно совершить работу в один Джоуль

В атомной физике и электронике часто употребляют для измерения работы и энергии, величину называемую электронвольтом (эВ). Один электронвольт равен работе, совершаемой при перемещении заряда, равного заряду электрона, между двумя точками поля с разностью потенциалов один вольт.

Эквипотенциальные поверхности

Совокупность точек, имеющих равный потенциал, образуют так называемые эквипотенциальное поверхности, или поверхности равного потенциала (рис 13.15).

С их помощью также можно графически изобразить электростатическое поле. Направление нормали к эквипотенциальной линии будет совпадать с направлением вектора  в той же точке. Эквипотенциальные поверхности можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено бесконечное множество. Однако, проводят поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности. Чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности.

Связь между напряженностью и потенциалом

Из выше сказанного следует, что электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика). Выясним как они связаны между собой. Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал , на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал  (рис. 13.16).

Напряженность поля Е на всем малом пути dx можно считать постоянной. Тогда работа перемещения  С другой стороны . Из этих уравнений получаем

	(13.22)

Знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала.

Вычисление потенциала простейших электрических полей

1. Электрическое поле сферической поверхности радиуса R.

a. Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии  и  от центра заряженной сферической поверхности , находим из формулы

Интегрируя левую и правую части этого уравнения

получим

b. Положив  и , получим потенциал заряженной сферической поверхности

c. Внутри заряженной сферы поля нет, и потому весь ее объём эквипотенциален, т.е.

 и 

и равен потенциалу на поверхности (при r=R).

2. Потенциал электрического поля плоскости.

Найдем разность потенциалов между двумя точками М и N, лежащими на расстоянии  и  от плоскости. , Но для плоскости , поэтому

Проинтегрировав последнее выражение по х от  до  и обозначив потенциал в точках М и N через и , получим

3. Разность потенциалов между двумя параллельными плоскостями

Находящимися на расстоянии а друг от друга, найдем аналогичным путем:

, или (с учетом 13.15)



4. Электрическое поле бесконечного длинного прямого кругового цилиндра.

Воспользуемся, как прежде, связью потенциала с напряженностью и уравнением (13.13):

Электрическое поле в диэлектриках. Введение

Свободные заряды, имеющиеся в любом проводнике, перемещаются под действием внешнего электрического поля и спустя очень малый промежуток времени создают поле, полностью компенсирующее внешнее. Поэтому напряженность электрического поля внутри проводника (при отсутствии тока) равна нулю. Термин «диэлектрики» был введен Фарадеем. Диэлектриком является любая среда (газ, жидкость или твердое тело), в которой длительное время может существовать электрическое поле. В отличие от проводников в диэлектриках отсутствуют свободные электрические заряды. Т.е. диэлектриками называют тела в которых заряды не могут перемещаться из одной части в другую.

Поляризация диэлектриков

Атомы и молекулы диэлектрика содержат равные количества положительных и отрицательных микроскопических зарядов и в целом электрически нейтральны. В зависимости от строения все диэлектрические вещества можно разделить на три большие группы.

1. К первой группе принадлежат диэлектрики, состоящие из молекул, у которых «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов совпадают (например, бензол и др). Молекулы таких диэлектриков в отсутствие внешнего электрического поля не обладают дипольным моментом (рис. 14.1.а).

Во внешнем электрическом поле «центы тяжести» положительных и отрицательных (электронных оболочек) зарядов молекулы смещаются в противоположные стороны на некоторое расстояние L, малое по сравнению с размерами молекулы (рис. 14.1 б). Каждая молекула при этом становится полярной (дипольной), подобной электрическому диполю и приобретает дипольный электрический момент  Такого рода поляризация называется электронной. При помещений диэлектрика в электрическое поле все неполярные молекулы превращаются в дипольные, расположенные цепочками вдоль силовых линий поля (рис. 14.2). В результате торцы диэлектрика приобретают разноименные заряды - диэлектрик поляризуется. Степень электронной поляризации зависит от его свойств и от величины напряженности поля .

2. Вторую группу диэлектриков составляют такие вещества, как вода, нитробензол и др. В таких веществах молекулы всегда (ив отсутствие внешнего поля) несимметричны, т.е. являются дипольными. Благодаря тепловому движению дипольные молекулы расположены в диэлектрике беспорядочно (рис. 14.3 а). Поэтому диэлектрик в целом оказывается не поляризованным. Под влиянием электрического поля все дипольные молекулы диэлектрика повернутся так, что их оси расположатся приблизительно вдоль силовых линий поля (рис. 14.3 б). Такого рода поляризация называется ориентационной или дипольной поляризацией. Полной ориентации препятствует тепловое движение.

3. К третьей группе относятся кристаллические диэлектрики, имеющие ионное строение (хлористый натрий, хлористый калий и др). У кристаллических диэлектриков с ионной решеткой каждая пара соседних разноименных ионов подобна диполю (рис. 14.4.а) В электрическом поле эти диполи деформируются: удлиняются, если их оси направлены по полю, и укорачиваются, если оси направлены против поля. В результате диэлектрик поляризуется. Введем величину, характеризующую степень поляризации диэлектрика. Если просуммировать все дипольные моменты диэлектрика в единице объема, то получим вектор поляризации.



Для определения степени поляризации в точке необходимо ДV устремить к нулю. Вектор  направлен вдоль электрического поля , в котором находится диэлектрик. Для не слишком сильных полей можно принять, что величина вектора поляризации пропорциональна величине напряженности поля, т.е. Р~Е

В системе СИ вектор поляризации

где  - называется диэлектрической восприимчивостью вещества и зависит от его строения.

Напряжённость электрического поля в диэлектрике

Рассмотрим диэлектрическую пластинку, заполняющую плоский конденсатор (рис. 14.5) и находящуюся, следовательно, в практически однородном внешнем поле .



В результате поляризации на гранях диэлектрика, обращенных к пластинам конденсатора, концы молекулярных диполей окажутся нескомпенсированными соседними диполями. Поэтому на правой грани, обращенной к отрицательной пластине конденсатора, окажется избыток положительного заряда с некоторой поверхностной плотностью . На противоположной стороне диэлектрика . Эти так называемые поляризационные, или связанные заряды не могут быть переданы соприкосновением другому телу без разрушения молекул диэлектрика, т.к. они обусловлены самими поляризованными молекулами. Возникновение поляризованных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля, направленного против внешнего поля . Результирующее электрическое поле Е внутри диэлектрика равно

	(14.2)

Для определения  применим формулу вычисления напряженности  конденсатора

	(14.3)

Свяжем  с вектором поляризации Р. Для этого определим полный дипольный момент (во всем объеме) диэлектрика. Осуществим это двумя способами:

С одной стороны Р по определению дипольный момент единицы объема и если умножим на V, получим полный дипольный момент

	(14.4)

где S - площадь пластины конденсатора.

С другой стороны рассмотрим диэлектрик как большой диполь, у которого с одной стороны заряд , а с другой  и расстояние d. Отсюда

	(14.5)

Приравнивая (14.4) и (14.5), получим

Подставляя  в (14.3), и затем результат в (14.2), получим

Подставим значение Р из выражения (14.1), тогда

	(14.6)

Величина

	(14.7)

называется диэлектрической проницаемостью или относительной диэлектрической проницаемостью. Диэлектрическая проницаемость  показывает во сколько раз уменьшается напряженность в диэлектрике по сравнению с напряженностью в вакууме.  и , т.е. с ростом температуры диэлектрические свойства ухудшаются.

Электрическое смещение

электростатический поляризация диэлектрик гаусс

В неоднородной диэлектрической среде  имеет различные значения, изменяясь на границах диэлектриков скачкообразно (претерпевая разрыв). Это затрудняет применение формул, описывающих взаимодействие зарядов в вакууме. Что касается теоремы Гаусса, то в этих условиях она вообще теряет смысл. В самом деле, благодаря различной поляризуемости разнородных диэлектриков напряженности поля в них будут различными. Поэтому различно и число силовых линий в каждом диэлектрике (рис. 14.6).

Часть линий, исходящих из зарядов, окруженных замкнутой поверхностью, будет заканчиваться на границе раздела диэлектриков и не пронижет данную поверхность. Это затруднение можно устранить, введя в рассмотрение новую физическую характеристику поля - вектор электрического смещения



	(14.8)

Вектор  направлен в ту же сторону, что и . В отличие от напряженности поля  вектор  имеет постоянное значение во всех диэлектриках. Поэтому электрическое поле в неоднородной диэлектрической среде удобнее характеризовать не напряженностью , а смещением . С этой целью вводится понятие линий вектора  и потока смещения, аналогично понятию силовых линий и потока напряженности

или

	(14.9)

Используя теорему Гаусса

домножим обе части на 

С учетом (14.8) получаем



	(14.10)

Это уравнение выражает теорему Гаусса для вектора электрического смещения: полный поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, заключенных в этой поверхности.

Поле на границах раздела диэлектрика

В предыдущем параграфе мы предположили, что линии поля и направление вектора поляризации перпендикулярны к границе разделами тогда . В общем случае, когда линии поля не перпендикулярны к границе раздела это отношение остается справедливым лишь для нормальных составляющих вектора электрического смещения: 

На границе двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями , и  при наличии внешнего поля возникают поляризационные заряды разного знака с различными поверхностными плотностями зарядов  и  (рис. 14.7).

Дополнительное поле, создаваемое этими зарядами, перпендикулярно поверхности, поэтому нормальные составляющие полей , и  в обеих средах у границы раздела различны, а касательный составляющие одинаковы, т.е.

	(14.11)

Векторы электростатического смещения в обеих средах соответственно равны

и	(14.12)

Аналогично рассмотренному выше случаю границы диэлектрик - вакуум нормальная составляющая вектора на границе двух диэлектриков  а отсюда следует, что

Из этого выражения следует, что в случае  и линии вектора  при переходе через границу раздела преломляются, отклоняясь от перпендикуляра к границе раздела. Из (14.11) и (14.12) следует, что

При  и 

При переходе через границу раздела из диэлектрика с меньшим значением  в диэлектрик с большим значением , нормальная составляющая вектора  остается неизменной, а касательная увеличивается, так что линии вектора  преломляются под таким же углом как и линии напряженности поля (рис. 14.8).



Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков изменяется не только вектор напряженности электрического поля , но и вектор . Однако поток вектора  через произвольную площадку  на границе раздела, равный по определению , с обеих сторон поверхности на основании  остается неизменным. Следовательно, число линий вектора электрического смещения, переходящих через границу, не меняется. Поэтому теорема Гаусса остается справедливой для вектора  в самом общем случае при наличии в поле диэлектриков любой формы и размеров.

Энергия системы зарядов

Найдем сначала выражение для потенциальной энергии системы двух точечных зарядов  и , находящихся на расстоянии . Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю. Сблизим заряды на заданное расстояние . При этом мы должны будем совершить работу против электрических сил, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая  к  либо  к .Работа переноса заряда  из бесконечности в точку, удаленную от  на 



где  - потенциал, создаваемый зарядом  в той точке, в которую перемещается заряд . Аналогично работа переноса заряда  из бесконечности в точку, удаленную от  на , равна

где  - потенциал, создаваемый зарядом  в той точке, в которую перемещается заряд . Значение работ в обоих случаях одинаковы, и каждое из них выражает энергию системы

Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили симметрично, запишем его следующим образом:

Эта формула дает энергию системы двух зарядов. Перенесем из бесконечности еще один заряд  и поместим его в точку, находящуюся на расстоянии  от  и  от . При этом совершим работу

где  - потенциал, создаваемый зарядами  и  в той точке, в которую мы поместили заряд . В сумме с  или  работа  будет равна энергии трех зарядов:

Последнее выражение можно привести к виду

Добавляя к системе Зарядов последовательно  и т.д., можно убедиться в том, что в случае n зарядов потенциальная энергия системы равна

	(16.1)

где  - потенциал, создаваемый в той точке, где находится , всеми зарядами, кроме i-го.

Объемная плотность энергии электростатического поля

Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна . Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами, имеем



С учетом, что  и 

или

Равновесие зарядов на проводнике

Носители зарядов в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому равновесие зарядов на проводнике может наблюдаться лишь при выполнении следующих условий:

1. Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю Е=0. В соответствии с уравнением  это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным, т.е. .

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности  в противном случае появляется составляющая  направлена вдоль поверхности, что будет приводить к перемещению зарядов до тех пор пока не пропадет составляющая . Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной. Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Представим себе произвольную замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах тела. Поскольку при равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует, поток вектора электрического смещения через поверхность равен нулю. Согласно теореме Гаусса алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности также будет равна нулю.

Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они расположены на поверхности проводника с некоторой плотностью . Т.к. в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. по его наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут.

Размещено на Allbest.ru