Идеальные кристаллы, их симметрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Киевский национальный университет им. Т. Шевченка

Идеальные кристаллы, их симметрия

подготовила

студентка IV курса

Гончарук Галина

1. Идеальный кристалл

Правильная геометрическая форма кристаллов привлекала внимание исследователей ещё на ранних стадиях развития кристаллографии и давала повод к созданию тех или иных гипотез об их внутреннем строении.

Если мы будем рассматривать идеальный кристалл, то не обнаружим в нём нарушений, все одинаковые частицы расположены одинаковыми параллельными рядами. Если приложить к произвольной точке три не лежащие в одной плоскости элементарные трансляции и повторить её бесконечно в пространстве, то получится пространственная решетка, т.е. трёхмерная система эквивалентных узлов. Таким образом, в идеальном кристалле расположение материальных частиц характеризуется строгой трёхмерной периодичностью. И чтобы получить наглядное представление о закономерностях, связанных с геометрически правильным внутренним строением кристаллов, на лабораторных занятиях по кристаллографии обычно используют модели идеально образованных кристаллов в виде выпуклых многогранников с плоскими гранями и прямыми рёбрами. На самом же деле грани реальных кристаллов не бывают идеально плоскими, так как при своём росте они покрываются бугорками, шероховатостями, бороздками, ямками роста, вициналями (гранями, отклонившимися целиком или частично от своего идеального положения), спиралями роста или растворения и т.д.

Идеальный кристалл - это физ. модель, представляющая собой бесконечный монокристалл, не содержащий примесей или структурных дефектов (вакансий, межузельных атомов, дислокаций и др.). Отличие реальных кристаллов от идеальных связано с конечностью их размеров и наличием дефектов. Наличия некоторых дефектов (напр., примесей, межкристаллитных границ) в реальных кристаллах можно практически полностью избежать с помощью специальных методов выращивания, отжига или очистки. Однако при температуре T>0К в кристаллах всегда есть конечная концентрация (термоактивированных) вакансий и межузельных атомов, число которых в равновесии экспоненциально убывает с понижением температуры.

Кристаллические вещества могут существовать в виде монокристаллов или поликристаллических образцов.

Монокристалл - это твердое тело, в котором регулярная структура охватывает весь обьем вещества. Монокристаллы встречаются в природе (топаз, кварц, алмаз, изумруд) или изготовляются искусственно (рубин, фианит).

Поликристаллические образцы состоят из большого количества мелких, хаотически ориентированных, разного размера кристалликов, которые могут быть связаны между собой определенными силами взаимодействия.

Основными свойствами кристаллов являются однородность, симметрия структуры, анизотропия и способность к самоогранению. Кристаллическое состояние вещества является термодинамически равновесным состоянием твердого тела. Но даже в условиях термодинамического равновесия в кристалле присутствуют разного типа несовершенности структуры (точечные дефекты, дислокации, примеси, внедрение других фаз).

2. Свойства идеальных и реальных кристаллов

Как известно, в идеальном кристалле при термодинамическом равновесии расположение материальных частиц характеризуется строгой трёхмерной периодичностью. Геометрической схемой периодичности является пространственная решетка. Материальные частицы совершают гармонические колебания около своих положений равновесия, причём амплитуды колебаний частиц зависят только от внешних условий - от давления и температуры, количественные соотношения между разнородными атомами точно отвечают стехиометрической формуле вещества.

Физические свойства идеального кристалла определяются его химическим составом, силами связи между частицами и симметрией кристалла, т.е. категорией, сингонией, классом симметрии. Эти свойства структурно-нечувствительны. Небольшие отклонения от правильности и периодичности, дефекты кристаллической структуры мало сказываются на общих закономерностях структурно-нечувствительных свойств.

В реальных кристаллах многие свойства существенно зависят не только от типа равновесной кристаллической структуры, но и от дефектов этой структуры - нарушений периодичности и равновесия. Структурно-чувствительными свойствами кристаллов являются ионная и полупроводниковая электропроводность, фотопроводимость, люминесценция, прочность и пластичность, окраска и ряд других свойств. Структурно-чувствительны, т.е. зависят от дефектов структуры, процессы роста кристаллов, рекристаллизации, пластической деформации, диффузии.

Идеальная периодичность структуры кристалла расстраивается, прежде всего, тепловыми колебаниями атомов и нарушениями электронной плотности. Из-за наличия сил связи между частицами кристалл представляет собой систему взаимно связанных вибраторов со спектром колебаний от акустических до инфракрасных частот. Амплитуды колебаний частиц тем больше, чем сильнее нагрет кристалл. При температурах, близких к точке плавления, амплитуды могут достигать 10 - 12% от междуатомных расстояний; при температурах, далёких от точки плавления, тепловые смещения можно считать малыми. Измеряются эти смещения рентгено-дифракционными методами. В кристаллах с резко выраженной анизотропией (неоднородностью) структуры и сил связи, особенно в слоистых и цепочечных, заметна анизотропия колебаний, т.е. частоты колебаний в разных направлениях различны.

Увеличение амплитуды колебаний и, следовательно, рост энергии колебаний частиц происходит вследствие поглощения тепла при нагреве. Увеличение энергии колебаний частиц вносит основной вклад в теплоёмкость твёрдого тела.

Поскольку тепловые колебания атомов происходят около их положений равновесия, в среднем можно полагать, что атом находиться в положении равновесия. Именно в таком приближении считают, что тепловые колебания в среднем не нарушают идеальной периодичности структуры кристалла.

Нарушения в распределении электронной плотности, отклонения от нормальной периодичности в распределении зарядов или уровней энергии атома играют решающую роль в явлениях проводимости и люминесценции.

3. Симметрия кристаллов

Симметрия является одним из самых важных свойств кристаллов. Она отображает то или иное пространственное размещение частичек вещества в кристаллических решетках и их элементарных ячейках.

Под симметрией понимают способность любой геометрической фигуры или ее части переходить в положение, которое совпадает с первоначальным.

Симметрия описывается с помощью операций и элементов симметрии. Операцией симметрии называется такое преобразование, при котором точка, часть фигуры или вся фигура совпадает с другой точкой, частью фигуры или фигура совпадает сама с собой. Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция.

Операции и элементы симметрии I рода

Плоскость симметрии - это плоскость, которая делит фигуру на две части, расположенные друг относительно друга, как предмет и его зеркальное отражение, как правая и левая руки. Плоскости симметрии располагаются в симметричной фигуре строго определенно, и все пересекаются друг с другом.

Симметричное преобразование в центре симметрии - это зеркальное отражение в точке: каждая точка в фигуре отражается в центре так, что фигура как бы поворачивается при этом «с лица на изнанку».

При всех симметричных преобразованиях все расстояния между точками фигуры остаются неизменными, т.е. фигура не испытывает растяжения, сжатия или изгиба.

Отражение в плоскости, поворот вокруг оси симметрии, зеркальное отражение в центре симметрии представляют собой конечные, или точечные, симметричные преобразования. При этих преобразованиях фигура не перемещается как целое и хотя бы одна точка остается на месте.

В кристаллах возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4, 6. В кристаллах невозможны оси 5 порядка и порядка, большего 6-ти. Это ограничение обусловлено тем, что кристаллическое вещество - бесконечная система материальных частиц, симметрично повторяющихся в пространстве. Такие симметричные бесконечные ряды, сетки, решетки непрерывно заполняющие пространство, несовместимы с осями 5, 7-го или других порядков. Ячейки с осями симметрии 2, 3, 4, 6 заполняют плоскость непрерывно и симметрично. Но непрерывно заполнить плоскость пяти- или семиугольниками не удается - остаются дырки.

Операции и элементы симметрии 2-го рода

Инверсионная ось симметрии представляет собой совместное действие оси вращения и одновременного отражения (инверсии) в центре симметрии. Инверсионных осей порядка 5 или большего, чем 6, в кристаллах не может быть. Инверсионные оси обозначаются . Инверсионная ось 4 всегда является одновременно поворотной осью 2, ось 6 -- осью 3 (но не наоборот).

Зеркально-поворотная ось симметрии представляет собой совместное действие поворота вокруг оси симметрии и отражения в плоскости симметрии, перпендикулярной этой оси. В международной символике зеркально-поворотные оси не указываются, потому что все эти оси, возможные в кристаллах, можно заменить инверсионными осями симметрии.

Итак, приходим к окончательному выводу: внешняя, видимая симметрия кристаллов исчерпывающе описывается элементами симметрии и их сочетаниями.

Теоремы о сочетании операций симметрии

В симметричных многогранниках операции симметрии сочетаются друг с другом. Не все сочетания элементов симметрии возможны: так, например, ось 4 не может быть перпендикулярна оси 3 или осн 6. Два последовательно выполненных симметричных преобразования всегда могут быть заменены эквивалентным третьим преобразованием. Все возможные сочетания элементов симметрии четко ограничены несколькими теоремами о сочетании операций (или элементов) симметрии.

Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем угол поворота вокруг этой оси вдвое больше угла между плоскостями.

Теорема 2. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии.

Теорема 3. Если есть ось симметрии порядка п и перпендикулярно этой оси проходит ось 2, то всего имеется п осей 2-го порядка, перпендикулярных оси п-го порядка.

Теорема 4. Если есть ось симметрии п-го порядка и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется п.

Теорема 5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси симметрии, приводит к .появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.

Полное сочетание элементов симметрии кристаллического многогранника называется его классом симметрии, или точечной группой симметрии.

Кристаллографические категории, сингонии

Плоскости симметрии, оси симметрии простые и инверсионные, центр симметрии обнаруживаются в кристаллах в различных сочетаниях. Единственное, не повторяющееся в многограннике направление называется особым или единичным.

Категории

По симметрии и числу единичных направлений кристаллы делятся на три категории: высшую, среднюю и низшую.

Симметрия куба и октаэдра характерна для кристаллов высшей категории. Кристаллы высшей категории не имеют единичных направлений. У них обязательно есть несколько осей порядка выше, чем 2, в частности четыре оси 3, расположенные как пространственные диагонали куба. Это высокосимметричные кристаллы. Любому направлению в кристалле высшей категории соответствуют другие симметрично эквивалентные направления. Свойства кристалла в направлениях симметрично эквивалентных должны быть одинаковыми, поэтому анизотропия свойств в кристаллах высшей категории выражена слабее всего. Многие физические свойства (электропроводность, теплопроводность, показатель преломления) в этих кристаллах изотропны, как в аморфных веществах, а анизотропия других свойств (упругость, электрооптический эффект) гораздо слабее, чем у кристаллов других категорий. Внешняя форма кристаллов высшей категории, как правило, изометрична, т. е. развита примерно одинаково во все стороны, как куб, октаэдр, тетраэдр.

Кристаллы средней категории имеют одно особое направление, а именно: одна ось симметрии порядка выше, чем 2 (ось 3, 4 или 6-го порядка, простая или инверсионная). Анизотропия физических свойств у этих кристаллов гораздо сильнее, чем кристаллов высшей категории. Особенно заметно различие свойств вдоль и поперек главной оси симметрии. Характерные формы кристаллов средней категории -- призмы, пирамиды и др.

К низшей категории относятся кристаллы, у которых нет осей симметрии порядка выше чем 2, а единичных направлений несколько. Это наименее симметричные кристаллы с ярко выраженной анизотропией свойств.

Три категории, в свою очередь, делятся на 7 сингоний. В сингонию объединяются те кристаллы, для которых одинакова симметрия элементарных ячеек их структур и одинакова система координат.

В высшей категории имеется одна сингония -- кубическая. Это единственная сингония, симметрии которой отвечает обычная декартова система координат: а = b = с, б = в = г = 90°, элементарная ячейка -- куб. У кристаллов кубической сингонии обязательно есть четыре оси 3, расположенные как пространственные диагонали куба.

К средней категории относятся три сингонии:

тригональная -- главная ось симметрии 3 или 3; a=b=c; б = в =90°, г = 120°;

тетрагональная -- главная ось симметрии 4 или 4;а = b ? c; б = в = г = 90°;

гексагональная -- главная ось симметрии 6 или 6; а = b ? c; б = в =90°, г = 120°;

Главная ось симметрии в этих трех сингониях всегда принимается за ось 1, а оси X, У расположены в плоскости, перпендикулярной главной оси. Отрезки по осям X, У здесь одинаковы (a = b), поэтому метрика кристаллов средней категории характеризуется отношением с/а, являющимся материальной константой вещества.

К низшей категории относятся три сингонии: ромбическая, моноклинная и триклинная.

Классы симметрии

Классом, или видом, симметрии какого-либо объекта называют полную совокупность операций симметрии (иначе говоря, возможных симметричных преобразований) этого объекта.

Все многообразие симметрии кристаллических многогранников и их физических свойств описывается 32 классами симметрии.

Каждый из 32 классов симметрии обозначается специальным символом. Все символы основаны на теоремах о сочетании операций симметрии.

Решетки Бравэ

Материальные частицы (атомы, ионы, молекулы), образующие кристаллическую структуру, располагаются в пространстве закономерно, периодически повторяясь в строго определенных направлениях, через строго определенные промежутки. Геометрической схемой, описывающей расположение материальных частиц в кристалле, является пространственная решетка. Симметрия кристаллической структуры ограничивает число возможных решеток. Основные трансляции, а значит, и решетка, должны соответствовать симметрии структуры кристалла.

Точки пересечения трансляций, слагающих пространственную решетку, называются узлами. Узел может находиться как в промежутке между материальными частицами, так и в центре масс одной частицы или группы частиц. Если узел пространственной решетки символизирует группу частиц, то остальным узлам соответствуют такие же группы частиц.

Исходя из идеи о периодическом расположении центров масс сферических материальных частиц в кристаллическом веществе, О. Бравэ в 1848 г. показал, что все многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов решеток, отличающихся формами элементарных ячеек и симметрией и подразделяющихся на 7 кристаллографических сингоний. Эти решетки были названы решетками Бравэ. кристалл симметрия

Каждая решетка Бравэ -- это группа трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве. Любую кристаллическую структуру можно представить с помощью одной из 14 решеток Бравэ.

Для выбора ячейки Бравэ используют три условия:

1) симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла, точнее, наиболее высокой симметрии (т. е. голоэдрии) той син- гонии, к которой относится кристалл. Ребра элементарной ячейки должны быть трансляциями решетки;

2) элементарная ячейка должна содержать максимально возможное число прямых углов или равных углов и равных ребер;

3) элементарная ячейка должна иметь минимальный объем.

Эти условия должны выполняться последовательно, т. е. при выборе ячейки первое условие важнее второго, а второе важнее третьего.

Заключение

Идеальные кристаллы имеют геометрически правильное внутреннее строение и образованы в виде выпуклых многогранников с плоскими гранями и прямыми рёбрами. Однако в природе они образуются чрезвычайно редко и поэтому являются как бы идеализированными моделями.

Отклонения реальных кристаллических многогранников от идеальных вызываются неравномерным ассиметричным развитием граней.

Обычным приёмом при исследовании реальных кристаллов является их идеализация, т.е. превращение неидеального огранения в идеальную форму (конечно, только мысленно). При этом неравномерно развитые грани превращаются как бы в равные.

Отчего же происходит отклонение формы реальных кристаллических многогранников от идеальных форм? Объясняется это тем, что выросшие в природных условиях грани кристаллов очень часто не являются математически правильными плоскостями. Кроме того, на гранях реальных кристаллов всегда можно обнаружить различные виды так называемой «сложной скульптуры» в виде штрихов, бугорков роста или ямок растворения и т.д.

Физические свойства идеального кристалла определяются его химическим составом, силами связи между частицами и симметрией кристалла, т.е. категорией, сингонией, классом симметрии.

В реальных же кристаллах многие свойства существенно зависят не только от типа равновесной кристаллической структуры, но и от дефектов этой структуры - нарушений периодичности и равновесия.

Таким образом, существует непрерывный переход от идеально-правильного в геометрическом и физическом смысле кристалла к телам с полностью неупорядоченным расположением атомов. Так, реальные аморфные тела сохраняют определённую степень упорядоченности, поэтому часть реальных кристаллов примыкает к почти идеальным.

Список используемой литературы

1. Шубников А. В., Копцик В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., М., 1972;

2. Федоров E.С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М., 1951;

3. Ковалев О. В., Неприводимые представления пространственных групп, К., 1961;

4. Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968;

5. Современная кристаллография, т. 1 - Вайнштейн Б. К., Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии, М., 1979;

6. Галиулин Р. В., Кристаллографическая геометрия, М., 1984;

7. Шаскольская М.П. Кристаллография. М.: Высш. шк., 1976. 392 с.

Размещено на Allbest.ru