Распределение Пуассона и закон радиоактивного распада

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет - УПИ»

Теплоэнергетический факультет

Кафедра Прикладной Математики

РЕФЕРАТ

Распределение Пуассона и закон радиоактивного распада

Руководитель, доц., к.ф.-м.н

Ольга Анатольевна Чикова

Студент гр. Т-190601

Кизенков А.Ю.

Екатеринбург 2010

Содержание

Введение

1. Закон радиоактивного распада

1.1 Явление радиоактивности

1.2 Описание закона радиоактивного распада

1.3 Графическое изображение закона радиоактивного распада

2. Связь распределения Пуассона и радиоактивного распада

3. Распределение Пуассона

3.1 Определение закона Пуассона

3.3 Пример условия, при котором возникает распределение Пуассона

Заключение

Список литературы

Введение

Распределение Пуассона является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике. Многие задачи практики сводятся в конечном счете к распределению Пуассона, поэтому оно имеет важную роль в математических исследованиях. Его особое свойство, заключающееся в равенстве математического ожидания и дисперсии, часто применяют на практике для решения вопроса, распределена случайная величина по закону Пуассона или нет. Важен и тот факт, что закон Пуассона позволяет находить вероятности события в повторных независимых испытаниях при большом количестве повторов опыта и малой единичной вероятности, а эти задачи останутся актуальными.

На законе радиоактивного распада строится вся ядерная физика, а следовательно и ядерная энергетика--отрасль энергетики, занимающаяся получением и использованием ядерной энергии. Следовательно, закон радиоактивного распада особенно актуален в наше время, поскольку ядерная энергия--относительно новый и дешевый вид топлива.

Кроме того, радий и другие естественные радиоизотопы широко применяются для диагностики и лучевой терапии раковых заболеваний. Использование для этой цели искусственных радиоизотопов значительно повысило эффективность лечения. Также, знания о радиоактивности широко применяются в научных исследованиях, например радиоактивные метки, в микроколичествах введенные в физические или химические системы, позволяют следить за всеми происходящими в них изменениями.

Целью реферативной работы является изучение распределения Пуассона и закона радиоактивного распада, определение взаимосвязи между этими законами.

1. Закон радиоактивного распада

1.1 Явление радиоактивности

РАДИОАКТИВНОСТЬ--самопроизвольное превращение атомов одного элемента в атомы других элементов, сопровождающееся испусканием частиц и жесткого электромагнитного излучения. Историческая справка. Беккерель. Весной 1896 французский физик А.Беккерель сделал ряд сообщений об обнаружении им нового вида излучения (впоследствии названном радиоактивным), которое испускается солями урана. Подобно открытым за несколько месяцев до этого рентгеновским лучам, оно обладало проникающей способностью, засвечивало экранированную черной бумагой фотопластинку и ионизировало окружающий воздух. Гипотеза, которая привела к открытию радиоактивности, возникла у Беккереля под влиянием исследований Рентгена. Поскольку при генерации Х-лучей наблюдалась фосфоресценция стеклянных стенок рентгеновской трубки, Беккерель предположил, что любое фосфоресцентное свечение сопровождается испусканием рентгеновского излучения. Для проверки этого предположения он поместил различные фосфоресцирующие вещества на завернутые в черную бумагу фотопластинки и получил неожиданный результат: засвеченной оказалась единственная пластинка, с которой соприкасался кристалл соли урана. Многочисленные контрольные опыты показали, что причиной засветки явилась не фосфоресценция, а именно уран, в каком бы химическом соединении он ни находился. Свойство радиоактивного излучения вызывать ионизацию воздуха позволило наряду с фотографическим методом регистрации применять более удобный электрический метод, что значительно ускорило процесс исследований.

Естественные радиоактивные элементы испускают три вида излучений: альфа, бета и гамма. В 1899 Резерфорд идентифицировал альфа- и бета-излучение; спустя год П.Вийар открыл гамма-излучение.

Альфа-излучение. В воздухе при атмосферном давлении альфа-излучение преодолевает лишь небольшое расстояние, как правило, от 2,5 до 7,5 см. В условиях вакуума электрическое и магнитное поля заметно отклоняют его от первоначальной траектории. Направление и величина отклонений указывают на то, что альфа-излучение - это поток положительно заряженных частиц, для которых отношение заряда к массе (e/m) в точности соответствует дважды ионизированному атому гелия (He++). Эти данные и результаты спектроскопического исследования собранных альфа-частиц позволили Резерфорду сделать вывод о том, что они являются ядрами атома гелия.

Бета-излучение. Это излучение обладает большей проникающей способностью, чем альфа-излучение. Как и альфа-излучение, оно отклоняется в магнитном и электрическом полях, но в противоположную сторону и на большее расстояние. Это указывает на то, что бета-излучение является потоком отрицательно заряженных частиц малой массы. По отношению e/m Резерфорд идентифицировал бета-частицы как обычные электроны.

Гамма-излучение. Гамма-излучение проникает в вещество гораздо глубже, чем альфа- и бета-излучения. Оно не отклоняется в магнитном поле и, следовательно, не имеет электрического заряда. Гамма-лучи были идентифицированы как жесткое (т.е. имеющее очень высокую энергию) электромагнитное излучение. Разделение радиоактивного излучения в магнитном поле на альфа-, бета- и гамма-лучи схематично показано на рисунке.



1.3 Описание закона радиоактивного распада

В любом образце радиоактивного вещества содержится огромное число радиоактивных атомов. Так как радиоактивный распад имеет случайный характер и не зависит от внешних условий, то закон убывания количества N(t) нераспавшихся к данному моменту времени t ядер может служить важной статистической характеристикой процесса радиоактивного распада.

Пусть за малый промежуток времени Дt количество нераспавшихся ядер N(t) изменилось на ДN < 0. Поскольку вероятность распада каждого ядра неизменна во времени, что число распадов будет пропорционально количеству ядер N(t) и промежутку времени Дt:

ДN = -лN(t)Дt.

Коэффициент пропорциональности - это вероятность распада ядра за время . Эта формула означает, что скорость изменения функции прямо пропорциональна самой функции.



Подобная зависимость возникает во многих физических задачах (например, при разряде конденсатора через резистор). Решение этого уравнения приводит к экспоненциальному закону:

,

где N₀ - начальное число радиоактивных ядер при t = 0. За время ф = 1 / л количество нераспавшихся ядер уменьшится в e ? 2,7 раза. Величину ф называют средним временем жизни радиоактивного ядра.

Для практического использования закон радиоактивного распада удобно записать в другом виде, используя в качестве основания число 2, а не e:

Величина T называется периодом полураспада. За время T распадается половина первоначального количества радиоактивных ядер. Величины T и ф связаны соотношением

1.3 Графическое изображение закона радиоактивного распада

2. Связь распределения Пуассона и радиоактивного распада

распределение пуассон радиоактивный распад

Рассмотрим явление радиоактивного распада. Как известно, вероятность того, что один отдельный атом распадется на весьма малое время t₁, равна wt₁; вероятность того, что за это время распада не произойдет, равна 1-wt₁ . (Здесь w-постоянная, характеризующая данное радиоактивное вещество.)

Рассмотрим большой промежуток времени t. Найдем вероятность w(t) того, что в течение этого промежутка времени распада не произойдет. Для этого разобьем весь промежуток t на малые длительности t₁, t₂, t₃,…, t_n . Вероятность того, что распад не произошёл за промежуток t₁, равна

.

Вероятность w(t) равна произведению вероятностей того, что распад не произошёл ни за один из промежутков времени t₁, t₂, t₃,…, t_n . Поэтому,

.

Рассмотрим ln w(t). Ясно, что

.

Так как величины wt₁ , wt₂ ,…, wt_n малы по сравнению с 1, то логарифмы, стоящие справа, можно разложить в ряд. Ограничиваясь первым членом разложения, находим

.

Потенцируя, получаем

.

Таким образом, мы получили хорошо известный результат: отношение числа атомов, не распавшихся за время t, у первоначальному числу атомов есть .

Вероятность того, что атом не распадется за время t, обозначим через в, тогда . Вероятность б того, что за время t атом распадется, есть .

Если имеется n атомов, то вероятность w(m;n) того, что m из них распадется, а k=n-m не распадется, выражается формулой

где , .

Рассмотрим важный частный случай: пусть общее число радиоактивных атомов n весьма велико, а вероятность распада за время t весьма мала так, что наиболее вероятное число распадов за промежуток времени t-конечное число. Обозначим его через µ, тогда .

Итак, нас интересует какой вид примет формула

,

если n неограниченно увеличивается, б неограниченно приближается к нулю, а их произведение (как и m) остается конечным числом.

Рассмотрим множитель =; запишем его так:

Поэтому для весьма больших n при зафиксированном m будет

Теперь рассмотрим величину . Так как б-весьма малая величина, то в близка к единице. Однако, показатель степени n-m велик, поэтому, заменив на 1, мы можем допустить значительную ошибку.

Поэтому, поступим следующим образом:

=

так как величина близка к 1. Вспоминая, что находим

так как величина тем ближе к e, чем больше n.

Окончательно из уравнения при n>? находим

.

Закон, выраженный последней формулой, называется распределением Пуассона

Новое обозначение означает вероятность наблюдать m распадов, если наиболее вероятное число распадов есть µ, а число атомов n весьма велико, так что число распадов составляет малую долю числа атомов.

3. Распределение Пуассона

3.1 Определение закона Пуассона

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который носит название закона Пуассона.

Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, … , m, … , причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.

Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:

где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:

На рис. 1 представлены многоугольники распределения случайной величины Х по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а.



3.2 Основные характеристики распределения Пуассона

Убедимся, что сумма вероятностей w_µ (m) для всех зачений m равна 1, т.е. что

В самом деле,

Распределение Пуассона показывает, какова вероятность наблюдать m распадов , если наиболее вероятное число распадов есть µ, причем отдельные распады независимы, т.е. тот факт, что уже получено некоторое число распадов, не меняет вероятности получить ещё распад (для этого мы оговорили, что общее число радиоактивных атомов велико так, что µ<<n, m<<n).

В данной задаче рассматривается случай, при котором n число атомов, число опытов предполагается неограниченным. Следовательно, неограниченно и число актов распада. В принципе возможно, хотя и маловероятно, наблюдать любое, сколь угодно большое число распадов при одном и том же наиболее вероятном числе распадов µ.

Определим основные характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:

Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:

Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Однако, удобнее ее вычислять по формуле:



Поэтому найдем сначала второй начальный момент величины Х:

По ранее доказанному

Кроме того,

Следовательно,

Далее можно найти дисперсию случайной величины Х:

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию а.

Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против подобной гипотезы.

3.3 Пример условия, при котором возникает распределение Пуассона

Как я уже упомянул, многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки.

Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

1) Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок l зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределены на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность, т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины, через л.

2) Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или иного числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.

3) Вероятность попадания на малый участок Дх двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины l и рассмотрим дискретную случайную величину Х - число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут 0,1,2,…,m,… Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. данный ряд продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого надо подсчитать вероятность Рm того, что на отрезок попадет ровно m точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок Дх и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно лДх (т.к. на единицу длины попадает в среднем л точек). Согласно условию 3 для малого отрезка Дх можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание лДх числа точек, попадающих на участок Дх, будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в данных условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при Дх>0 можно считать вероятность того, что на участок Дх попадет одна (хотя бы одна) точка, равной лДх, а вероятность того, что не попадет ни одной, равной 1-cДх.

Воспользуемся этим для вычисления вероятности Р_m попадания на отрезок l ровно m точек. Разделим отрезок l на n равных частей длиной Условимся называть элементарный отрезок Дх "пустым", если в него не попало ни одной точки, и "занятым", если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок Дх окажется "занятым", приближенно равна лДх=; вероятность того, что он окажется "пустым", равна 1- . Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как n независимых "опытов", в каждом из которых отрезок может быть "занят" с вероятностью p=. Найдем вероятность того, что среди n отрезков будет ровно m "занятых". По теореме о повторных независимых испытаниях эта вероятность равна

или обозначим лl=a:

При достаточно большом n эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок l ровно m точек, т.к. попадание двух или больше точек на отрезок Дх имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того, чтобы найти точное значение Р_m, нужно перейти к пределу при n>?:

Учитывая, что

получаем, что искомая вероятность выражается формулой

где а=лl, т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром а=лl.

Надо отметить, что величина а по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок l.

Величина R1 (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок l попадет хотя бы одна точка: R1=1-e-a.

Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область. В нашем случае такой областью был отрезок l на оси абсцисс. Однако этот вывод легко можно распространить и на случай распределения точек на плоскости (случайное плоское поле точек) и в пространстве (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:

1) точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью л;

2) точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

3) точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д.,

то число точек Х, попавших в любую область D (плоскую или пространственную), распределяется по закону Пуассона:

,

где а - среднее число точек, попадающих в область D.

Для плоского случая, а=S_D л, где S_D - площадь области D,

Для пространственного, а= V_D л, где V_D - объем области D.

Для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности (л=const) несущественно.

Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все равно имеет место, только параметр, а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножением плотности л на длину, площадь или объем, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему.

Заключение

В данной реферативной работе были рассмотрены и изучены распределение Пуассона и закон радиоактивного распада, была определена связь между этими законами.

В ходе работы, я руководствовался учебными пособиями и интернет-изданиями.

Путем исследования данных законов, была обнаружена следующая взаимосвязь: распределение Пуассона является частным случаем закона радиоактивного распада, если общее число радиоактивных атомов n весьма велико, а вероятность распада за время t весьма мала так, что наиболее вероятное число распадов за промежуток времени t-конечное число.

Список литературы

1. Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис, Элементы прикладной математики, 3-е изд. М.: Физматлит, 1972

2. Е.С. Вентцель, Теория вероятностей, 4-е изд. М.: "Наука", 1969

3. А. Хальд, Математическая статистика с техническими приложениями, М.: Издательство иностранной литературы, 1956

4. О.П. Спиридонов, Фундаментальные физические постоянные. М.: Высшая школа, 1991

5. М.Г. Валишев, А.А. Повзнер, Курс общей физики, Спб.: «Лань», 2009

6. В.И. Григорьев, Г.Я. Мякишев, Силы в природе, М.: Наука, 1983

Размещено на Allbest.ru