Моделирование колебаний в электрических системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Д. СЕРИКБАЕВА

Кафедра «Техническая физика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: «Моделирование колебаний в электрических системах»

Выполнил: ст. гр. 09-ТФ-1

Павлова Анастасия

Руководитель: д.ф.-м.н., проф.

Томилин А.К.

Усть-Каменогорск, 2011

Содержание

1. Моделирование собственных затухающих колебаний в электрическом контуре

1.1 Теоретические сведения

1.2 Моделирование свободных затухающих колебаний в электрическом контуре

2.1 Теоретические сведения

2.2 Моделирование вынужденных колебаний в электрическом контуре под действием синусоидальной ЭДС

3. Исследование резонанса в последовательном и параллельном контурах

3.1 Теоретические сведения

3.2 Моделирование резонанса в последовательном контуре

3.3 Теоретические сведения

3.4 Моделирование резонанса в параллельном контуре

4. Параметрические колебания в электрических системах

4.1 Теоретические сведения

4.2 Моделирование параметрических колебаний в электрических системах

5.Свободные колебания в системе связанных электрических контуров

5.1 Теоретические сведения

5.2 Моделирование свободных колебаний в системе связанных электрических контуров

1. Моделирование собственных затухающих колебаний в электрическом контуре

1.1 Теоретические сведения

Электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкости С, катушки индуктивности L, сопротивления R и источника переменной э.д.с. E называют колебательным контуром. Если присоединить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока, (положение 1), то на его обкладках возникают разноименные заряды

? и + q . Между обкладками возникает электрическое поле. После замыкания ключа (положение 2) конденсатор будет разряжаться, в цепи возникает возрастающий, электрический ток I. В результате явления самоиндукции в катушке индуктивности будет наводиться Э.Д.С. самоиндукции , препятствующей росту тока. В результате, когда ток достигнет максимальной величины, конденсатор полностью разрядится, далее ток уменьшается, однако его уменьшению препятствует Э.Д.С. самоиндукций катушки, т.е. поддерживая ток в цепи до тех пор пока он не уменьшится до нуля. При этом конденсатор перезарядится, затем процесс повторяется в обратном направлении до завершения периода.

модель колебание электричество контур резонанс

Рис.1. Уравнение колебательного контура в общем виде:



Уравнение колебательного контура для случая свободных колебаний (E=0 - в контуре не действует других э.д.с., кроме э.д.с. электромагнитной индукции)

- коэффициент затухания; собственная циклическая частота колебаний контура; - период собственных колебаний.

Аналитическим решением этого уравнения является непериодическая функция

Решение уравнения методом половинного интервала дает следующую

систему:

Полученные в результате решения ДУ методом половинного интервала значения можно представить в виде таблицы:



t	I	t	q
t_0	I_0	I_0	I_0
	…

Таким образом, вычисление значений функций и проводится в точках, смещенных относительно друг друга на половину шага.

1.2 Моделирование свободных затухающих колебаний в электрическом контуре

Смоделируем колебательный контур со следующими параметрами:

Получим следующую зависимость напряжения на различных элементах контура от времени, по которому видно, что процесс происходит с затуханием из-за наличия в нем активного сопротивления. А напряжения на индуктивности и конденсаторе колеблются в противофазе.



Рис.2

Высчитать логарифмический декремент затухания можно теоретически и при помощи следующего графика.

Рис.3

Для более точного расчета декремента затухания используем не соседние амплитуды, а через 10 периодов и сравним его с теоретическим значением:

Погрешность вычислений составляет:

2. Моделирование вынужденных колебаний в электрических системах

2.1 Теоретические сведения

Как видно из предыдущей работы, колебания в реальном контуре всегда будут затухать из-за наличия в нем активного сопротивления, т.е. из-за потери энергии на нагревание проводников. Для получения незатухающих колебаний необходимо извне подводить энергию, компенсируя эти потери. Такие колебания будут вынужденными. Для осуществления подобных колебаний в колебательный контур включают источник напряжения, э.д.с. которого изменяется по гармоническому закону, например, по закону косинуса:

Где щв - циклическая частота э.д.с. включенного в контур источника тока. Уравнение такого колебательного контура можно получить, проводя аналогичные рассуждения, что и в случае затухающих колебаний. В результате получим:

Нетрудно видеть, что в левой части формулы стоит сумма падений напряжений на отдельных элементах контура в каждый момент времени, т.е. ее можно переписать в виде:



Разделим обе части равенства на L:

Аналитическое решение уравнения еще более сложно, чем для случая затухающих колебаний. В зависимости от ряда факторов (в частности, от величины активного сопротивления контура; соотношения частот що и щв) моно может иметь несколько решений. Решение методом половинного интервала дает следующую систему уравнений:

2.2 Моделирование вынужденных колебаний в электрическом контуре под действием синусоидальной ЭДС

Смоделируем вынужденные колебания для последовательного контура со следующими параметрами:

Рис.4

Получим следующие графики для заданных параметров контура:

Рис.5

Рис.6



По графику видно, что свободные колебания со временем затухают и в итоге останутся лишь вынужденные колебания в чистом виде (синусоидальная зависимость). Происходит переход двухчастотного процесса в одночастотный. Колебания напряжений на конденсаторе и индуктивности происходят в противофазе.

3. Исследование резонанса в последовательном и параллельном контурах

3.1 Теоретические сведения

Контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора, катушки, резистора и источника переменной э.д.с., изменяющейся по закону

называют последовательным (рис.4). Амплитуда тока для случая установившихся колебаний в такой цепи:

Максимального значения она достигает в момент, когда разность обращается в нуль, т.е. в том случае, когда частота щв вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательного контура. Это явление называется резонансом напряжений.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней э.д.с., называется резонансной кривой (или амплитудной резонансной кривой).

Величины и получили название реактивного сопротивления - соответственно ёмкостного и индуктивного, в отличие от сопротивления R, называемого активным, которым обладает любая цепь постоянного тока. Величина, стоящая в знаменателе, называется полным сопротивлением контура переменному току. Формула выражает закон Ома для переменного тока. Он справедлив только для амплитудных или действующих значений тока. Таким образом, цепь, состоящая из последовательно соединенных индуктивности, емкости и активного сопротивления, представляет для проходящего через нее переменного тока тем меньше сопротивление, чем ближе частота тока к резонансной.

Сдвиг фаз между током и э.д.с. источника (или разностью потенциалов на входе цепи):

зависит от соотношения напряжений на индуктивности и емкости, или, что то же самое, от соотношения реактивных сопротивлений.

При резонансе напряжения на индуктивности и емкости могут в несколько раз превышать напряжение входного сигнала (в нашем случае E). Отсюда становится понятным название явления - резонанс напряжений. Объясняется это тем, что напряжение источника при резонансе идет только на покрытие потерь в контуре. Напряжение на катушке и конденсаторе обусловлено накопленной в них энергией, значение которой тем больше, чем меньше потери в контуре. Можно показать, что отношение амплитуды напряжения на индуктивности или емкости при резонансе к амплитуде вынуждающей э.д.с. (или амплитуде входного напряжения), есть не что иное, как добротность контура:

Эта безразмерная величина показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости при резонансе превосходит входное напряжение

контура. Преобразуем приведенную формулу для случая малых затуханий:

Из последнего выражения видно, что добротность контура связана с его параметрами: она возрастает с увеличением индуктивности L и уменьшением сопротивления потерь R и емкости контура С.

3.2 Моделирование резонанса в последовательном контуре

Получим следующий график:

Рис.8

Из графика видно, что резонанс напряжений не зависит от сопротивления, а зависит от частоты вынуждающей ЭДС.

По формуле определим частоту вынуждающей силы при резонансе. Она равна 2400076,80 и сходится со значением на графике.

Определим добротность контура ,для трех сопротивлений:

;

;

С увеличением сопротивления уменьшается добротность контура.

3.3 Теоретические сведения

Рассмотрим явление резонанса в параллельном колебательном контуре, э.д.с. источника в котором меняется по закону

Рис.7

Обозначим активные сопротивления первой и второй ветви цепи через и

, а токи в них через и . Токи в этих ветвях (так называемые реактивные составляющие) изменяются по закону:

где , и определяются выражениями:

Сила тока в неразветвленной цепи представляет собой сумму токов и

где и - мгновенные значения токов. Амплитуда тока и сдвиг фаз:

Рассматриваемая задача упрощается, если активные сопротивления параллельных ветвей равны нулю:

Т.е. - токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда тока во внешней (неразветвленной) цепи в этом случае будет равна модулю разности амплитуд тока в параллельных ветвях:

Если частота вынуждающей э.д.с.

Явление резкого уменьшения силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные индуктивное и емкостное сопротивления, при приближении частоты внешней э.д.с. к собственной (резонансной) частоте колебательного контура, называется резонансом тока.

3.4 Моделирование резонанса в параллельном контуре

Получаем график резонанса токов:

Рис.9

По графику видно, что на частоте вынуждающей силы равной частоте собственных колебаний резко уменьшается сила тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные индуктивное и емкостное сопротивления, и достигает нулевого значения.

4. Параметрические колебания в электрических системах

4.1 Теоретические сведения

Периодическая внешняя сила может, однако, менять значения параметров. Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, изменяющей параметры системы, называются параметрическими. Человек, сам себя раскачивающий на качелях, возбуждает именно такой тип колебаний, поскольку приседая, он смещает положение центра инерции, тем самым увеличивая эквивалентную длину. Это все равно что при помощи некоторого моторчика менять длину математического маятника - параметр, от которого зависит период. Если опять-таки при помощи мотора менять с некоторой частотой расстояние между пластинами конденсатора в контуре (или вводить в катушку индуктивности ферритовый сердечник) то также получим параметрические колебания, поскольку варьируемый параметр С (или L) определяет период колебаний в контуре. Эти примеры параметрических колебаний показаны на (рис. 10). Отметим, что на практике перемещать верхнюю пластину вверх-вниз (например, при помощи кулачкового механизма), как это показано на рисунке, затруднительно, поскольку такое возвратно-поступательное движение не может обеспечить достаточно высокой частоты модуляции. То же относится к модуляции индуктивности при помощи погружения ферритового сердечника. Наиболее удачной механической системой модуляции емкости явился конденсатор, в котором пластины имеют форму крыльчатки вентилятора (рис. 11) и расположены параллельно друг другу на общей оси. Одна из пластин неподвижна (статор), а другая (ротор), соединенная с мотором, вращается с постоянной скоростью. Когда лопасти ротора и статора перекрываются (как на рис. 11), емкость максимальна. Современные параметрические контуры имеют конденсаторы, управляемые импульсными сигналами.

Рис.10

Рис.11

Для простоты будем считать конденсатор плоским, так что его емкость можно рассчитывать по формуле: , где S - площадь пластин, - электрическая постоянная, h - расстояние между пластинами. Пусть в момент t = 0 на пластинах возник заряд и соответствующая разность потенциалов . Увеличим расстояние между пластинами на Дh, емкость конденсатора при этом уменьшится и станет равной . При этом придется совершить работу против электрических сил, и энергия конденсатора увеличится на величину:

(1)

где м - глубина модуляции. Теперь конденсатор разряжается через катушку. Через четверть периода, когда заряд его исчезнет, снова сдвинем пластины (работа не совершается). Еще через четверть периода конденсатор перезарядится током самоиндукции, и процесс можно начать снова. Таким образом, меняя параметр (емкость), мы накачиваем энергию в систему и увеличиваем интенсивность ее колебаний. Так как за половину периода колебаний контура его энергия (вследствие затухания) уменьшается на величину:

(2)

то для раскачки требуется выполнение неравенства , т.е.

В реальных физических устройствах емкость меняется примерно по гармоническому закону:

( 3)

где щ_н - частота накачки, обычно равная удвоенной частоте свободных колебаний контура. Конечно, вместо емкости можно было бы менять и индуктивность.

Так как в таких системах параметры зависят от времени, то решение дифференциального уравнения системы сильно усложняется. Это уравнение остается линейным, но его коэффициенты становятся функциями времени.

Для решения подобного уравнения, необходимо привести его к уравнению

Матье, которое имеет вид:

(4)

через подстановки:

(5)

Уравнение запишется в виде:

(6)

Положения равновесия определяются по диаграмме Айнса-Стретта:

Рис.12 (Заштрихованы зоны устойчивости.)

4.2 Моделирование параметрических колебаний в электрических системах

Смоделируем параметрические колебания со следующими параметрами:

Использовав данные параметры, получим следующие диаграммы:

Рис.13

Отсюда заметим, что смещение фаз между током и зарядом составляет .

Рис.14

И активное сопротивление, при котором возникает установившийся процесс колебаний с постоянной амплитудой (энергетический баланс), равно 170 Ом.

Допустим, что емкость меняется по следующему закону:

Тогда дифференциальное уравнение будет выглядеть следующим образом:

Приведем его к стандартному виду уравнения Матье:

Пользуясь диаграммой Айнса - Стретта, подбираем параметры контура: L=12 мГн ; С0=8 пФ, по которым определим характеристики параметрического процесса в нерезонансном случае: =0,3 ; = 2,4 .Ан

Дополнительное задание. Аналогии между механическими и электрическими параметрическими колебаниями

Параметрическими называются колебания с изменяющимися в зависимости от времени параметрами. Такие колебания описываются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.

- уравнение механических параметрических колебаний.

- уравнение электрических параметрических колебаний.

Для того чтобы провести аналогию между механическими и электрическими параметрическими колебаниями необходимо величины обоих уравнений привести к безразмерным величинам, пользуясь методом, представленном в книге Седова Л.И. Методы подобия и размерности в механике.

Величины, численное значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными или хар ми величинами.

Период колебаний (характерное время):

- для механических колебаний при начальной длине

- для электрических колебаний

Обезразмерим время: теперь оно измеряется не в секундах, а в периодах.

- для механических колебаний

- для электрических колебаний

- количество периодов, безразмерное время

Аналогично:

(t) - длина в механических колебаниях (характерная длина, измеряется не в метрах, а в длинах)

- ускорение свободного падения, выраженное в характерных числах.

Подставив данные характерные числа в оба дифференциальных уравнения, получим:

- для механических колебаний,

- для электрических колебаний

Из этих уравнений видно, что два процесса (механический и электрический) считаются аналогичными при условии:



Это позволяет моделировать механические процессы при помощи электрических систем.

Пусть, например, безразмерная длина меняется по закону:

Тогда и закон изменения С должен быть аналогичным:

5.Свободные колебания в системе связанных электрических контуров

5.1 Теоретические сведения

В электродинамике аналогом двух связанных маятников является электрическая цепь, состоящая из двух колебательных контуров, связанных общей емкостью Ссв. В зависимости от ее подключения различают контуры с внешней (рис. 1, а) и внутренней (рис. 1, б) емкостной связью.

Рис.15

Связанные контуры используются в резонансных усилителях приемо-передающих устройств.

Рассмотрим два контура (рис. 1, а), слабо связанные через общую емкость С_св. Заметим, прежде всего, что в силу закона сохранения заряды соединенных между собой обкладок конденсаторов связаны между собой соотношением

Разобьем цепь на два контура и для указанного направления обхода запишем два уравнения, учитывая, что алгебраическая сумма падений потенциалов при обходе такого контура равна нулю:



(1)

Подставляя , и получаем

(2)

(3)

Объединим полученные уравнения в систему:

(4)

Перепишем систему для случая

(5)

В частности, в рассматриваемой цепи должны существовать два типа нормальных колебаний с частотами

(6)



типичная картина колебаний в связанных контурах имеет вид биений, которые выражены тем отчетливее, чем слабее связь. Как видно из (6) для частот нормальных колебаний, при слабой связи (Ссв>>С) биения происходят с частотой

(7)

где щ_о - собственная циклическая частота свободных колебаний в LC-контуре.

Как видно из (6), нормальные частоты при наличии связи являются различными (щ+?щ-), поэтому при возбуждении такой системы внешним периодическим воздействием характерное для резонанса возрастание амплитуды колебаний системы наблюдается при двух частотах - так называемый "двугорбый резонанс".

5.2 Моделирование свободных колебаний в системе связанных электрических контуров

Используем следующие параметры:



Рис.16

Заметим, что колебания происходят в виде биений с частотой Дщ (частота биений).

А значит, мы можем рассчитать период биений: . Для проверки эксперимента сравним теоретическое значение со значением определенным по данному графику: с. т.е. теоретическое и эксперементальное значения периода биений практический совпадают.

Размещено на Allbest.ru