Определение усилий в стержнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1



Тема: Определение усилий в стержнях.

Цель: Определить аналитическим и графическим способами усилия в стержнях заданной стержневой системы.

Оснащение: методические указания; алгоритм; карточки индивидуальных заданий.

Ход работы:

1) Ознакомиться с краткими теоретическими сведениями.

2) Ответить на контрольные вопросы.

3) Выполнить индивидуальное задание.

4) Оформить отчёт.

Связи и их реакции

Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела. Все тела делятся на свободные и связанные.

Свободные тела -- тела, перемещение которых не ограничено.

Связанные тела -- тела, перемещение которых ограничено другими телами.

Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.

Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей.

Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.

Принцип освобождения от связей: всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями.

Все связи можно разделить на несколько типов.

1. Гладкая опора (без трения)

Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре (рисунок 1).



Рисунок 1 - Гладкая опора

2. Гибкая связь (пить, веревка, трос, цепь)

Груз подвешен на двух нитях (рисунок 2).

Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.

Рисунок 2 - Гибкая связь

3. Жесткий стержень

На схемах стержни изображают толстой сплошной линией (рисунок 3).

Рисунок 3 - Жёсткий стержень



Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.

Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями.

4. Шарнирная опора

Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления.

Подвижный шарнир

Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемешаться вдоль направляющей (площадки) (рисунок 4).

равновесие стержневой шарнир вектор

Рисунок 4 - Подвижный шарнир

Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. к. не допекается только перемещение поперек опорной поверхности.

Неподвижный шарнир

Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее принято изображать в виде двух составляющих: горизонтальной R_X и вертикальной R_Y (рисунок 5).



Рисунок 5 - Неподвижный шарнир

5. Защемление или «заделка»

Любые перемещения точки крепления невозможны.

Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент M_R, препятствующий повороту (рисунок 6).

Реактивную силу принято представлять в виде двух составляющих вдоль осей координат

R = R_X + R_Y.

Рисунок 6 -- Заделка

Плоская система сходящихся сил. Равнодействующая сходящихся сил

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся (рисунок 7).



Рисунок 7 - Плоская система сходящихся сил

Различают плоскую систему сходящихся сил, когда линии действия всех данных сил лежат в одной плоскости, и пространственную систему сходящихся сил, когда линии действия сил лежат в разных плоскостях.

Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил (F_1; F₂; F₃; ...; F_n), n -- число сил, входящих в систему.

По следствию из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными в одной точке.

Равнодействующую двух пересекающихся сил можно определить с помощью параллелограмма или треугольника сил по четвёртой аксиоме (рисунок 8).

Рисунок 8 - Определение равнодействующей двух пересекающихся сил

Используя свойства векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил (рисунок 9). Вектор равнодействующей силы соединит начало первого вектора с концом последнего.

Рисунок 9 - Силовой многоугольник

При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.

Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называют геометрическим.

Замечание. При вычерчивании многоугольника необходимо обращать внимание на параллельность сторон многоугольника соответствующим векторам сил.

При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.

Если в системе три силы, образуется треугольник сил.



Проекция силы на ось

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рисунок 10).

Рисунок 10 - Проекция силы на ось

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

F_x = F·cos б.

Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рисунок 11).

Рисунок 11 - Направление вектора силы относительно оси

F_1Х = F₁·cos б₁ > 0; F_2Х = F₂·cos б₂ = -F₂·cos в₂; cos б₂ = cos(180° - в₂) = - cos в₂; F_3Х: = F₃·cos 90° = 0; F_4Х = F₄·cos 180° = -F₄.



Проекция силы па две взаимно перпендикулярные оси (рисунок 12).

F_Х = F·cos б > 0; F_Y = F·cos в = F·sin б > 0.

Рисунок 12 - Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геометрическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси (рисунок 13 а). Складываем проекции всех векторов на оси X и Y (рисунок 13 б).

Рисунок 13 - Определение равнодействующей геометрическим способом

R_X = F_ix + F_2x + F_3x + F_4Х; R_Y = F_iy + F_2Y + F_3y + F_4y;

R_X = У F_kX; R_Y = У F_kY.



Модуль (величину) равнодействующей можно найти по известным проекциям:

Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействующей с осями координат (рисунок 14).

Рисунок 14 - Определение направления вектора равнодействующей

Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим:

R = 0.

Условия равновесия в аналитической форме можно сформулировать следующим образом: плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на две взаимно перпендикулярные оси.

Система уравнений равновесия плоской сходящейся системы сил:

В задачах координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. Желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

Пример.

Дано: F₁ = 28кH; F₂ = 42кH; б₁ = 45°; б₂ = 60°; б₃ = 30°. Определить усилия S_A и S_С (рисунок 15).

Рисунок 15 - Заданная стержневая система

Решение:

1. Аналитическое решение:

а) рассматривает равновесие точки В, в которой сходятся все стержни и внешние силы (рисунок 15);

б) отбрасываем связи АВ и ВС, заменяя их усилиями в стержнях S_A и .S_c. Направления усилий примем от узла В, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке В (рисунок 16).

Рисунок 16 - Схема действия сил в точке В

в) выбираем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием, например с S_A. Обозначаем на схеме углы, образованные действующими силами с осью Х и составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

?F_ix = 0; F₂·cos75° + F₁·cos60° - S_А = 0;

?F_iу = 0; F₂·cos15° - F₁·cos30° - S_С = 0.

Из уравнений определяем усилия в стержнях;

S_А = F₂·cos75° + F₁·cos60° = 42·0,259 + 28·0,5 = 24,88 кН;

S_С = F₂·cos15° - F₁·cos30° = 42·0,966 + 28·0,866 = 16,32 кН.

Знаки указывают, что оба стержня растянуты.

2. Графическое решение

Выбираем масштаб сил m = 10 кН/см, тогда силы F₁ и F₂ будут откладываться отрезками

Из произвольно выбранной точки О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы F₁^m. Из конца этого отрезка откладываем отрезок F₂^m. Так как условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника, то из начала отрезка F₁^m откладываем линию, параллельную вектору S_С, а из конца отрезка F₂^m откладываем линию, параллельную вектору S_A. Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рисунок 17).

Рисунок 17 - Многоугольник сил

Измеряя отрезки S_A^m и S_C^m и, умножая их на масштаб, находим значение S_A и S_C:

S_A = S_A^m·m = 2,5·10 = 25 кН;

S_С = S_С^m·m = 1,62·10 = 16,2 кН.



Вычислим допущенную при графическом решении ошибку:

Ошибка должна находиться в пределах 2 %.

Ответ:

а) аналитическое решение: S_A = 16,32 кН; S_c = 24,88 кН;

б) графическое решение: S_A = 16,2 кН; S_С = 25 кН.

Контрольные вопросы

1. Как направлена реакция связи «жёсткий стержень»?

2. Как направлена реакция связи «неподвижный шарнир»?

3. Какая система сил называется сходящейся?

4. Как строится многоугольник сил?

5. Как направлен вектор равнодействующей в многоугольнике сил?

6. Сформулируйте условие равновесия плоской системы сходящихся сил.

7. Чем определяется проекция силы на ось?

8. Чему равна величина проекции силы на ось?

9. Сформулируйте условие равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме.

Задания для практической работы

Исходные данные приведены в таблице 1.

№ варианта	№ схемы	F1, кН	F2, кН	б1, град	б2, град	б3, град
1	1	9	20	45	30	90
2	2	10	22	30	45	60
3	3	11	24	90	60	30
4	4	12	26	60	30	60
5	5	13	28	30	30	30
6	6	14	30	60	60	45
7	7	15	32	30	30	60
8	8	16	34	45	45	30
9	9	17	36	60	60	30
10	10	18	38	30	45	45
11	1	19	40	30	60	60
12	2	20	42	60	30	30
13	3	21	44	30	30	30
14	4	22	46	45	60	60
15	5	23	48	60	30	30
16	6	24	50	30	45	45
17	7	25	52	30	60	60
18	8	26	54	45	30	90
19	9	27	56	60	30	60
20	10	28	58	30	45	30
21	1	29	60	30	60	60
22	2	30	62	60	30	30
23	3	31	64	30	45	45
24	4	32	66	45	60	30
25	5	33	68	60	30	45
26	6	34	70	30	30	60
27	7	35	72	60	45	90
28	8	36	74	30	60	60
29	9	37	76	45	30	30
30	10	38	78	60	45	60
31	1	39	80	30	60	30
32	2	40	82	30	30	45
33	3	41	84	45	90	60
34	4	42	86	60	45	30
35	5	43	88	30	90	45



Схема 1

Схема 2

Схема 3



Схема 4

Схема 5

Схема 6



Схема 7

Схема 8

Схема 9



Схема 10

Размещено на Allbest.ru