Электрический ток

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электрический ток и уравнение непрерывности

Электропроводность полупроводников

Особенности энергетических зон металлов, полупроводников и диэлектриков. Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике

В металлах валентная зона заполнена не полностью (они обладают низкой валентностью), рис. 4, в результате чего валентные электроны могут свободно перемещаться между атомами и, соответственно, концентрация свободных электронов чрезвычайно велика. Энергетический уровень, разделяющий заполненную и свободную части зон в металле, называют уровнем Ферми (в действительности - это поверхность). Формально уровень Ферми (F) можно определить как энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна ?. Ниже этого уровня преобладают электроны, выше преобладает свободное пространство (дырки).

Рис 4. Энергетическая диаграмма металла.

Полупроводники и диэлектрики отличаются шириной запрещенной зоны. В полупроводниках, как правило, запрещенная зона меньше и не превышает 3 эВ, поэтому для полупроводников вероятность разрыва валентных связей за счет теплового нагрева значительно больше, чем у диэлектриков и даже при комнатной температуре полупроводники могут обладать конечной электронной проводимостью. При этом собственная концентрация носителей заряда зависит от ширины запрещенной зоны и температуры. Уровень Ферми в собственных полупроводниках и диэлектриках лежит в середине запрещенной зоны. В отличие от металлов в идеальных собственных полупроводниках в середине зоны разрешенных уровней нет и, соответственно, не может быть электронов с такими энергиями, однако, если бы они были, то вероятность их заполнения была бы равна ?. Т.е. и в этом случае он указывает на то, какие состояния могут быть заполнены электронами, а какие нет. Действительно, валентная зона лежит ниже уровня Ферми - она заполнена электронами, зона проводимости находится выше уровня Ферми, вероятность ее заполнения электронами f_n<<1. Для собственной проводимости полупроводников и диэлектриков мы можем записать:

(13)

где А - величина, слабо зависящая от температуры, Ec и F - энергия дна зоны проводимости и уровня Ферми, Eg - ширина запрещенной зоны, k - постоянная Больцмана, T - значение абсолютной температуры (К). Энергетическая диаграмма для полупроводника, диэлектрика и металла на рис. 5 поясняет принятые энергетические обозначения.

Рис. 5. Энергетические диаграммы полупроводника и диэлектрика.

В дополнение к введенным обозначениям на рис. 5 через Фm обозначена работа выхода электрона из металла - это энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы он вышел в вакуум с нулевой кинетической энергией с уровня Ферми в металле (соответствующий уровень энергии обозначен E=0). По аналогии были приняты понятия для работы выхода из полупроводника (Фs) и диэлектрика (Фd), однако, поскольку в этих материалах нет на уровне Ферми электронов и ее можно только рассчитать, и чтобы подчеркнуть это, такую работу выхода называют термодинамической. Измерить можно энергию, которую нужно сообщить электрону, находящемуся в зоне проводимости, чтобы он вышел из кристалла. Эту энергию называют сродством к электрону, на рис.5 она обозначена ?_s и ?_i.

Как видно из формулы, собственная концентрация полупроводников (следовательно, и проводимость) очень сильно зависят от температуры. Концентрация, рассчитанная в соответствии с формулой 1 для диэлектриков, дает значение, близкое к 0 (в см^-3).

На рис. 6 показаны зависимости собственной концентрации от температуры для трех полупроводниковых материалов: германия, кремния и арсенида галлия.

Рис. 6. Зависимость собственной концентрации электронов от обратной температуры в Ge, Si, GaAs.

Свободные носители заряда, создающие электропроводность, движутся хаотически, сталкиваясь с атомами решетки и друг с другом. Поскольку их поведение напоминает поведение частиц газа, для их описания используют основные понятия молекулярно-кинетической теории газов, такие как: статистическую вероятность распределения электронов и дырок по энергиям, понятие длины свободного пробега, диффузии частиц и другие . Такой подход является приближенным, значительно упрощающим реальные процессы в твердом теле, поэтому приходится вводить целый ряд поправок, которые, с одной стороны, усложняют модель, с другой делают ее более соответствующей реальным процессам.

Прежде всего все изменения характеристик свободных носителей заряда происходят на очень малых расстояниях, сравнимых с расстояниями между атомами, составляющими несколько ангстрем, т.е. на расстояниях, много меньших длины волны света. Следовательно, эти процессы должны подчиняться основным закономерностям, описываемым квантовой физикой. Согласно квантовой физике энергия любых частиц микромира квантована.

Расчет концентрации носителей заряда. Собственная проводимость полупроводников

Как уже отмечалось, при переходе от изолированных атомов к твердому телу дискретные энергетические уровни в результате взаимодействия атомов расщепляются в зоны. Для специалистов в области полупроводниковой электроники представляют интерес только валентная и зона проводимости, образуемые валентными электронами. Валентная зона образуется из энергетических уровней валентных электронов, зона проводимости из их возбужденных состояний. Рис. 7 иллюстрирует образование зон для элементарных полупроводников четвертой группы периодической системы элементов Д.И. Менделеева. Поскольку элементы четвертой группы имеют четыре валентных электрона, при образовании химических связей в кристалле на валентной оболочке оказывается 8 электронов (см. рис. 3), и валентная зона оказывается полностью заполненной электронами, а зона проводимости полностью свободной. С увеличением атомного номера расстояние между зоной проводимости и валентной зоной (Eg) уменьшается и для свинца они перекрываются, поэтому он является металлом.

Рис. 7. Схема образования энергетических зон в кристаллах элементов четвертой группы периодической системы Д.И. Менделеева

Поскольку кристалл является квантовой системой, все процессы в нем имеют вероятностный характер и для расчета вероятности того, что в образце имеется какая то концентрация электронов с заданной энергией необходимо взять произведение концентрации уровней с заданной энергией на вероятность их заполнения в соответствии с (13). Вероятность заполнения энергетических состояний зависит от того, где находится в системе уровень Ферми. Если уровень Ферми находится вблизи энергетического уровня, для которого выполняется расчет, то используют статистику Ферми - Дирака. Если же уровень "Е" находится на значительном расстоянии от уровня Ферми, то можно воспользоваться статистикой Больцмана. В (14) входит распределение по энергиям плотности состояний, на которых могут находиться электроны. Это распределение зависит от свойств материала и определяется как расчетным, так и экспериментальным путем.

Для расчета числа электронов, способных создавать электрический ток, т.е. находящихся в зоне проводимости, необходимо рассчитать, сколько в зоне проводимости находится электронов, выполнив интегрирование по всей зоне. Однако, поскольку функция f(E) очень быстро спадает, то интегрирование ведут от Ec до бесконечности, представляя распределение состояний около дна зоны (аналогично около потолка) в виде : N(E) = 4?(2m_n/h²)^3/2(E-Ec)^1/2 , где m_n - эффективная масса электрона.

Для случая, когда уровень Ферми лежит в запрещенной зоне (полупроводник не вырожден), расчеты дают следующее выражение для концентрации свободных электронов (электронов в зоне проводимости):

(15)

где N_c(E) - эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

(15а)

Более подробно с выводом (14) и (15) можно познакомиться в книге К.В. Шалимовой "Физика полупроводников" М. Энергоатомиздат, 1983 г., стр. 100.

Для того, чтобы рассчитать концентрацию свободных дырок (число дырок в валентной зон), следует учесть, что вероятность нахождения дырки на энергетическом уровне равна 1 минус вероятность нахождения электрона: f_p(E) = 1 - f(e) и N_p(E) = 4?(2m_p/h²)^3/2(Ev-E)^1/2

(16)

где N_v(E) - эффективная плотность состояний в валентной зоне.

(16a)

Положение уровня Ферми в полупроводниках обычно определяют из условия электронейтральности, согласно которому рассчитанный через уровень Ферми суммарный положительный заряд должен равняться суммарному отрицательному заряду. Для собственного полупроводника этот расчет достаточно прост. Обозначим собственную концентрацию носителей при некоторой температуре n_i. Тогда:

Действительно, согласно расчету положение уровня Ферми при невысоких температурах - вблизи середины запрещенной зоны.

Рассчитаем произведение концентрации электронов и дырок:

(18)

Из (16) следует, что произведение концентраций электронов и дырок не зависит от положения уровня Ферми (зависит только от Eg), т.е. при при заданной температуре это - постоянная величина. Это значит, что если в равновесных условиях концентрация электронов увеличивается. то концентрация дырок уменьшается (и наоборот). Формула (16) подтверждает, что действительно концентрация носителей в собственных полупроводниках изменяется по экспоненциальному закону (см. рис. 6).

Рассчитав концентрацию носителей заряд в собственном полупроводнике, теперь возможно, используя (8), рассчитать его проводимость, обусловленную электронами и дырками.

(19)

Из (17) следует, что собственная проводимость экспоненциально зависит от температуры и определив показатель этой экспоненты, можно определить ширину запрещенной зоны материала. Слабые степенные зависимости от температуры подвижности и эффективной плотности состояний не вносят значительной погрешности.

Рис. 8. Зависимость собственной проводимости полупроводников от температуры

Легирование кристаллов донорной или акцепторной примесью, полупроводники "n" и "p" типа

Наличие в кристалле примесей и дефектов приводит к появлению в запрещенной зоне энергетических уровней, положение которых зависит от типа примеси или дефекта. Для управления электрическими свойствами полупроводников в них специально вводят примеси (легируют). Так введение в элементарный полупроводник IV группы периодической системы элементов, например Si, примеси элементов V группы (доноров) приводит к появлению дополнительных электронов и соответственно преобладанию электронной проводимости (n - тип), введение элементов III группы приводит к появлению дополнительных дырок (p-тип).

Рис. 9. Схема образования свободного электрона и заряженного донорного атома при легировании Si элементами V группы периодической системы.

На рис. 9 показана схема кристалла Si, в который введен фосфор (V группа). Элемент V группы имеет 5 валентных электронов, четыре из них образуют связи с соседними атомами Si, пятый электрон связан только с атомом примеси и эта связь слабее остальных, поэтому при нагреве кристалла этот электрон отрывается первым, при этом атом фосфора приобретает положительный заряд, становясь ионом. Энергия ионизации доноров, как правило не велика (0.005 - 0.01 эВ) и при комнатной температуре они практически все отдают свои электроны. При этом концентрация электронов, появившихся за счет ионизации доноров примерно равна концентрации введенных атомов примеси и значительно превосходит собственную концентрацию электронов и дырок n>>ni, поэтому такие материалы и называют электронными материалами (n-тип).

Введение донорной примеси приводит к увеличению концентрации электронов и соответственно смещению уровня Ферми к зоне проводимости (чем он ближе к ней, тем больше концентрация электронов). При этом в соответствии с (16) концентрация дырок уменьшается. Действительно используя (14) и (18) получим для области истощения примеси:

(20)

Действительно согласно (18) чем больше Nd, тем меньше расстояние между уровнем Ферми и зоной проводимости.

Рис. 10. Схема образования свободной дырки и заряженного акцепторного атома при легировании Si элементами III группы периодической системы

Рассмотрим, что происходит при введении в тот же Si элемента III группы, например B. Элемент III группы имеет 3 валентных электрона, которые образуют связи с соседними атомами Si, четвертая связь может образовываться, если к атому B перейдет еще один электрон от одного из его ближайших соседей, см. рис. 10. Энергия такого перехода не велика, поэтому соответствующий принимающий (акцепторный) электрон энергетический уровень расположен вблизи валентной зоны. При этом атом бора ионизуется заряжаясь отрицательно, а в том месте откуда ушел электрон образуется положительно заряженная дырка, которая может участвовать в переносе заряда.

Количество дополнительно появившихся дырок примерно соответствует количеству введенных акцепторных атомов и, как правило, значительно превосходит количество электронов, возникающих за счет переходов из валентной зоны, поэтому материал легированный акцепторной примесью является дырочным (p тип).

Введение акцепторной примеси приводит к увеличению концентрации дырок и соответственно смещению уровня Ферми к валентной зоне (чем он ближе к ней, тем больше концентрация дырок). При этом в соответствии с (18) концентрация электронов уменьшается. Действительно используя (17) и (20) получим для области истощения примеси:

(19)

Согласно (19) чем больше Na, тем меньше расстояние между уровнем Ферми и зоной проводимости.

Электропроводность легированных кристаллов

Введение легирующей примеси приводит не только к изменению электропроводности кристаллов в результате появления дополнительных носителей заряда, но и к изменению характера зависимости электропроводности от температуры. Электропроводность в общем случае зависит от концентрации электронов и дырок и их подвижности. При этом от температуры зависят как подвижности электронов и дырок, так и их концентрации. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Напомним, что эффективная подвижность определяется рассеянием на колебаниях решетки и рассеянием на ионизованной примеси, формула (10). Введение в небольших концентрациях примеси (обычно не более сотых долей процента) не оказывает значительного влияния на решеточное рассеяние, однако концентрация ионизованной примеси может изменяться в миллионы раз, естественно предположить, что при этом возрастет и степень рассеяния на ионах примеси при низких температурах. И тем не менее, основное изменение проводимости в легированных полупроводниках и, соответственно, характера температурной зависимости связано с изменением концентрации. Электропроводность в общем виде можно записать так:

Анализ соотношений (20) показывает, что концентрация изменяется экспоненциально в зависимости от положения уровня Ферми и температуры. Вообще уровень Ферми следует рассматривать как хороший индикатор процессов, происходящих с носителями заряда. Если уровень Ферми приближается к зоне проводимости, значит возрастает концентрация электронов и, соответственно,?_n, при этом концентрация дырок и, соответственно, ?_p падают.

Показанные на рис.11 диаграммы помогут понять, как с температурой изменяется уровень Ферми (а), концентрация носителей заряда (б), подвижность (в) и электропроводность (г).

В области высоких температур, там, где доминируют межзонные переходы и собственная концентрация носителей больше примесной n_i>>n_пр, полупроводник ведет себя как собственный (область I). В области низких температур (область III), там где примесь не ионизована, уровень Ферми должен находиться выше донорного уровня (вероятность заполнения электронами больше 1/2).

По мере того, как температура повышается, доноры отдают электроны в зону проводимости и постепенно полностью ионизуются (область II). Область II принято называть областью истощения примеси, поскольку все атомы доноров отдали свои электроны, а концентрация собственных электронов все еще очень мала, концентрация электронов в этой области остается постоянной и примерно равной концентрации примесных атомов. Именно эта температурная область и является основной областью работы значительной части полупроводниковых диодов и транзисторов.

Рис. 11. Диаграммы изменения с температурой положения уровня Ферми (А), концентрации носителей заряда (Б), проводимости (В), подвижности (Г)

Поскольку в области II концентрация носителей изменяется незначительно, то в электропроводности (кривая В) становится заметен вклад подвижности, что приводит к некоторому падению электропроводности с ростом температуры (что, вообще говоря, не характерно для полупроводников) в некотором интервале температур за счет доминирования рассеяния на колебаниях решетки и уменьшения подвижности с ростом температуры. Затем с повышением температуры имеет место переход к собственной проводимости, концентрация электронов и электропроводность начинают возрастать экспоненциально с температурой.

Рекомбинация электронов и дырок. Время жизни неравновесных носителей заряда

Взаимодействие электрона и дырки может приводить к их рекомбинации, в результате которой электрон возвращается в валентную зону, а энергия, затраченная на переброс электрона из валентной зоны в зону проводимости, выделяется в виде излучения или тепла. Если полупроводник находится в равновесных условиях, то число носителей заряда, возникающих в нем в результате тепловой генерации, равно числу носителей, исчезающих в результате рекомбинации и равновесная концентрация носителей не изменяется. Соответствующее кинетическое уравнение, характеризующее изменение концентрации носителей заряда, можно записать в следующем виде:

(21)

где G и U - соответственно, скорость генерации и скорость рекомбинации, n - концентрация электронов в данный момент времени, n₀ - равновесная концентрация электронов, G - генерационный член (число электронов, генерируемых в единице объема в единицу времени), ?_n - характеристическое время жизни, ?n - избыточная над равновесной концентрация носителей заряда. Решение этого уравнения имеет вид:

(22)

где A зависит от начальных условий. Аналогичные соотношения можно записать для дырок:

.(23)

В соответствии с (22, 23) константы ?_n и ?_p (время жизни электронов и дырок) можно определить как время, в течение которого концентрация неравновесных (избыточных) носителей заряда убывает в e раз. Поскольку мы говорим избыточных, следовательно, время измеряется после снятия возбуждения. Таким образом, время жизни характеризует длительность пребывания в разрешенной зоне неравновесных носителей заряда.

Существует несколько механизмов рекомбинации, часто говорят, каналов. Все эти каналы работают параллельно, поэтому существует некоторое эффективное время жизни, для которого, учитывая, что все каналы рекомбинации независимые, можно написать:

(24)

где ?_ef - эффективное время жизни электронов (или дырок), ?_i - время жизни, характеризующее i-й канал. Как видно из (22), если скорости рекомбинации по различным каналам значительно отличаются, то эффективное время жизни будет определяться тем каналом, для которого время жизни минимально.

На рис. 12 показаны две возможные схемы рекомбинации. Левая схема соответствует случаю, когда свободные электрон и дырка непосредственно рекомбинируют, сталкиваясь друг с другом, это так называемая межзонная рекомбинация. Она доминирует в том случае, когда концентрации свободных электронов и дырок велики, что имеет место в узкозонных материалах. В таких материалах как Ge, Si, GaAs доминирует рекомбинация через промежуточный уровень ловушки (правая схема на рис.12).

При рекомбинации через промежуточный уровень ловушка сначала захватывает носитель одного знака, предположим электрон (1), и заряжается отрицательно (2). Затем она захватывает носитель другого знака - дырку (3), которая рекомбинирует с локализованным электроном и переводит ловушку вновь в нейтральное состояние (4).

Рис. 12. Схемы рекомбинации электронов и дырок: межзонная (а) и чрез рекомбинационный уровень ловушки (б)

Таким образом, переход электрона из зоны проводимости в валентную зону происходит в два этапа: I - из зоны проводимости на рекомбинационный уровень, II - с рекомбинационного уровня в валентную зону (см. верхний рисунок).

На рисунке 13 показаны возможные процессы при взаимодействии носителей из разрешенных зон с ловушками: захват электрона (1) с последующей его рекомбинацией (2), захват дырки (3) с последующей ее рекомбинацией (4), эмиссия захваченного электрона (5), эмиссия захваченной дырки (6).

Рис. 13. Возможные процессы при взаимодействии носителей из разрешенных зон с ловушками.

После того как носитель был захвачен на ловушку, для него существует две возможности: быть выброшенным обратно в зону, из которой он пришел, прорекомбинировать с дыркой, которая захватывается заряженной ловушкой. Если процесс эмиссии преобладает над процессом рекомбинации, то такие уровни работают как уровни прилипания. После того, как носитель некоторое время находился в локализованном состоянии, он вновь становится свободным и может принимать участие в переносе заряда и, соответственно, электропроводности. Во втором случае носитель рекомбинирует и в процессах переноса заряда больше не участвует.

Размещено на Allbest.ru