Частотный (спектральный) анализ электрической цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

ХАБАРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

кафедра "Электротехника и электроника"

Курсовая работа

по курсу: “Теоретическая электротехника”

Тема: Частотный (спектральный) анализ электрической цепи

выполнил: ст-т гр. ПО-22

Ермаков О. М.

Проверил: Сухов Р.Л.

Хабаровск 2004

Часть 1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Требуется:

1.1. Составить уравнения состояния цепи для t і--0.

1.2. Найти точные решения уравнений состояния.

1.3. Найти решения уравнений состояния, используя по выбору студента один из численных методов. Вид решаемых уравнений:

2.1.4. Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

Решение:

1. Составление уравнений состояния

Составим уравнения по законам токов и напряжений Кирхгоффа

Для токов и напряжений

Подставим численные значения сопротивлений и решим эту систему

относительно переменных.



В матричной форме:

2. Точное решение уравнений состояния

Решение этой системы дифференциальных уравнений можно выразить через матрично-экспоненциальную функцию вида

Но так как F(t) при константа то решение приобретает вид

Таким образом решение сводится к нахождению матрично-экспоненциальной функции и начальных условий.

Для нахождения вида матрично-экспоненциальной функции сперва найдем собственные значения матрицы A. Для этого решим уравнение вида

Решением этого уравнения являются два числа

Разложим матрично-экспоненциальную функцию в ряд Тейлора

Для нахождения коэффициентов разложения воспользуемся собственными значениями матрицы A и решим систему уравнений

Решая систему, получаем:

Начальные условия находим из законов коммутации

Составим схему, которая была до коммутации

Из схемы видно, что:

Таким образом, матрица начальных условий принимает вид:

Подставляя все данные в конечную формулу, получаем:

Или

3. Численное решение уравнений состояния

Для решения этих дифференциальных уравнений воспользуемся методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом и системой математического моделирования Mathcad.

Результатом решения является таблица:

Где 1-й столбец - значения t

2-й столбец - значения тока на катушке

3-й столбец - значения напряжения на конденсаторе

Рис. 1.3 Графики точных и численных решений

Зависимость тока на катушке от времени



Зависимость напряжения на конденсаторе от времени

Часть 2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 2.1

спектральный электрическая цеп сигнал

рис. 2.1

рис. 2.2

Начальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса напряжения или тока, форма которого показана на рис. 2.2

Требуется:

2.1 Определить функцию передачи:

Символом p обозначена переменная Лапласа.

2.2. Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.

2.3. Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения или тока.

2.4. Определить изображение по Лапласу входного импульса.

2.5. Найти напряжение или ток на выходе цепи, используя Hi(p).

2.6. Построить на графике переходную и импульсную характеристики цепи, входной и выходной сигналы.

Решение:

1.Определение функции передачи

Составим уравнения по законам токов и напряжений Кирхгоффа

Для токов и напряжений

Проведем над этой системой прямое преобразование Лапласа. Получим:

Для токов и напряжений

Подставим численные значения сопротивлений и решим эту систему относительно

По определению, функция передачи равна

В данной задаче , а

Таким образом получаем, что функция передачи равна:

2. Нули и полюсы функции передачи

Нули функции передачи это результат решения уравнения

Решение этого уравнения (нули функции)

Полюсы функции передачи (значения, при которых она стремится к бесконечности) есть результат решения уравнения

Решение этого уравнения (полюсы функции)

3. Переходная и импульсная характеристика

Переходная характеристика показывает напряжение на выходе цепи при подаче на вход импульса в виде единичной функции величиной 0.25 A.

В операторной форме эта функция имеет вид

Проводя обратное преобразование Лапласа получим вид функции в временной области. Обратное преобразование проводим по теореме разложения.

По теореме разложения , где G(p) и H(p) числитель и знаменатель изображения соответственно, а pk - корни знаменателя.

Корни знаменателя

Подставляя все в формулу разложения и упрощая, получим

Импульсная характеристика показывает напряжение на выходе при подаче на вход импульса в виде дельта функции.

В операторной форме эта функция имеет вид



Проводя обратное преобразование Лапласа получим вид функции в временной области. Обратное преобразование проводим по теореме разложения.

По теореме разложения , где G(p) и H(p) числитель и знаменатель изображения соответственно, а pk - корни знаменателя.

Корни знаменателя

Подставляя все в формулу разложения и упрощая, получим

4.Изображение по Лапласу входного импульса

Входной импульс представляет фрагмент синуса, длительностью и частотой

Для аналитической записи воспользуемся единичной функцией. Тогда

Найдем изображение этой функции воспользовавшись прямым преобразованием Лапласа.

Разобьем этот интеграл на два

Таким образом, получаем что изображение входного сигнала равно

5. Найти напряжение на выходе цепи, используя Hi(p).

Для нахождения выходного импульса воспользуемся определением функции передачи.

По определению, следовательно

Таким образом, изображение выходного сигнала равно

Для нахождения оригинала воспользуемся следующим приемом. Разобьем изображение на две части (одна без экспоненты другая с ней):



Где

По свойству линейности

То есть, для нахождения оригинала нам необходимо вычислить два изображения и

По теореме разложения найдем

где - полюсы изображения

Тогда для нашего случая поучаем

Тогда, расписывая решение по формуле разложения, получаем

Рассмотрим второй оригинал

Тогда, по теореме запаздывания, и учитывая, что оригинал в отрицательный момент времени равен нулю, получим

Делая подстановки, получаем:

6. Построить на графике переходную и импульсную характеристики цепи, входной и выходной сигналы.

Переходная характеристика цепи



Импульсная характеристика цепи

Входной и выходной сигнал (пунктир - входной, сплошной - выходной)

Часть 3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

Анализу подлежит цепь, изображённая на рис. 2.1. Предначальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса напряжения или тока, форма которого показана на рис. 2.2.

Требуется:

1. Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функции передачи Hi(jw).

2. Определить полосу пропускания цепи по уровню 0,707 |H(jw)|макс.

3. Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Определить ширину спектра входного сигнала по уровню 0,1|i(jw)|макс.

4. Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Сверить эти качественные оценки с сигналом на выходе, полученным в п. 2.5.

5. Найти и построить амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.

6. Определить выходной сигнал по вещественной или мнимой частотной характеристике, используя приближённый метод Гиллемина.

1. Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функции передачи Hi(jw).

Функцию передачи данной схемы берем из второй части к.р.

Для исследования частотных характеристик цепи воспользуемся тем фактом, что необходимое нам преобразование Фурье есть частный случай преобразования Лапласа, когда действительная часть оператора Лапласа равна нулю ( ).

Таким образом, для получения спектральной характеристики цепи в виде комплексного ряда Фурье, нам необходимо произвести подстановку в функцию передачи .

АФХ представляет собой годограф и показывает значение спектральной характеристики на различных частотах. Для его построения необходимо, взяв разные значения частот нанести значения спектральной характеристики на комплексную плоскость, и соединить плавной кривой.

При

При

Амплитудно-фазовая характеристика цепи

Годограф показывает зависимость между амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристикой. Длина радиус-вектора проведенного из начала координат в точку годографа является значением АЧХ, а угол поворота - значением ФЧХ.

Из рис. 3.1 видно, что АЧХ схемы носит незатухающий, непериодический характер. Полоса пропускания схемы находится в области высоких частот. ФЧХ данной схемы всюду положительная, что говорит о том, что схема носит преимущественно индуктивный характер.

Для нахождения АЧХ данной схемы, воспользуемся тем фактом, что она определяется как модуль от функции передачи данной схемы при .

Из свойств модуля комплексной функции, следует

Амплитудно-частотная характеристика цепи

Для нахождения ФЧХ данной схемы, воспользуемся тем фактом, что она определяется как аргумент от функции передачи данной схемы при .

Из свойств аргумента, следует

Откуда получаем, что ФЧХ равно :

Фазо-частотная характеристика цепи

2. Определить полосу пропускания цепи по уровню 0,707 |H(jw)|.

Максимальное значение АЧХ |H(jw)|макс = . Уровень и обозначен на рис 3.2 пунктирной линией. Из графика видно, что полоса пропускания для данной схемы равна .

Выбор данного уровня не случаен. Понятие полосы пропускания схемы связанно с искажением формы сигнала при прохождении его через данную схему. Под искажением формы сигнала понимают именно искажение формы и не берут во внимание изменение амплитуды сигнала и его задержку в схеме.

Для определения полосы пропускания схемы предположим, что на вход схемы с функцией передачи подают сигнал , имеющий спектр . Сигнал на выходе имеет спектр .

Так как сигнал может отличаться от сигнала по амплитуде, положим в раз, и запаздывать на некоторое время , но по форме должен быть таким же, как и , то можно записать, что .

Проводя преобразование Фурье над функцией , получаем, что . Сравнивая полученное значение спектральной плотности выходного сигнала с полученным ранее, получаем, что .

Из всего этого следует, что для сохранения формы сигнала необходимо, чтобы модуль функции передачи был константой, а аргумент линейно изменялся от частоты.

В реальных схемах эти условия могут быть выполнены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которая называется полосой пропускания. Полоса пропускания ограниченна частотами, в которых отношение максимального значения к минимальному равно . Для этой частоты приближенно полагают, .

Таким образом, для того, чтобы сигнал прошел без искажения необходимо, чтобы его основные гармоники находились в полосе пропускания.

3. Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Определить ширину спектра входного сигнала по уровню 0,1|U(jw)|макс

Для исследования частотных характеристик входного сигнала воспользуемся тем фактом, что необходимое нам преобразование Фурье есть частный случай преобразования Лапласа, когда действительная часть оператора Лапласа равна нулю ( ). Таким образом, для получения спектральной характеристики входного сигнала в виде комплексного ряда Фурье, нам необходимо произвести подстановку в изображение входного сигнала . Изображение входного сигнала возьмем из второй части к.р.

Разложим экспоненту по формуле Эйлера

АЧХ входного сигнала равна модулю от спектральной характеристики

Амплитудной спектр входного сигнала

АФХ входного сигнала равна аргументу от спектральной характеристики



Фазовый спектр входного сигнала

Ширина спектра входного сигнала по уровню 0,1|i(jw)|макс составляет . На рис 3.4 уровень 0,1|i(jw)|макс обозначен пунктиром.

Уровень 0.1 выбирается из следующих соображений.

Из теоремы Рейли следует:

Таким образом, площадь квадрата модуля спектра напряжения деленная на , является энергией, рассеиваемой в активном сопротивлении 1 Ом данным напряжением.

Рассмотрим данные интегралы.

Ограничим ширину спектра по уровню 0.1

Таким образом в спектре содержится 99% энергии сигнала.

4. Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Сверить эти качественные оценки с сигналом на выходе, полученным в п. 5.

Сравнивая полосу пропускания схемы и ширину спектра сигнала , приходим к выводу о том, что сигнал пройдя через схему, сильно исказится и потеряет значительную часть энергии. В силу того что ФЧХ схемы добавляет смешение, не превышающие то форма сигнала примет более синусоидальный характер.

5. Найти и построить амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.

Для построения этих характеристик воспользуемся тем фактом что .

Амплитудный спектр данного сигнала находим из свойств модуля

Амплитудный спектр выходного сигнала

Фазовый спектр сигнала определяем из того факта, что



Фазовый спектр выходного сигнала

6. Определить выходной сигнал по вещественной или мнимой частотной характеристике, используя приближённый метод Гиллемина.

Для приближения используем мнимую частотную характеристику.

Ширина спектра выходного сигнала по уровню 0.1 максимального

Мнимая частотная характеристика выходного сигнала

Аппроксимируем данную функцию линейной аппроксимацией. Количество интервалов аппроксимации выбираем так, чтобы как можно точнее передать характер функции G(w).

В данном случае возьмем n=20.

Аппроксимация мнимой частотной характеристики выходного сигнала

Далее графически находим первую производную функции G(w).

Первая производная аппроксимации мнимой частотной характеристики выходного сигнала

По первой производной находим вторую производную

Вторая производная аппроксимации мнимой частотной характеристики выходного сигнала

Теперь получаем аппроксимацию временной функции используя следующею функцию:



Аппроксимация выходного сигнала методом Гиллемина

4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

Анализу подлежит цепь, изображённая на рис. 1, причём в цепи j(t) = 0. На вход цепи подана периодическая последовательность импульсов напряжения. Форма импульса показана на рис. 2.2, период c

Требуется:

4.1. Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить её амплитудный и фазовый спектры.

4.2. Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и её аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п. 2.3.3.

4.3. Используя рассчитанные в п. 2.3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

4.4. Построить напряжение или ток на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье.

Графики по пп. 2.4.2 и 2.4.4 построить на одном масштабе времени и разместить их на одном листе один под другим.

1.Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить её амплитудный и фазовый спектры.

Ряд Фурье периодической функции можно представить в виде

где - амплитуда i-й гармоники, -начальная фаза i-й гармоники.

- главная частота высчитывается по следующей формуле

T- период сигнала. рад/c

Количество гармоник необходимых для аппроксимации выбираем из условия, что частоты этих гармоник помещаются в ширину спектра сигнала.

n=19

- ширина спектра сигнала

Для нахождения амплитудных составляющих воспользуемся спектральной плотностью сигнала, найденной в 3-й части данной к.р.



Для нахождения начальной фазы также воспользуемся спектральной плотностью сигнала.

i	Ai	цi
1	0.060	0.785
2	0.106	0.000
3	0.129	-0.785
4	0.073	-1.571
5	0.100	-2.356
6	0.064	-3.142
7	0.027	2.356
8	0.000	1.571
9	0.014	-2.356
10	0.015	-3.142
11	8.574e-3	2.356
12	0.000	1.571
13	5.884e-3	-2.356
14	7.074e-3	-3.142
15	4.308e-3	2.356
16	0.000	1.571
17	3.298e-3	-2.356
18	4.134e-3	-3.142
19	2.610e-3	2.356



Амплитудный спектр входного сигнала

Фазовый спектр входного сигнала

3. Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

=

i	Ai	цi
1	1.280e-3	1.950
2	3.741e-3	0.856
3	5.484e-3	-0.135
4	3.411e-3	-1.055
5	4.863e-3	-1.932
6	3.175e-3	-2.783
7	1.382e-3	2.667
8	0.000	1.844
9	7.144e-4	-2.112
10	7.859e-4	-2.922
11	4.463e-4	2.557
12	0.000	1.755
13	3.079e-4	-2.186
14	3.708e-4	-2.984
15	2.262e-4	2.504
16	0.000	1.709
17	1.735e-4	-2.226
18	2.177e-4	-3.018
19	1.375e-4	2.473

Амплитудный спектр выходного сигнала



Фазовый спектр выходного сигнала

Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и её аппроксимацию отрезком ряда Фурье.

Входной сигнал и его аппроксимация

Построить напряжение или ток на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье

Выходной сигнал и его аппроксимация

Список используемой литературы

1.Электротехника/ Б.А. Волынский, Е.Н. Зейн, В.Е Шатерников: Учебное пособие для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1987. - 528 с.: ил.

2.Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил и др.: Учебник для вузов. Изд 4 - е, переработанное. - М.: «Энергия», 1975. - 752 с. с ил.

3.Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков: Учебник. - М.: Высш. школа., 1983. - 536 с., ил.

4.Курс электротехники и электроники / А.П. Молчанов, П.Н. Занадворов: Учебное пособие для вузов. Изд 3-е, переработанное. - М: «Наука», 1976. - 480 с., с ил.

Размещено на Allbest.ru