Математический маятник

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова

Кафедра естествознания и системного анализа

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ

ВВЕДЕНИЕ

Требования к выполнению и оформлению лабораторных работ

1.Определение варианта исходных данных для выполнения заданий осуществляется по последней цифре номера зачетной книжки. Номер варианта должен быть указан на титульном листе.

2. Варианты исходных данных содержатся в файле исходных данных, предоставляемом каждому студенту.

3. Отчеты по индивидуальным заданиям (заполненная рабочая тетрадь) выполняются в текстовом редакторе Word и отсылаются по электронной почте по адресу a.g.nikiforov@mail.ru

4.Необходимо указать все данные на титульном листе: студент, группа, факультет, преподаватель. 5. Файл отчета должен быть заархивирован архиваторами rar или zip 6. Имя файла должно содержать название группы и ФИО, например, "С(з)АиАХ61 Иванов А.А.".

7. При отсылке отчета в поле "Тема" повторить название группы и ФИО, например, "С(з)АиАХ61 Иванов А.А.".

8. В том случае, если работа не зачтена (имеются замечания) повторно отправлять только ответы на вопросы и замечания, или разместить ответы (если это возможно) на форуме. (в Web - портале ДО, адрес сайта http://sdo-astu.secna.ru).

9. Компьютерный лабораторный практикум, теоретические и методические материалы размещены в электронной библиотеке АлтГТУ (адрес электронной библиотеки http://elib.altstu.ru).

10. Отчеты должны быть высланы не позднее 30 ноября текущего года ( 16-18 неделя осеннего семестра) или 1 мая текущего года (16-18 неделя весеннего семестра). ПРИ НЕВЫПОЛНЕНИИ ПУНКТОВ 5, 6, 7 РАБОТЫ РАССМАТРИВАТЬСЯ НЕ БУДУТ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Цель работы: изучение законов колебания маятника; ознакомление с косвенными методами измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника.

Теория. Основные понятия и определения.

Измерение - сравнение измеряемой величины с ее известным значением, называемым эталоном. При этом за значение X измеряемой величины принимают число, показывающее, сколько раз в измеряемой величине содержится эталон.

Виды измерений. 1) Прямой метод измерения, когда показания измеряемой величины определяются непосредственно по шкале прибора. 2) Если физическую величину невозможно измерить с помощью приборов, то ее конечный результат находится по формуле через величины, определяемые в результате прямых измерений. Такой метод измерения называется косвенным.

Систематическая погрешность - обусловлена прибором, которым проводится измерение. Невозможно идеально изготовить прибор. Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Систематические погрешности скрыты в неточности самого инструмента и неучтенных факторах при разработке метода измерений. Обычно величина систематической погрешности прибора указывается в его техническом паспорте.

Случайная погрешность - обусловлена случайными факторами, которые, в свою очередь, могут быть вызваны различными причинами. С одной стороны это могут быть причины, не зависящие от измеряемой величины, например, состояние организма человека, наблюдающего за прибором, погодные и природные условия, состояние рабочего места и др. С другой - сама измеряемая величина может носить случайный характер.

Абсолютная погрешность - это Х модуль разности между измеренным значением Х и ее истинным значением

.

Истинное значение , вообще говоря, остается неизвестным. Однако с определенной вероятностью можно сказать, что оно находится в интервале

. (2)

Полная абсолютная погрешность измерения складывается из абсолютной систематической и абсолютной случайной погрешности.

Абсолютная систематическая погрешность измерения определяется тремя способами:

1) по классу точности прибора;

2) на приборе, как число с наименованием единиц величин, измеряемых прибором;

3) как половина цены наименьшего деления шкалы прибора.

Полная абсолютная погрешность Х находится путем сложения случайной и систематической погрешностей:

.

Относительная погрешность - погрешность средства измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к действительному значению измеряемой физической величины в пределах диапазона измерений.

Различают:

- относительную погрешность меры;

- относительную погрешность измерительного прибора;

- относительную погрешность измерительного преобразователя.

Обработка результатов прямых измерений. Полная абсолютная погрешность Х находится путем сложения случайной и систематической погрешностей:

.

1. Определение абсолютной систематической ошибки по классу точности прибора. Этот способ используется только для электроизмерительных приборов, например, для вольтметра, амперметра. Класс точности прибора, предназначенного для измерения физической величины Х, определяется следующим образом

, (3)

где наибольшее предельное значение величины Х, которое можно измерить данным прибором. Если известен класс точности прибора, то из соотношения (3) можно выразить абсолютную систематическую погрешность измерения

. (4)

Причем это значение не зависит от результатов измерений. Из формулы (4) видно, что систематическая погрешность тем меньше, чем меньше класс точности прибора. Класс точности прибора обозначается на приборе как число в десятичном формате (может быть обведено в кружок). Стандартом установлены семь классов точности приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Приборы классов 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 применяют для технических целей и называют техническими. Приборы классов 0,1; 0,2; 0,5 применяют для точных лабораторных измерений, а также для контроля технических. Их называют прецизионными.

2. Определение абсолютной систематической ошибки как числа с наименованием единиц величин, измеряемых прибором, используется для точных измерительных приборов, например, для штангенциркуля, микрометра.

В этом случае абсолютная систематическая погрешность указывается непосредственно на самом приборе как число с наименованием. Например, 0,1 мм на штангенциркуле, 5 г на весах.

3. Определение абсолютной систематической ошибки как половины цены наименьшего деления шкалы прибора используется для простых измерительных приборов, например для линейки. Точность прибора невозможно превзойти никаким методом измерения на нем.

Кроме абсолютной систематической погрешности существует абсолютная случайная погрешность ?Х_сл.

Случайная погрешность обусловлена случайными факторами, которые, в свою очередь, могут быть вызваны различными причинами. В любом случае за истинное значение величины Х принимают ее среднее значение Х_ср. Для этого проводят несколько измерений Х₁, Х₂, ... Х_n и рассчитывают Х_ср

, (5)

где n число измерений. Очевидно, что чем больше измеренные значения отличаются друг от друга, тем больший разброс имеет величина Х. Для того, чтобы оценить величину этого разброса, разработан специальный математический аппарат. Мы познакомимся только с результатами этих расчетов. Прежде всего, вычисляется стандартный доверительный интервал (среднее квадратичное отклонение)

. (6)

Для того чтобы определить величину случайной погрешности Х_сл, необходимо определить так называемую доверительную вероятность (надежность) . Это вероятность того, что значение измеренной величины окажется в интервале от ХХ до ХХ. Для того, чтобы учесть зависимость Х_сл от и n, вводится специальный коэффициент t_n, , называемый коэффициентом Стьюдента. Случайная погрешность определяется следующим выражением:

. (7)

Коэффициент Стьюдента можно определить по специальной таблице

Обработка результатов косвенных измерений.

Погрешность при косвенных измерениях находится двумя способами:

1. как полный дифференциал с последующей заменой дифференциалов соответствующими погрешностями;

2. путем логарифмирования и последующего дифференцирования расчетной формулы.

1. Определение погрешности косвенных измерений как полный дифференциал с последующей заменой дифференциалов соответствующими погрешностями. Если искомая величина является функцией нескольких переменных, например, f(x,y), то погрешность косвенных измерений можно определить по формуле:

. (9)

2. Определение погрешности косвенных измерений путем логарифмирования и последующего дифференцирования расчетной формулы.

Например, абсолютная погрешность в определении ускорения может быть найдена в результате логарифмирования и последующего дифференцирования соотношения .

Логарифмируем расчетную формулу:

ln а = ln 2 + ln h - ln t ².

Дифференцируем полученное выражение:

.

Заменяя дифференциалы на соответствующие им абсолютные погрешности величин прямых измерений, и учитывая, что независимо от знака дифференциалов, слагаемые берутся только со знаком «+», так как погрешность при измерении нескольких переменных может только увеличиваться, получим:

, .

Абсолютная погрешность измерения представляет собой необходимую информацию об измеряемой величине. Однако, она не всегда оказывается наглядной. Допустим, что X=5 см. Много это или мало? Если измеряется длина подошвы Х, то это много. Если Х это длина комнаты, то это немного. Если же Х расстояние между автобусными остановками, то это ничтожно мало.

Иначе воспринимается так называемая относительная погрешность

, (10)

которую можно выразить в процентах, если умножить на 100 %.

Математический маятник. Уравнение колебаний математического маятника.

Математическим маятником называется тело точечной массы m, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной l. Данная идеализированная модель является хорошим приближением системы (например шарик, подвешенный на нити), в которой размерами тела можно пренебречь.

На шарик действуют две силы: сила тяжести mg направленная вертикально вниз, и сила упругости N, направленная вдоль нити.

В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол ?, результирующая сил уже не будет равна нулю, и будет служить возвращающей силой.

Для того чтобы вычислить возвращающую силу, разложим силу тяжести на две составляющие:

нормальную mg cos ? , направленную вдоль нити, и

тангенциальную mg sin ? , направленную перпендикулярно нити по касательной к траектории шарика.

Нормальная составляющая силы тяжести уравновешивает силу упругости. Следовательно, возвращающей силой является тангенциальная составляющая силы тяжести. В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:

Знак «минус» в этой формуле означает, что тангенциальная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Уравнение имеет простое решение только при малых углах, когда

sin? =? (угол ? измеряется в радианах). Это условие реализуется, если смещение x мало по сравнению с длиной нити l.

Для малых углов уравнение преобразуется:

Смещение маятника от положения равновесия можно характеризовать как углом ?, так и величиной x, отсчитанной по дуге окружности радиуса l. Они связаны между собой: ?= x / l. Подставив эту формулу в выражение, получаем дифференциальное уравнение колебания математического маятника:

математический маятник колебание падение

Период математического маятника.

Из формулы (1.25), учитывая соотношения (1.9) и (1.7), можно получить выражение для частоты и периода математического маятника:

соответственно.

Как следует из этих формул, частота и период математического маятника зависят только от длины маятника и ускорения свободного падения и не зависят от массы маятника.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ЗАДАНИЯ

Ознакомиться с работой программы “Математический маятник”.

Задать значения длины нити L и угла отклонения нити в соответствии с вариантом исходных данных (стр.64, таблица 1). Заданные значения занести в таблицу 1.

Произвести не менее семи измерений времени t десяти полных колебаний математического маятника. Результаты измерений занести в таблицу 1.

Найти значения периода колебаний математического маятника (, где i - номер измерения). Найти среднее значение периода колебаний математического маятника .

Используя значения и , вычислить среднее значение ускорения свободного падения .

Записать систематические погрешности приборов и .

Вычислить случайную погрешность . Задать доверительную вероятность =0,95.

Вычислить абсолютные погрешности и (в качестве взять ).

Вычислить относительную погрешность .

Вычислить абсолютную погрешность .

Записать окончательный результат.

Сделать выводы по работе.

Ответить на контрольные вопросы.

ОТЧЕТ

Таблица 1.

ВЫВОДЫ

В результате выполнения данной работы ускорение свободного падения составило 9,33 м/с², при измерении с помощью математического маятника. Относительная погрешность составила 0,02%. Результат отклоняется от табличного значения на 4,7% и измерен с достаточной точностью.

Размещено на Allbest.ru