Прямолинейное неравномерное движение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прямолинейное неравномерное движение

Прямолинейное равномерное движение, т.е. движение с постоянной скоростью, не очень часто встречается на практике. Гораздо чаще приходится иметь дело с такими движениями, при которых скорость движения со временем изменяется. Такие движения называются неравномерными.

Неравномерно движутся обычно автомобили, самолеты и т.д.

Неравномерно движутся падающие тела, тела, брошенные вверх.

При неравномерном движении определять перемещение по формуле уже нельзя, потому что скорость в разных местах траектории и в разные моменты времени различна. Как же определить перемещение тела, а значит, и его координаты при неравномерном движении? Что такое скорость при неравномерном движении?

Скорость при неравномерном движении

Средняя скорость. В некоторых случаях, когда имеют дело с неравномерным движением, пользуются средней скоростью. Ее получают, разделив перемещение тела s на время, в течение которого оно совершено: .

Если, например, поезд, двигаясь по прямой, проходит 600 км за 10 ч, то это значит, что в среднем он за каждый час проходит 60 км. Но ясно, что какую-то часть времени поезд вовсе не двигался, а стоял на остановке; трогаясь со станции, поезд увеличивал свою скорость, приближаясь к ней - уменьшал ее. Все это при определении средней скорости мы не принимаем во внимание и считаем, что поезд каждый час проходил» по 60 км, каждые полчаса - по 30 км и т.д. Пользуясь формулой , мы как бы считаем, что поезд двигался равно мерно со скоростью 60 км/ч, вычислять перемещение поезда не за 10 ч, а за 2, 4 или 5 ч, то мы получим неверный результат. Средняя скорость за время 10 ч не равна средним скоростям за 2, 4 или 5 ч.

Таким образом, средняя скорость, вообще говоря, не позволяет вычислять перемещение, а значит, и координаты в любой момент времени.

Для вычисления положения тела в любой момент времени скорость все-таки нужно знать, но не среднюю, а так называемую мгновенную скорость.

Мгновенная скорость. Всякое движущееся тело обладает скоростью. С другой стороны, при своем движении по траектории тело проходит через все ее точки. А таких точек бесконечно много. Через каждую из них тело проходит в определенный момент времени. Таких моментов времени тоже бесконечно много. Выходит поэтому, что в каждый момент времени и в каждой точке траектории тело обладает какой-то скоростью. Вот эта скорость и называется мгновенной.

Мгновенной скоростью тела называется скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.

При прямолинейном равномерном движении скорость тела равна отношению его перемещения к промежутку времени, за который это перемещение совершено. Этому отношению равна и средняя скорость при неравномерном движении. Оно же поможет нам понять и смысл мгновенной скорости.

Допустим, что некоторое тело движется прямолинейно, но не равномерно. Нас интересует мгновенная скорость, например, в точке А его траектории. Выделим небольшой участок 1 на этой траектории, включающий точку А. Малое перемещение тела на этом участке обозначим через S₁, а малый промежуток времени, в течение которого оно совершено, через t₁. Разделив S₁, на t₁, мы получим среднюю скорость на этом участке; это именно средняя скорость, потому что скорость непрерывно изменяется, и в разных местах участка она разная.

Уменьшим теперь длину участка. Выберем участок 2, тоже включающий точку А. Перемещение теперь равно S₂ и совершает его тело за меньший промежуток времени t₂. На этом участке скорость успевает измениться на меньшую величину. Но отношение - дает нам и теперь среднюю скорость на этом меньшем участке. Еще меньше изменение скорости на протяжении участка 3, меньшего, чем участки 1 и 2. Разделив перемещение S₃ на промежуток времени t₃, мы опять получим среднюю скорость на этом малом участке траектории.

Будем продолжать уменьшать промежуток времени, за который мы рассматриваем перемещение тела. Вместе с ним будет уменьшаться и перемещение. В конце концов промежуток времени станет так мал, что можно будет пренебречь изменением скорости за это время. Участок траектории, пройденный за этот, совсем уже малый, промежуток времени как бы стянется в точку Л, а промежуток времени - в момент времени. Тогда-то средняя скорость и станет мгновенной скоростью тела в точке А.

Мгновенная скорость или скорость в данной точке, равна отношению достаточно малого перемещения на участке траектории, включающем эту точку, к малому промежутку времени, в течение которого это перемещение совершается.

Мгновенная скорость - это векторная величина. Направление вектора мгновенной скорости совпадает с направлением движения в данной точке. В дальнейшем, говоря о скорости неравномерного движения, мы будем иметь в виду именно мгновенную скорость.

О мгновенной скорости можно говорить ив случае равномерного движения. Разница только в том, что при равномерном движении мгновенная скорость в любой точке и в любой момент времени одна и, та же. При неравномерном же движении она в разных точках и в различные моменты времени различна.

Прием, к которому мы прибегли, чтобы пояснить смысл мгновенной скорости, состоит, таким образом, в следующем. Участок траектории, включающий интересующую нас точку и время, в течение которого он проходится, мы мысленно постепенно уменьшаем до тех пор, пока участок уже нельзя отличить от точки и неравномерное движение от равномерного. Таким приемом всегда пользуются, когда исследуются явления, в которых играют роль непрерывно изменяющиеся величины.

Ускорение, равноускоренное движение

При неравномерном движении мгновенная скорость тела непрерывно изменяется от точки к точке, от одного момента времени до другого. Как же вычисляется мгновенная скорость?

Мы видели раньше, что для вычисления координаты тела в любой момент времени нужно знать, как быстро она изменяется, т.е. каково ее изменение за единицу времени. Быстрота изменения координаты равна, как мы видели, проекции скорости на соответствующую координатную ось. Точно так же для вычисления скорости в любой момент времени нужно знать, как быстро изменяется скорость, на сколько она изменяется за единицу времени.

Равноускоренное движение. Для простоты мы будем рассматривать такое неравномерное движение, при котором скорость тела за каждую единицу времени и вообще за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Такое движение называют равноускоренным. Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называется равноускоренным движением.

Если в некоторый начальный момент времени скорость тела равна ₀, а через промежуток времени она оказывается равной , то, для того чтобы узнать, на сколько скорость изменилась за единицу времени, нужно взять отношение изменения скорости -₀ к промежутку времени . Это отношение и есть быстрота изменения скорости. Ее называют ускорением.

Ускорением тела при его равноускоренном движении называется величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло. Обозначают ускорение буквой а:

Так как ускорение равно отношению векторной величины -₀ на скалярную величину , то ускорение - величина векторная.

Если ускорение тела по модулю велико, это значит, что тело быстро набирает скорость или быстро теряет ее.

Зная начальную скорость тела _о и его ускорение а, можно найти скорость тела в любой момент времени. Действительно, из формулы следует, что

Единица ускорения. Так как , то модуль ускорения равен единице, если равен единице модуль изменения скорости -₀ и равен единице промежуток времени t. Поэтому за единицу ускорения в СИ принимается ускорение такого равноускоренного движения, при котором за 1 с скорость тела изменяется на 1 мс. В этот момент водитель нажимает на тормоз и автомобиль начинает двигаться с ускорением, по модулю равным 1,0 мс². В некоторый момент времени модуль скорости тела ₀ = 20 мс.

Двигаться так, как описано в этой задаче, могло бы, например, тело, которое толкнули вверх по наклонной плоскости.

Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Теперь мы должны выяснить самое главное - как изменяется координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении. Для этого, как мы знаем, нужно знать перемещение тела, потому что проекция вектора перемещения как раз и равна изменению координаты.

Формулу для вычисления перемещения проще всего получить графическим методом.

При равноускоренном движении тела вдоль оси X скорость изменяется со временем согласно формуле _x = +а_xt. Так как время в эту формулу входит в первой степени, то график для проекции скорости в зависимости от времени представляет собой прямую, как это показано на рисунке 37. Прямая 1 на этом рисунке соответствует движению с положительной проекцией ускорения, прямая 2 - движению с отрицательной проекцией ускорения. Оба графика относятся к случаю, когда в момент времени t = 0 тело имеет некоторую начальную скорость .

Перемещение выражается площадью. Выделим на графике скорости равноускоренного движения маленький участок аb и опустим из точек а и b перпендикуляры на ось t. Длина отрезка cd на оси t в выбранном масштабе равна тому малому промежутку времени, за который скорость изменилась от ее значения в точке а до ее значения в точке b. Под участком ab графика получилась узкая полоска abcd.

Если промежуток времени, соответствующий отрезку cd, достаточно мал, то в течение этого малого времени скорость не может заметно измениться движение в течение этого малого промежутка времени можно считать равномерным. Полоска abcd поэтому мало отличается от прямоугольника, а ее площадь численно равна проекции перемещения за время, соответствующее отрезку cd.

Но на такие узкие полоски можно разбить всю площадь фигуры, расположенной под графиком скорости. Следовательно, перемещение за все время t численно равно площади трапеции ОАВС. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. В нашем случае длина одного из оснований численно равна, другого-. Высота же трапеции численно равна t. Отсюда следует, что проекция s_x перемещения выражается формулой

Но т.к. , получаем

Если проекция _: начальной скорости равна нулю, то формула принимает вид:

.

При пользовании формулами и нужно помнить, что s_x, и могут быть как положительными, так и отрицательными - ведь это проекции векторов s, и на ось X.

Таким образом, мы видим, что при равноускоренном движении перемещение растет со временем не так, как при равномерном движении; теперь в формулу входит квадрат времени. Это значит, что перемещение со временем растет быстрее, чем при равномерном движении.

Как зависит от времени координата тела? Теперь легко получить и формулу для вычисления координаты х в любой момент времени для тела, движущегося равноускоренно. Проекция S_х вектора перемещения равна изменению координаты х-x_о. Поэтому формулу можно записать в виде

х-x_о=. Отсюда

х = x₀ +.

Из формулы видно, что, для того чтобы вычислить координату х в любой момент времени I, нужно знать начальную координату, начальную скорость и ускорение.

Формула описывает прямолинейное равноускоренное движение.

Другая формула для перемещения. Для вычисления перемещения можно получить и другую полезную формулу, в которую время не входит.

Из выражения получим выражение для времени

и подставим его в формулу для перемещения s_x, приведенную выше. Тогда получаем:

.

Отсюда

Эти формулы позволяют найти перемещение тела, если известны ускорение, а также начальная и конечная скорости движения. Если начальная скорость равна нулю, формулы принимают вид:

неравномерный движение скорость прямолинейный

.

Размещено на Allbest.ru