Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

внутренние источники теплоты отсутствуют;

среда, в которой распространяется тепло, однородна и изотропна;

используется закон сохранения энергии, который для данного случая формулируется так: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышедшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами (рисунок 2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей . Через площадку за время dt, согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты:

(2.14)

(grad T взят в виде частной производной, т.к. предполагается зависимость температуры не только от x, но и от других координат и времени).

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения:

, (2.15)

где - температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z.

Последнее уравнение можно представить в другом виде:

. (2.16)

Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно:

. (2.17)

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением:

, (2.18)

а в направлении оси x:

. (2.19)

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде:

. (2.20)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

, (2.21)

где - объем параллелепипеда;

- масса параллелепипеда;

c - удельная теплоемкость среды;

- плотность среды;

- изменение температуры в данной точке среды за время dt.

Левые части уравнения (2.20) и (2.21) равны, поэтому:

, (2.22)

Или

. (2.23)

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ; величину называют температуропроводностью и обозначают буквой a. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

. (2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля.

Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м²/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

, (2.25)

гдеq_{V -} удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

, (2.26)

Где r - радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

- полярный угол.

2.5 Краевые условия

геометрическая форма и размеры тела,

С учётом описанной в разделах 2.1 - 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R₁. Мощность источника P постоянна.

Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность является функцией одной переменной - расстояния от центра сфер (радиуса) r. По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной - радиуса r: T = T (r), а изотермические поверхности это концентрические сферы.

Таким образом искомое температурное поле - стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода:

T (R₁) = T₁, T (R₂) = T₂.

Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной - радиуса r. Неизвестные функции j (r) и T (r) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:

. (2.27)

В этом уравнении учтено, что вектор нормали к изотермической поверхности n параллелен радиус-вектору r. Поэтому производная может быть записана как .

Определим зависимость плотности теплового потока j от r. Для этого сначала вычислим тепловой поток q через сферу произвольного радиуса r > R.

. (2.28)

В частности, тепловой поток q₁ через внутреннюю сферу радиусом R₁ и тепловой поток q₂ через наружную сферу радиусом R₂ равны

(2.29)

Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P. Поэтому все они равны P и поэтому равны между собой.

. (2.30)

С учётом (2.28) и (2.29) это равенство можно записать в виде:

. (2.31)

Учитывая, что

,

получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r:

, (2.32)

где C₁ - это константа, определяемая формулой

. (2.33)

Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией.

Теперь, так как функция j (r) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T (r). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию , получим следующее дифференциальное уравнение:

. (2.34)

Данное уравнение решается методом разделения переменных:

.

Интегрирование этого выражения даёт:

Итак, функция T (r) имеет вид:

. (2.35)

Константы C₁ и C₂ можно определить из граничных условий T (R₁) = T₁, T (R₂) = T₂. Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C₁ и C₂:

. (2.36)

Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C₁:

,

Откуда

. (2.37)

С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде:

. (2.38)

Теперь первое граничное условие T (R₁) = T₁ даёт:

, (2.39)

откуда следует выражение для константы C₂:

. (2.40)

Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T (r):

. (2.41)

Зная функцию T (r), можно из закона Фурье

определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r:

. (2.42)

Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b, но зато плотность потока пропорциональна b.

3. Заключение