Моделирование жидкого гравитирующего шара в рамках общей теории относительности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Моделирование жидкого гравитирующего шара в рамках общей теории относительности

Введение

Проблема моделирования внутреннего гравитационного поля островных астрофизических источников и сегодня остается непростой задачей как с точки зрения физического, так и математического модельного подходов в рамках ортодоксальной общей теории относительности (ОТО).

В данной работе строится модель жидкого массивного шара с конкретным распределением плотности массы (энергии) в ОТО. Рассматриваемая модель является сферически-симметричной (отсутствует зависимость от угловых переменных) и статичной, т.е. нет зависимости от времени.

Уравнения Эйнштейна представляют собой нелинейную систему дифференциальных уравнений второго порядка. В данной работе была сделана попытка найти точное решение для заданной модели звезды, предполагая электронейтральность объекта.

1. Вывод теоретической части

Исходная метрика записывается в радиационных координатах Бонди:

, (1)

где и - метрические функции радиальной переменной , - временная координата, и - угловые переменны.

Модельное распределение плотности массы выбирается в виде

, (2)

Рисунок 1. Зависимость приведенной плотности массы от безразмерного радиуса

где - центральная плотность, - безразмерный радиус, - радиус шара, - параметр, с помощью которого можно изменять степень неоднородности в веществе.

Дальнейшее исследование связано с основными свойствами метрического тензора пространства-времени , который содержит в себе все сведения о внутренней кривизне пространства-времени.

(3)

Компоненты метрического тензора находим из уравнений Эйнштейна:

(4)

где , - тензор энергии-импульса идеальной паскалевой жидкости, - тензор Эйнштейна.

, (5)

где - тензор Риччи, - след тензора Риччи (скалярная кривизна).

Тензор энергии-импульса взят в приближении идеальной жидкости в виде:

(6)

На основе выше изложенного построили систему дифференциальных уравнений Эйнштейна:



(7, 8, 9)

где индекс показывает производную по функции. Система содержит три линейно-независимые дифференциальные уравнения, одно из которых - второго порядка.

Из первого уравнения системы (7) путем замены получаем уравнение на :

(10)

где . Решая дифференциальное уравнение (10) получаем:

(11)

Стоит отметить, что данные выкладки верны для любого распределения.

Вернемся к уравнениям Эйнштейна. Из незадействованных ранее двух уравнений (8) и (9) получим путем исключения давления одно уравнение осцилляторного типа. Для этого выразим метрическую функцию через и , и произведем замену переменных. В результате получим:

(12)

Введя замену

выражение при можно представить в виде . Затем домножим все выражение (12) на и преобразуем выражение при G к виду , где , а . Получившееся уравнение примет вид:

(13)

Осуществляя переход к новой переменной

и введя обозначение

получаем осцилляторное уравнение на функцию с переменной частотой .

(14)

2. Параболическое решение

Из полученного общего метода построим необходимое решение для заданного распределения.

Для этого подставим заданное распределение масс (1) в уравнение (11). Получим:

, (15)

Чтобы несколько облегчить понимание используемой модели, воспользуемся тем, что , разложим функцию в ряд Тейлора по степеням с точностью до четвертой степени:

(16)

Перейдем к функции :

, (17)

где .

Считаем функцию , как :

, (18)

Переходя к новой переменной ж по правилу:

, (19)

Получаем

,

где А и В некоторые числовые константы, и соответственно:

. (20)

В итоге решение уравнения (14):

, (21)

С точностью до числовых множителей хорошо известное параболическое решение. Рассмотрение этой системы не представляет особого интереса, так как функция - аналог частоты, не зависит от y. Без этой зависимости будут получаться только наборы параболических решений.

3. Решение с большим разложением

Для получения новых решений необходимо брать разложение в ряд Тейлора функции по большим степеням. Ограничимся шестой степенью:

(22)

Перейдем к функции :

, (23)

где .

Считаем функцию , как :

. (24)

В этом случае аналитически получить функцию ж не представляется возможным, т.к. интеграл (правило перехода) содержит члены третьего порядка по y.

Также в работе было рассмотрено, что при добавлении к (уравнение (16) ) небольшой добавки (порядка одного члена с в степени, не превышающей 6) решением уравнения (14) будет не тригонометрические функции (), а функции Эйри. Именно функции Эйри являются фундаментальным решением уравнения (14). В свою очередь функции Эйри могут быть переписаны через модифицированные функции Бесселя. Принципиальная структура выражения от этого не изменяется.

Зная решение на функцию получаем решения на остальные метрические функции , затем из 2ого уравнения Эйнштейна мы получаем давление. В получившееся решение подставляем параметры, близкие к параметрам реальной звезды (солнце, нейтронные звезды). На основе этих результатов убеждаемся в правдоподобии нашей модели.

На данном этапе решения функцию G(ж(y)) получаем численным образом. Пример программы и графики функции представлены в Приложении 1.

4. К вопросу о массе

К вопросу о распределении массы в заданном распределении плотности массы.

В ходе исследования модели немаловажной проблемой стало определение массы объекта. Так как плотность задана распределением (1), не является центральной плотностью массы. При стремлении параметра неоднородности к нулю, значение массы будет равно плотности .

С другой стороны, вычисляя массу как интеграл от плотности (площадь под графиком дельта-образного распределения (Рисунок 1) получим:



M-эффективное значение массы, которое зависит от радиуса звезды и от параметра неоднородности.

В дальнейшей работе будет сделана попытка аналитически взять интеграл (правило перехода (19)), необходимый для осуществления перехода к новой переменной ж(y), в случае, когда мы берем е разложение в ряд до шестой степени, методом разложение всего подынтегрального выражения в ряд Макларена.

Выводы

плотность эйнштейн масса

В проделанной работе получили следующие результаты:

· Построили систему уравнений Эйнштейна по заданному распределению.

· Построили несколько точных решений уравнений Эйнштейна.

· Построены графики зависимости метрических функций, график давления и заданного распределения плотности масс.

· Выяснено, что модель звезды наилучшим образом согласуется с наблюдаемыми нейтронными звездами.

· Систему уравнений Эйнштейна удалось свести к известному уравнению Риккати.

· Определено истинное значение массы моделированного объекта.

Вопросы оставшиеся не решенными:

· Не удалось решить уравнение Риккати, в силу трудности распределения.

· В точном решении (с разложенной в ряд Макларена до 6й степени по ) не удалось сделать замену переменных.

Список используемых источников

1. Баранов А.М. Об одном обобщении внутреннего сферически симметричного статического решения уравнения Эйнштейна с параболическим распределением плотности массы. / А.М. Баранов // -- Вестник Красноярского государственного университета (Физико-математические науки). -- 2004.

2. Баранов А.М. Осцилляторный подход к описанию статической звезды с нейтральной и заряженной идеальной жидкостью / А.М. Баранов // Вестник красноярского государственного университета (Физико-математические науки). -2002.-№1.-С.5-6

3. Дробов И.В. Об одной модели жидкого массивного шара в общей теории относительности / И.В. Дробов // Материалы научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков НКСФ-XXXIX (2010). - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2010. - с. 52.

4. Дробов И.В. Об описании модели жидкого гравитирующего шара в классе функций Эйри / И.В. Дробов // Сборник тезисов, материалы Семнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-17, Екатерининбург): материалы конференции, тезисы докладов. - Екатерининбург: издательство АСФ России, 2011. - с. 52 - 53.

5. Дьяконов В.П. MAPLE 7: Учебный курс. СПб.: Питер, 2002. -- 672 с.

6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем. -- 4-е изд., испр. -- М.: Наука: Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. -- 576 с.

7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 3-е изд., испр. и доп. -- М.: Высшая школа, 1967. -- 565 с.

8. Эйнштейн А. “Как создавалась теория относительности”. В кн. “Эйнштейновский сборник 1980-1981”. - Москва: Наука, 1985.

Приложение 1

Рис.1 Зависимость метрического интервала от расстояния до центра

Рис.2 Зависимость метрического интервала от расстояния до центра

Приложение 2

Рис.3 График давления в зависимости от расстояния

Рис.4 Зависимость плотности массы от расстояния

Размещено на Allbest