Механика и молекулярная физика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Механика и молекулярная физика

1. Свободные незатухающие колебания

Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити (или невесомом и нерастяжимом стержне), совершающая колебания под действием силы тяжести.

Физический маятник - любое твердое тело, подвешенное на закрепленной горизонтальной оси, проходящей через точку О, лежащей выше центра масс С этого тела, совершающее колебания под действием момента силы тяжести.

Только при малых колебаниях (когда ) угол между вертикалью и осью ОС меняется во времени по гармоническому закону:

,

где - циклическая частота колебаний. (g - ускорение свободного падения, d= OC - расстояние от центра масс до оси вращения, I - момент инерции твердого тела относительно оси вращения). - максимальный угол отклонения нити от вертикали (амплитуда колебаний). - начальная фаза колебаний.

Для системы твердых тел, совершающих колебание как единое целое, при расчете циклической частоты необходимо учесть, что , , где и - массы и моменты инерции каждого тела в отдельности. Также необходимо рассчитать расстояние d от центра масс СИСТЕМЫ ТЕЛ до оси вращения. Для математического маятника формула для циклической частоты выглядит так:

,

где l - длина нити или стержня.

Чтобы найти угловую скорость вращения физического или математического маятников, надо взять производную от угла по времени:

.

Маятник будет иметь максимальную угловую скорость (амплитуду угловой скорости) при прохождении им положения равновесия, когда =0 (нижняя точка траектории).

Пружинный маятник - твердое тело массой m, прикрепленное к пружине жесткости k, совершающее гармонические колебания под действием силы упругости. Тело может быть в покое, находясь в положении равновесия. Уравнение колебаний такого маятника выглядит так:

,

где х - смещение тела из положения равновесия,

А - амплитуда или максимальное смещение из положения равновесия,

- циклическая частота колебаний пружинного маятника,

- начальная фаза колебаний.

Для нахождения скорости тела надо взять производную от х по времени:

.

Тело будет иметь максимальную скорость (амплитуду скорости) при прохождении им положения равновесия, когда х = 0.

Энергия пружинного маятника складывается из кинетической энергии тела и энергии деформации пружины .

В отсутствие диссипативных сил в системе энергия маятника остается постоянной.

Период колебаний связан с циклической частотой: .

Частота колебаний .

Для физического маятника , .

Для математического маятника , .

Для пружинного маятника , .

2. Затухающие и вынужденные колебания. Сложение колебаний

Если маятник любого типа находится в вязкой среде, то колебания такого маятника будут затухающими (или вообще могут не возникнуть).

Кинематическое уравнение затухающих колебаний для пружинного маятника выглядит так:

,

где - амплитуда колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону (не путать с максимальным отклонением от положения равновесия!), - начальная амплитуда колебаний (не путать с начальным смещением из положения равновесия!),

- коэффициент затухания, характеризующий скорость уменьшения амплитуды (, где - время релаксации, или время, за которое амплитуда уменьшится в е раз, где е = 2,72 - основание натурального логарифма).

- циклическая частота затухающих колебаний, где - циклическая частота колебаний в отсутствие вязкой среды (без диссипативных сил). Видно, что если , то действительного значения для не существует, то есть колебания не возникают (слишком вязкая среда, например, мед или дёготь).

Период затухающих колебаний .

Логарифмический декремент затухания характеризует уменьшение амплитуды колебаний за один период.

Все вышесказанное относится к математическому и физическому маятникам, кроме переменной - вместо смещения х надо рассматривать угловое смещение :

Если к пружинному маятнику приложить внешнюю гармоническую силу , то маятник будет совершать вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы по закону:

,

где - амплитуда вынужденных колебаний.

- отставание по фазе смещения от внешней силы.

Если затухание колебаний мало , то выражение для амплитуды упростится: , = 0.

Если к физическому или математическому маятнику приложить внешний момент сил , то уравнение вынужденных колебаний будет таким:

,

где - угловая амплитуда вынужденных колебаний,

- отставание по фазе углового смещения от внешнего момента силы. При : , = 0.

Если пружинный маятник прикреплен к точке, которая сама совершает гармонические колебания с той же частотой, то уравнение результирующих колебаний маятника легко найти методом фазовых (или векторных) диаграмм:

,

где - амплитуда результирующих колебаний. При этом, если одно из колебаний происходит по синусоидальному закону, нужно проделать тригонометрическое преобразование: или .

3. Специальная теория относительности

и - координаты и момент времени события в лабораторной системе отсчета (-система), и - координаты и момент времени события в системе, движущейся поступательно со скоростью относительно лабораторной системы отчета (-система). Оси х и направлены вдоль скорости , ось совпадает с осью , а ось - с осью . Используя прямые преобразования (1) и (2), получим:

- промежуток времени между двумя событиями, наблюдаемыми в -системе.

- разность координат точек в -системе, в которых произошли два события.

- промежуток времени между теми же событиями в -системе; - разность координат точек в -системе, где произошли эти события.

Аналогичные формулы можно получить при использовании обратных преобразований (в этом случае в числителе надо знак «+» заменить на «-» и величины со штрихами заменить на величины без штрихов).

Преобразование скоростей в теории относительности:

Прямое преобразование ;

Обратное преобразование ,

где - проекция скорости частицы на ось х в -системе, а - проекция скорости частицы на ось в -системе.

- продольный размер движущегося со скоростью тела уменьшается ( - продольный размер тела в покое).

- длительность любого процесса при движении увеличивается ( - длительность процесса в покое).

Полная энергия релятивистской частицы с массой , движущейся со скоростью равна , энергия покоя , а кинетическая энергия равна .

Связь между полной энергией частицы и ее импульсом определяется четырех-вектором энергии-импульса:

.

незатухающий колебание вращение идеальный

4. Работа идеального газа

Работа идеального газа равна

.

При расширении работа газа положительна, при сжатии - отрицательна.

Чтобы получить функцию давления в зависимости от объема, надо использовать совместно с уравнением процесса уравнение Менделеева-Клапейрона

5. Теплоемкость

Теплоемкость газа равна - теплота, необходимая для нагревания тела (газа) на один Кельвин.

Зная теплоемкость, можно определить теплоту, переданную газу при нагревании:

Если задана зависимость теплоемкости от температуры в виде графика, то теплота есть площадь под кривой .

Изменение внутренней энергии идеального газа равна

,

где - число степеней свободы молекулы. При не очень высокой и не очень низкой температуре (когда возбуждены вращательные степени свободы, но не возбуждены колебательные степени свободы) i = 3 для одноатомного газа, i =5 для двухатомного газа, i = 6 для трех- и (более) - атомного газа.

Первое начало термодинамики:

теплота, переданная газу от нагревателя, идет на увеличение внутренней энергии газа и на совершение эти газом работы. Если внутренняя энергия газа при этом уменьшается, то .

Политропический процесс - процесс с постоянной теплоемкостью.

6. Энтропия

Приращение энтропии равно

.

Таким образом . Если задана функция энтропии в зависимости от температуры, надо взять дифференциал от этой функции, потом умножить на Т, а затем интегрировать.

Если дана зависимость температуры от энтропии в виде графика, то теплота, полученная газом определяется, как площадь под кривой (см. рис.).

Если задана зависимость энтропии от температуры в виде графика, то теплота равна площади слева от кривой .

Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклическому процессу, - это отношение работы рабочего тела (газа), произведенной за один цикл и теплоты, полученной за один цикл рабочим телом (газом) от нагревателя.

Размещено на Allbest.ru