Принципы квантовой механики

Квантовая (волновая) механика пытается объяснять как корпускулярные, так и волновые свойства вещества. Волна любой природы полностью описывается её амплитудой и фазой, поэтому квантовая механика должна использовать именно такое описание. Функция волнового процесса представляет собой суперпозицию комплексных экспонент, взятых с определёнными весами (амплитудами). Отсюда описание системы (вообще любой, но актуально только микроразмерной) комплексной волновой функцией, амплитуда и фаза которой полностью определяют состояние такой системы. Это описание позволяет естественным образом описывать волновые явления, такие, как интерференцию элементарных частиц или дифракцию электронов на кристаллической решетке (в классической физике эти свойства присущи исключительно волнам, а состояние частицы характеризует значение ее координат и импульса в данный момент времени). Одно из отличий квантовой механики от обычной заключается в том, что вероятность обнаружить электрон в данном месте ещё не полностью определяет его состояние. Для описания состояния электрона используется комплексная вероятность. Волновая функция и есть значение этой комплексной вероятности. Плотность вероятности обнаружения электрона в данной точке равна квадрату модуля комплексной вероятности (см. формулу 1.3). Комплексность приводит к эффекту интерференции. Практически интерференция наблюдалась для фотонов, электронов и некоторых атомов. Другим необычным свойством электронного «облака» является его неподатливость. Если со всех сторон начать сдавливать это облако, стремясь уменьшить его размеры, то оно станет оказывать всё большее и большее давление. Т.е. попытка ограничить размеры вероятного положения электрона приводит в пределе к бесконечному сопротивлению. Можно представить себе этот процесс, словно электрон начинает метаться по облаку, и чем меньше его размеры, тем сильнее он мечется, т.е. тем больше его кинетическая энергия. Однако такие представления в квантовой физике не могут быть чем-то большим, чем попыткой изобразить процесс. При экспериментах полной аналогии не наблюдается. Напрашивающийся вывод: квантовые частицы - не частицы и не волны, а нечто третье. Другими словами, если мы пытаемся насильно избавить электрон от неопределённости в координате (придать ему чисто корпускулярные свойства), то мы неизбежно увеличиваем неопределённость в импульсе электрона (т.е. стремимся сделать его чистой волной). Все вышесказанное было сформулировано в «принцип неопределенности Гейзенберга»: положение электрона в атоме неопределенно, невозможно одновременно точно определить и скорость электрона и его координаты в пространстве.

- электрон может находиться на любом расстояние от ядра;

- вероятность его нахождения в разных местах атома различна;

- поэтому вводится понятия электронное облако, орбиталь, уровень, подуровень.

Чем определеннее координата микрочастицы, тем менее определенным является импульс и наоборот. Гейзенберг установил, что произведение этих двух неопределённостей никогда не бывает меньше конкретной величины -постоянной Планка.

(2.1)

Х - координаты микрочастицы;

Р - импульс микрочастицы;

h - постоянная Планка.

Это соотношение называется соотношением неопределённостей. Аналогичные соотношения неопределённостей связывают и некоторые другие характеристики микрочастицы. Такие характеристики частицы называются дополнительными друг к другу. Общее словесное описание этого закона таково: создавая всё большую определённость в какой-либо одной характеристике частицы, природа уменьшает определённость в дополнительной ей характеристике. Такое «квантовое дрожание» (обычно говорят нулевые колебания) локализованной микроскопической частицы неустранимо, и именно оно приводит к некоторым чисто квантовым явлениям. Например, даже при нулевой температуре, когда, согласно классической механике, никакого движения не должно быть, нулевые колебания по-прежнему остаются. Именно из-за этого жидкий гелий не затвердевает при нормальном давлении даже при нулевой температуре по Кельвину.

Вышеописанное свойство электронного облака сразу же меняет понятие наблюдения за микрочастицей. Действительно, наблюдение - это процесс взаимодействия объекта с прибором, в результате которого на выходе прибора появляется какой-то определённый сигнал. Но всякое взаимодействие, а значит, и просто наблюдение, самим фактом своего существования принципиально меняет свойства наблюдаемого объекта. И важно, что это возмущение нельзя сделать пренебрежимо малым - важен сам факт возмущения.

При измерении какого-либо свойства частицы, и даже просто при её наблюдении, исходное состояние частицы, как правило, разрушается. Можно сказать, что какое-либо определённое квантовое состояние частицы - невероятно «хрупкая» вещь. Это важное свойство используется в квантовой телепортации и квантовой криптографии. Следующим важным свойством микрочастицы является тот факт, что она не всегда может находиться в произвольном состоянии.

В частности, если она удерживается какими-либо силами в более-менее локализованном состоянии (то есть «не убегает на бесконечность»), то состояния частицы оказываются квантованными: т.е. частица может обладать только определённым дискретным набором энергий в поле связывающих сил. Это кардинально отличается от классической механики: в ней частица может обладать непрерывным набором энергий.

С практической точки зрения, самым важным следствием этого является линейчатый (а не непрерывный) спектр излучения и поглощения атомов. Грубо говоря, это объясняется тем, что «длина волны» пси-функции становится сопоставимой с размерами её конфигурации (то есть насчитывается малое число пиков стоячей волны). В своё время наиболее существенная особенность квантовой теории состояла в ее новой, неизвестной в классической физике формулировке, которая понадобилась для того, чтобы ввести в теоретический язык квантование.

Атом может находиться лишь на дискретных энергетических уровнях, соответствующих различным орбитам электронов. Это, в частности, означает, что энергия (или гамильтониан) не может быть функцией только координат и импульса, как в классической механике (в противном случае, придавая координатам и импульсам значения, близкие к исходным, мы могли бы непрерывно изменять энергию, в то время как эксперимент показывает, что существуют лишь дискретные энергетические уровни).

На следующем этапе развития квантовой механики от традиционного представления о гамильтониане как о функции координат и импульса, пришлось отказаться и заменить его чем-то новым. Основная идея квантовой механики состоит в том, что гамильтониан так же, как и другие величины классической механики, например, координаты или импульсы, надлежит рассматривать как т.н. операторы. Переход от чисел к операторам - одна из наиболее дерзких идей в современной науке. Не вдаваясь в сущность значений операторов, отметим, что на сегодняшний день основная идея квантовой механики сводится к следующему: всем физическим величинам классической механики в квантовой механике соответствуют «свои» операторы, а численным значениям, принимаемым данной физической величиной - собственные значения ее квантово-механического оператора.

Важную особенность квантовой механики: различие, проводимое в ней между понятием физической величины (представимой оператором) и принимаемыми этой величиной численными значениями (представимыми собственными значениями оператора). В частности, энергии в квантовой механике соответствует оператор гамильтониан, а энергетическим уровням (наблюдаемым значениям энергии) - собственные значения спектра гамильтониана. На сегодняшний день теория, способная описать экспериментально наблюдаемое поведение микроскопических частиц в квантовой механике формируется с помощью математического аппарата квантовой механики. Основа математического аппарата квантовой механики была заложена Гейзенбергом и Шредингером в 1925 г.

Наблюдаемым физическим величинам, соответствуют определенные самосопряженные операторы в этом пространстве, а результатам измерения соответствующей физической величины отвечают средние значения этих операторов по заданному вектору состояний. Эволюция квантовой системы со временем также определяется с помощью оператора эволюции, который, в свою очередь, выражается через гамильтониан системы. В некоторых ситуациях, структура этого пространства и действующих в нём операторов выглядит существенно проще не в абстрактном виде, а в координатном представления, в котором вместо вектора состояния используется его разложение по базису координатного представления, т.е. волновая функция.

Уравнение эволюции во времени в этом случае имеет вид дифференциального уравнения в частных производных и является уравнением Шредингера. Введение операторов распахнуло перед физиками ворота в неожиданно богатый и разнообразный микроскопический мир, в котором творческое воображение и экспериментальное наблюдение достаточно успешно сочетаются друг с другом. Ныне, через более чем пятьдесят лет после введения операторов в квантовую механику, их значение по-прежнему остается предметом горячих дискуссий. Исторически введение операторов связано с существованием энергетических уровней, но теперь операторы применяются даже в классической физике. Их значение намного превзошло ожидания основателей квантовой механики. Микроскопический мир подчиняется законам, имеющим качественно новую структуру. В этой связи, важным свойством квантовой механики является принцип соответствия: в рамках квантовой механики доказывается, что в пределе больших энергий (квазиклассический предел) и в случае, когда квантовая система взаимодействует с внешним миром (декогеренция), уравнения квантовой механики редуцируются в уравнения классической физики. Таким образом, квантовая механика не противоречит классической физике, а лишь дополняет её на микроскопических масштабах Грушевицкая Т.Г. Концепции современного естествознания. - М: Высш. Школа, 2010. С. 89..

Итак, в настоящее время математическая модель квантовой механики представляет собой теорию гильбертовых пространств и действующих в них операторов. Состояние изолированной квантовой системы - это вектор в гильбертовом пространстве, причем постулируется, что задание вектора состояния - это суть задание полной информации о квантовой системе

3. Волновая функция

Особенности описания движения частиц в квантовой механике. Согласно гипотезе де Бройля, движущаяся частица обладает волновыми свойствами, и этими свойствами нельзя пренебречь, если длина волны де Бройля частицы  сравнима или больше характерного размера  области движения частицы. Как показывают оценки, условие  выполняется для частиц малых масс, движущихся в областях, размеры которых сравнимы с размерами атомов. Такие частицы в дальнейшем будем называть микрочастицами.

Для описания движения микрочастицы, обладающей волновыми свойствами, не может быть использован способ, разработанный в классической механике, когда состояние частицы определяется заданием в любой момент времени ее пространственных координат и скорости (импульса). При этом движение частицы связано с изменением со временем ее механического состояния, а непрерывная смена состояний соответствует движению частицы по определенной траектории.

Наличие у микрочастицы волновых свойств, как это следует из соотношений неопределенностей Гейзенберга (2.16), делает невозможным одновременное точное определение координат и импульса микрочастицы. Следовательно, механическое состояние микрочастицы не может быть задано классическим способом, а представление о траектории движения микрочастицы принципиально не может быть использовано для описания ее движения.

Такой отказ от традиционного классического способа описания движения частицы может даже вызвать внутренний протест. Как это частица может двигаться в пространстве, не имея при этом траектории движения? Вероятно, мы просто не можем измерить ряд параметров, знание которых позволило бы описать траекторию, по которой все таки движется частица. Еще раз подчеркнем, что это не так. История развития физики показала, что только отказавшись от классического способа описания движения частицы, только отказавшись от представления о траектории движения, можно правильно и полно описать движение микрочастицы, обладающей волновыми свойствами, и предсказать результаты экспериментов с такими частицами.

Физическая теория, в которой описывается движение частиц, обладающих волновыми свойствами, первоначально получила название волновой механики. Однако, это название вскоре было заменено другим названием - квантовая механика - так как оказалось, что волновая механика предсказывает дискретный характер, то есть квантование различных физических величин у движущихся микрочастиц. Именно название квантовая механика закрепилось за этой теорией.

Квантовая механика является более общей физической теорией, чем классическая механика. Однако, при выполнении условия , когда волновыми свойствами частицы можно пренебречь, выводы квантовой механики должны совпадать с результатами классической механики. Этого требует принцип соответствия, утверждающий, что любая более общая физическая теория не должна исключать предыдущую, а должна включать ее как предельный частный случай.

Поэтому при описании движения ракеты в космическом пространстве, подводной лодки в глубинах океана и даже при описании движения электрона в электронно-лучевой трубке физика всегда с успехом будет использовать классический способ описания механического движения тел. Только при существенном уменьшении пространственных масштабов движений микрочастиц, с которыми имеет дело атомная и ядерная физика, а также физика элементарных частиц, квантовая механика становится единственно возможным аппаратом описания явлений микромира. Отметим однако, что хотя квантовые эффекты проявляются на уровне атомных систем, эти эффекты определяют особенности работы многих современных установок и приборов и лежат в основе передовых технологий.

Переходя к описанию движения частиц в квантовой механике, сформулируем ряд ее постулатов, лежащих в основе теории.

Первый постулат квантовой механики: Состояние частицы в квантовой механике описывается заданием волновой функции , являющейся функцией пространственных координат и времени.

Аппарат, разработанный в квантовой механике, позволяет, проводя некоторые операции над волновой функцией , получать полную информацию о движении микрочастицы.

Вероятностный смысл волновой функции. Невозможность задания состояния микрочастицы указанием в любой момент времени ее координат и скорости и отказ от траекторного способа описания движения приводит к вероятностному способу описания движения микрочастицы. Это означает, что в квантовой механике, определяя состояние частицы, следует указать способ определения вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства в данный момент времени.

В 1926 г. М.Борн так сформулировал вероятностный смысл волновой функции в квантовой механике:

Квадрат модуля волновой функции  определяет плотность вероятности  того, что в момент времени  частица может быть обнаружена в точке пространства  с координатами ,  и .

Следовательно

Отметим, что волновая функция в общем случае является комплекснозначной функцией, то есть содержит действительную и мнимую части. Физический смысл, поэтому, имеет не сама волновая функция, а ее квадрат модуля  - действительная величина, которую во многих случаях удобно находить, умножая волновую функцию  на комплексно сопряженную ей функцию , так как из теории комплексных чисел следует, что

 .

Преобразуем формулу (3.1) к виду

Здесь  - вероятность того, что для заданного квантового для одномерного () движения частицы вдоль оси  элемент «объема» , для двумерного движения на плоскости () , а для трехмерного движения () . В задачах, обладающих пространственными симметриями, можно использовать также цилиндрическую  или сферическую  системы координат, определяя волновую функцию как функцию этих координат и времени.

Из формулы (3.2) следует, что в заданном квантовом состоянии частицы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать также вероятность  того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объема . Действительно, так как

то из (3.1) и (3.2) следует, что

Формулы (3.1) - (3.3) определяют вероятностный или статистический смысл волновой функции в квантовой механике. Свойства волновой функции. Если в качестве области пространства в (3.3) взять все пространство , для которого , то обнаружение частицы во всем пространстве является достоверным событием, вероятность которого равна единице. Следовательно, из вероятностного смысла волновой функции вытекает, что

Условие (3.4) называют условием нормировки волновой функции, а волновую функцию, удовлетворяющую этому условию, называют нормированной волновой функцией.

Следует заметить, что в некоторых задачах квантовой механики условие нормировки в виде (3.4) может не выполняться. В таких задачах частица движется из бесконечности и уходит в бесконечность. Поэтому квадрат модуля волновой функции в таких задачах не стремится к нулю на бесконечности, и интеграл в условии (3.4) становится расходящимся. Примером такой волновой функции служит плоская волна де Бройля , которая является волновой функцией, описывающей квантовое состояние свободно движущейся частицы. При использовании ненормированных волновых функций важно не абсолютное значение квадрата модуля волновой функции, а отношение ее квадратов модулей в двух точках пространства. Это отношение определяет отношение вероятностей обнаружения частицы вблизи этих точек пространства. Следует отметить, что в задачах с ненормированными волновыми функциями некоторый аналог условия нормировки может быть получен с использованием плотности потока вероятности Гнатюк В.И. Концепции современного естествознания. - М., 2010. С. 80..

Столь необычный ответ квантовой механики казалось бы на простой вопрос, не является чисто теоретическим абстрактным результатом. В связи с этим отметим, например, что в современных информационных технологиях, разрабатывающих квантовые компьютеры, возможно использование логического элемента не только с двумя состояниями «0» и «1», но и элементов, которые могут находиться в состояниях суперпозиции нуля и единицы с некоторыми вероятностями. Такие элементы существенно изменяют принцип работы компьютера и позволяют создавать алгоритмы, значительно повышающие быстродействие и эффективность переработки информации.

Заключение