Определение напряжений в стержне с учетом собственного веса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Казанский государственный технологический университет»

Кафедра ТМ и СМ

Доклад

по дисциплине «Сопротивление материалов»

на тему: «Определение напряжений в стержне с учётом собственного веса»

Руководитель: доцент С.Г. Сидорин

Исполнитель: студент группы 41-91-42 Хисмиев Р.Р.

Казань 2010

В машиностроении, как правило, влияние собственного веса не учитывается, так как машиностроительные детали имеют сравнительно небольшие размеры, при которых влияние собственного веса невелико. Однако в ряде инженерных конструкций собственный вес - это одна из основных нагрузок. В случае расчёта канатов шахтных подъёмников, штанг бурильных устройств, устоев мостов, стен зданий, плотин влияние собственного веса учитывать необходимо.

Предположим, что прямой стержень постоянного поперечного сечения A большой длины закреплён верхним концом и нагружен на свободном конце силой F (рис. 1а). Определим закон изменения продольных усилий и напряжений в поперечных сечениях стержня, а также перемещения сечений по длине стержня, учитывая влияние собственного веса.

Рисунок 1 - Учёт собственного веса

В сечении стержня, находящемся на расстоянии от свободного конца, продольная сила

(1)

где - вес единицы объёма материала.

Наибольшее значение продольная сила имеет в верхнем закреплённом сечении, где

(2)

Эпюра продольных усилий изображена на рис. 1б.

Нормальное напряжение в сечении стержня на расстоянии от свободного конца получим, разделив усилие на площадь сечения:

. (3)

Наибольшего значения нормальное напряжение достигает в верхнем закреплённом сечении, которое в этом случае будет опасным:

(4)

В этой формуле первое слагаемое представляет собой напряжение от силы F, второе - от собственного веса. Эпюра нормальных напряжений приведена на рис. 1в.

Условие прочности для опасного сечения запишется следующим образом:

(5)

Из (5) получим формулу для подбора площади поперечного сечения стержня при расчёте на прочность с учётом влияния собственного веса:

 (6)

Если нагрузки на конце стержня нет, т. е. F = 0, то напряжение в опасном сечении, вызванное только собственным весом, согласно выражению (5),

(7)

Условие прочности принимает вид

(8)

Отсюда можно определить длину стержня, при которой напряжение только от собственного веса достигает допускаемого и стержень не может нести полезной нагрузки. Эту предельную допустимую длину найдем из условия (8), сохранив в нём знак равенства:

(9)

От собственного веса может произойти разрыв стержня. Это будет в случае, когда в (7) достигнет величины предела прочности. Длина стержня, при которой он разрывается от собственного веса, называется критической. Её получим из (9), заменив допускаемое напряжение пределом прочности материала:

(10)

Предельная и критическая длины не зависят от площади поперечного сечения стержня. Определим, например, критическую длину для стали марки Ст 2, у которой Вес единицы объёма стали

Подставляя в (10) числовые значения, получим

В рассматриваемом стержне (рис. 1.а) определим перемещение сечения, находящегося на расстоянии z от свободного конца. Перемещение равно удлинению части стержня, расположенной выше этого сечения.

В сечении стержня, находящемся на расстоянии z от свободного конца (рис. 1.а), . При F = const находим

(11)

Удлинение (или равное ему перемещение нижнего конца стержня) получим из (11), полагая z = 0:

(12)

Первое слагаемое в этом выражении представляет собой удлинение стержня от силы F, второе - от собственного веса.

Учитывая, что полный вес стержня вместо (12) будем иметь

(13)

Т. о., абсолютное удлинение стержня от собственного веса будет таким же, как удлинение от сосредоточенной силы, равной весу стержня и приложенной в его центре тяжести. Эпюра перемещений сечений изображена на рис. 1г.

Вывод: вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе.

При расчёте длинных канатов подъёмников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчёт и собственный вес конструкции. В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня.

Если мы подберём сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нём дойдет до допускаемого лишь в опасном сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал.

Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны.

Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.

В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют приближённо, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остаётся постоянным (Рис. 2) - получается так называемый ступенчатый стержень.

Рисунок 2 - Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления

напряжение стержень собственный вес

ЛИТЕРАТУРА

1. http://distance.net.ua/Russia/Sopromat/lekcia/razdel5/urok4.htm.

Размещено на Allbest.ru