Теплопроводность тел с внутренними источниками теплоты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теплопроводность тел с внутренними источниками теплоты

На практике могут встретиться случаи, когда теплота возникает внутри объема тела за счет внутренних источников, например за счет прохождения электрического тока, химических реакций, ядерного распада и т. п. Поскольку объемное тепловыделение может быть не только равномерным, но и неравномерным, для таких процессов важным является понятие мощности внутренних источников теплоты. Эта величина, обозначаемая qх определяет собой количество теплоты, выделяемое единицей объема тела в единицу времени, она измеряется в Вт/м3. При поглощении теплоты внутри объема тела, например при эндотермической реакции, величина qх отрицательна; она характеризует интенсивность объемного стока теплоты.

При наличии внутренних источников (стоков) теплоты основной задачей является расчет температурного поля внутри тела.

Теплопроводность плоской стенки

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной 26, коэффициент теплопроводности л которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты qх . Выделившаяся теплота через боковые поверхности стенки передается в окружающую среду. Относительно площади стенки в среднем сечении процесс теплопроводности будет протекать симметрично, поэтому именно здесь целесообразно поместить начало координат, а ось х направить перпендикулярно боковым поверхностям (рис. 1-15). Из уравнения теплового баланса следует, что при наличии внутренних источников теплоты плотность теплового потока в плоской стенке линейно возрастает с увеличением х и равна:

Из этого уравнения видно, что при х = 0 , q= 0, а при х = д qд = дqх, т. е. достигает своего максимального значения. Согласно закону Фурье

Произведя разделение переменных, имеем:

Интегрируя это уравнение, получаем:

Рис. 1-15. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников теплоты.

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При и уравнение изменения температуры принимает вид:

При х = д t=tс в этом случае из уравнения (1-26) следует:

Здесь разность t0--tc означает перепад температуры между серединой и внешними поверхностями плоской стенки, а -- плотность теплового потока на этих граничных поверхностях (при x= д).

Если температура неизвестна, то значение постоянной С можно выразить через и уравнение температурной кривой в этом случае принимает вид:

Приведенные выводы показывают, что при наличии равномерно распределенных внутренних источников теплоты распределение температур в плоской стенке носит параболический характер. Наибольшее значение температура имеет в средней плоскости (х = 0).тПри больших перепадах температуры необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, л= л0(1 + bt). В этом случае уравнение (в) принимает следующий вид:

Интегрируя уравнение (д), получаем:

При Подставляя значение С в уравнение (е) и решая последнее относительно получаем следующее уравнение температурной кривой:

Теплопроводность круглого стержня

Рассмотрим бесконечно длинный стержень (цилиндр) с радиусом г0 (рис. 1-16), коэффициент теплопроводности л которого постоянен. Внутри этого стержня имеются равномерно распределенные источники теплоты. Выделившаяся теплота через внешнюю поверхность стержня передается в окружающую среду. Уравнение теплового баланса для любого цилиндрического элемента внутри стержня радиуса r и длиной l имеет вид:

Отсюда следует, что при наличии внутренних источников теплоты в стержне плотность теплового потока цг изменяется пропорционально радиусу:

Из этого уравнения видно, что при r = 0 qr=0, а при r = r0 ,т. е. достигает своего максимального значения. Согласно закону Фурье

Произведя разделение переменных, имеем:

Интегрируя уравнение (и), получаем:

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При , уравнение температурной кривой принимает вид:

При в этом случае и уравнение (к) принимает следующий вид:

Вычитая из уравнения (1-30) уравнение (1-31), получаем перепад температуры по радиусу стержня:

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры л= л0(1 + bt), то, подставляя это значение в уравнение (и), будем иметь:

Интегрируя это уравнение, получаем:

Значение постоянной интегрирования С определяется из граничных условий. При . Подставляя это значение в уравнение (м) и решая последнее относительно получаем следующее уравнение температурной кривой:

Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом r1 и внешним r2, коэффициент теплопроводности К которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты Выделившаяся в стенке теплота может отводиться в окружающую среду либо только через внешнюю, либо только через внутреннюю, либо одновременно через обе поверхности трубы.

а) Теплота отводится через внешнюю поверхность трубы. Выделим в толще стенки кольцевой слой с радиусами r1 и r, ограниченный изотермическими поверхностями (рис. 1-17). Согласно закону Фурье через поверхность радиуса r переносится тепловой поток, отнесенный к единице длины:

В рассматриваемом случае . Подставляя это значение в уравнение (н) и производя преобразование, получаем:

Интегрируя уравнение (о), имеем:

Подставляя значение С в уравнение (п), получаем уравнение температурной кривой

Полагая в этом уравнении r= r2, получаем перепад температуры в стенке:

или

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры л= л0 (1 + bt), то уравнение температурной кривой принимает следующий вид:

б) Теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы. Схема процесса показана на рис. 1-18. Вывод расчетных формул здесь совершенно такой же, как и в предыдущем случае. Поэтому и итоговые уравнения для поля температур и температурного перепада здесь ничем не будут отличаться от уравнений (1-34) -- (1-36), за исключением того, что в них везде индексы 1 и 2 меняются на противоположные (т. е. на 2 и 1). Эти уравнения в форме, удобной для практических расчетов, имеют вид:

уравнение температурной кривой перепад температур в стенке:

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры л= л0(1 + bt), то уравнение температурной кривой принимает следующий вид:

в) Теплота отводится через обе поверхности трубы. В первом случае (а) наивысшую температуру имеет внутренняя поверхность трубы, во втором (б) -- внешняя, а в третьем (в) такая поверхность находится где-то внутри стенки; для нее q = 0. Положим, что радиус этой поверхности равен r0, а температура t0 (рис. 1-19). Тогда, используя уравнения (1-35) и (1-38), будем иметь:

Рис. 1-19. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты с отводом теплоты через обе поверхности одновременно.

Вычитая левые и правые части этих уравнений, получаем:

Решая уравнение (т) относительно r0 имеем:

Подставляя найденное значение r0 в уравнения (р) и (с), определяем значение. Если t1= t2, то уравнение (1-40) упрощается и принимает следующий вид:

теплопроводность стенка плоский цилиндрический

Последнее означает, что в этом случае г0 от тепловых условий не зависит и определяется лишь размерами трубы (например, при r2 = 2 и r1 = 1 r0 = 1,46).

Размещено на Allbest.ru