Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Цель курсовой работы

Целью курсовой работы является овладение некоторыми современными методами анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях в переходном и установившемся режимах с применением вычислительной техники.

В курсовой работе использован следующий материал курса теоретических основ электротехники: методы расчёта сложных цепей, анализ цепей во временной области, операторный метод анализа цепей, частотный метод анализа цепей.

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 2.1б, содержание ветвей дано в таблицах в зависимости от используемого варианта курсового расчёта. Параметры ветвей даны в омах, генри, фарадах, всюду R_н = 1 кОм. В анализируемой на рис. 2.1, б j(t)=J=const, e(t)=Ed₁(t). Здесь d₁(t) - единичная ступенчатая функция (функция включения).

Вариант	В Е Т В Ь	Рисунок
	1	2	3	4	5	6
16	R=1103	R=5102	R=5102	C=510-8	C=1.2510-8	L=6.7510-3	2.1, б
Вариант	П А Р А М Е Т Р	Рисунок
	E, B	J, A	Um, B	Im, A	tu, c	T, c
16	4	1	-	0,2	510-5	2010-5	2.2, г

Требуется:

Составить уравнения состояния цепи для t ??0.

Найти точные решения уравнений состояния.

Найти решения уравнений состояния, используя по выбору студента один из численных методов. Вид решаемых уравнений:



Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

Решение:

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа:

ЗНК для контуров I, II, III соответственно и ЗТК для узлов A, B, C, D, E.

С помощью программы MathCAD 2001 Professional нашли переменные: (i₁, i₂, i₃, i₇, i₄, i₅, U_L6):

Таким образом, имеем:



(**)

Эта система в матричной форме записи имеет вид:

= AX + BV

где A - матрица коэффициентов при переменных состояния, X - вектор столбец переменных состояния, B - матрица коэффициентов источников тока и Э.Д.С., V - вектор - столбец параметров источников. Для нас это:

(***)

Найдем корни характеристического уравнения:

Сравним их с корнями p по операторному методу:



Как видно, корни сошлись.

Решение системы (***) может быть представлено в виде:

X(t) = exp(At) X(0) + exp(At) exp(-??) BVd???????????????????????????????????

Так как в нашей цепи действуют источник постоянного тока J и источник постоянной ЭДС E, то решение может быть представлено в более простом виде:

X(t) = exp(At) X(0)+ (exp(At) - 1)?^??BV = exp(At) [X(0)+1?^??BV] -1^?BV(I)

здесь exp(At) - матричная экспоненциальная функция, X(0) - вектор - столбец начальных значений переменных состояния, 1 - единичная матрица, ?^?????матрица, обратная матрице ???Анализ выражения (I) показывает, что оно реакция цепи (в данном случае - переменные состояния) представляет собой сумму реакций при нулевом входе (первое слагаемое) и при нулевом начальном состоянии (второе слагаемое). Термин «нулевой вход» означает, что в цепи отсутствуют источники энергии и переходной процесс происходит за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора и в магнитном поле катушки индуктивности (V=0), а «нулевое начальное состояние» означает отсутствию напряжения на конденсаторе и тока в индуктивности перед началом переходного процесса (X(0)=0). Начальные значения переменных состояния могут быть определены из анализа схемы до коммутации (включения E). Предполагается, что в схеме до коммутации существовал установившийся режим постоянного тока, что позволяет представить схему в виде:

Анализ схемы позволяет определить независимые начальные условия:

Найдем матричную экспоненциальную функцию по методу Сильвестра.

- см. (I)

Подстановка exp(At) и начальных условий в решение (I) позволяет получить точное (аналитическое) решение:

(P)

Графики зависимостей переменных состояния от времени, построенные в среде MathCAD 2001 Professional на основании (Р):



Решение системы уравнений (**) может быть получено с помощью какого-либо численного метода интегрирования дифференциальных уравнений. Решение системы (**) с использованием явного метода Эйлера будет иметь вид:

u_C4 [(n+1) h]= u_C4 (nh)+hu_C4' (nh)= u_C4 (nh)+h [-48000 u_C4(nh) + 40000 u_C5(nh) + 8•10⁶ i₆ - 8000 E + 8000 J]

u_C5 [(n+1) h]= u_C5 (nh)+ hu_C5' (nh)=u_C5 (nh)+h [1.6•10⁵ u_C4(nh) - 1.6•10⁶ u_C5(nh) - 8•10⁷ i₆]

i₆ [(n+1) h]= i₆ (nh)+ hi₆' (nh)= i₆ (nh)+h [-59, (259) u_C4(nh) + 148, (148) u_C5(nh) - 88888. (8) i₆ +88. (8) E + 59259. (259) J]

здесь h - шаг расчета. Оценим временной интервал t_расч на основе известных собственных значений матрицы A как t_расч = 3/?_min|. Здесь ?_min| - минимальное собственное значение, если собственные значения являются вещественными, отрицательными и различными, или вещественная часть комплексного собственного значения, если собственные значения являются комплексно сопряженными. Для нашего случая ??? _min| =13403. Тогда шаг расчета может быть найден исходя из выражения: h = ?t_расч/N. N - число шагов на которые разбит интервал ?t_расч. Положим N=1000, тогда:



2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

Анализу подлежит цепь, изображённая на рис. 2.1б, причем e(t)=0. Предначальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса тока, форма которого показана на рис. 2.2в, численные значения характеризующих его величин даны в табл. 2.5. Требуется:

Определить функцию передачи:

Символом p обозначена переменная Лапласа.

Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.

Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения или тока.

Определить изображение по Лапласу входного импульса.

Найти напряжение или ток на выходе цепи, используя H_U(p) или H_I(p) соответственно.

Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом - входной и выходной сигналы.

Решение:

Рис. 2.1б. Схема анализируемой электрической цепи

В задании анализу подлежит цепь рис. 1, в которой E = 0 (см. Рис. 2.1б). Предначальные условия в цепи нулевые, в момент t = 0 на вход цепи источником тока подан импульс тока с амплитудой 0.2 А и длительностью 50 мкс.

Передаточные (системные) функции цепи могут быть определены как отношение выходной величины к входной. В зависимости от того, какие величины входят в определение передаточной функции различают: передаточные функции по напряжению, по току, передаточные сопротивления и проводимости. Функция передачи по току может быть представлена в виде: H_I (p) = I_Н (p)/I₁(p), где I_Н (p) и I₁(p) операторные изображения выходного и входного сигналов, соответственно.

Для определения H_I (p) заменим схему исходной цепи (рис. 2.1б) ее операторной схемой замещения, в которой сопротивления емкости и индуктивности равны 1/Cp и Lp, соответственно, а сопротивления резисторов те же. Далее, из уравнений по законам Кирхгофа, составленных для операторной схемы замещения, выразим отношение I_Н (p)/I₁(p).

То есть

H_I(p)= (1000·p)·(3,375p²+675000 ·p +4·10¹⁰)/(8437,5p³+2,5050·10⁹·p²+2,7080·10¹⁴·p+3,2·10¹⁸) (*)

Полюсы функции передачи могут быть найдены из условия равенства нулю знаменателя отношения I_Н(p)/I₁(p), что позволяет получить следующие значения:

Нетрудно заметить, что полюсы передаточной функции p_1,2,3 совпадают с собственными значениями _?,2,3??матрицы A. Это может быть дополнительным способом проверки правильности нахождения передаточной функции цепи. Наиболее наглядным способом охарактеризовать передаточную функцию является графическое расположение ее полюсов и нулей на комплексной плоскости, называемое диаграммой полюсов-нулей. Тип используемых элементов, а также структура цепи ограничивают области комплексной плоскости в которых могут располагаться нули и полюсы. В линейной пассивной цепи с потерями (с резистивными элементами) полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Только при этом условии свободные составляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии потерь (резистивных элементов) все корни знаменателя будут чисто мнимыми. Нули передаточной функции, корни числителя, при учете потерь могут располагаться в любой части комплексной плоскости. Их положение не связано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений. Отсутствие нулей передаточной функции на мнимой оси физически означает, что при любой частоте гармонического напряжения на входе цепи на выходе будет какое-то напряжение. При отсутствии резистивных элементов все корни числителя передаточной функции (так же как и знаменателя) находятся на мнимой оси. Передаточные функции, полюса которых не лежат в правой полуплоскости комплексной плоскости, называются устойчивыми. Нули функции:



Рис. 2.3 Диаграмма полюсов-нулей передаточной функции

переменный частотный периодический цепь

Знание передаточной функции цепи H_I (p) позволяет определить переходную h₁(t) и импульсную h_?(t)?характеристики цепи. Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной ступенчатой функции (функции Хэвисайда 1 (t), функции включения) и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от H_I (p)/p:

h₁(t) = L^-1(H_I (p)/p)

Символ L^-1 обозначает: обратное преобразование Лапласа. Обратное преобразование Лапласа дает следующее выражение для переходной характеристики цепи:

h₁(t)=0.24842•exp (-141740 t)•cos(905776t) - 0.0167•exp (-141740 t) •sin (990576 t)+ 0.15158 • exp (-13404 t) (1)



Данное выражение легко может быть проверено на крайних точках временного интервала (при и ). Например, установившееся значение тока в нагрузке (из (1)) равно 0.4 А, и оно же может быть получено из расчета схемы, заменяя индуктивность закороченным участком цепи, а емкость - разрывом (по постоянному току). Переходная характеристика цепи представлена на рис. 4. Значения переходной характеристики в этих же точках могут быть определены на основании предельных соотношений операционного исчисления. В соответствии с этим, значение функции, например, в начальный момент времени (₊) может быть определено как предел произведения операторного изображения функции на операторную переменную при стремлении последней к бесконечности. Для переходной характеристики будем иметь:

Импульсная характеристика цепи h_?(t)?представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции ??t) и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции: h_?(t)? = L^-1(H_I (p)).

h_?(t)=0.4??t)-36724exp(-141740t) cos(90576t)-20134exp(-141740t) sin(905763t) - 2031.8exp(-13404t) (2)

Из приведенного выражения видно, что, как и в первом случае, переходной процесс носит затухающий колебательный характер с частотой, равной собственной частоте рассматриваемой цепи: 90576 рад/сек. Первое слагаемое в (2) определяется действием на входе цепи ????импульса тока и существует только для t=0. В дальнейшем переходной процесс протекает за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора и магнитном поле индуктивности в результате действия ????импульса тока. Подобного вида решения (с - функцией - Dirac(t)) возникают всякий раз, когда степени полиномов числителя и знаменателя передаточной функции оказываются равными. Коэффициент при ??t) соответствует части входного импульса поступающей в нагрузку.

Входной импульс в данной работе представляет собой знакопеременное прямоугольное напряжение. Для нахождения изображения можно воспользоваться как непосредственно прямым преобразованием Лапласа, так и таблицами изображений и оригиналов. Воспользуемся вторым вариантом. Для этого исходный сигнал можно представить в виде суммы двух косинусоид:

На рисунке видно, что сумма этих трех прямых действительно дает нужный сигнал, обнуляющийся при t > t_и.

Частота косинусоиды w₀ = 2?t_и = 20000??рад/с. Согласно теореме запаздывания, изображение F₁(p) функции, смещенной вправо (запаздывающей) на t_и относительно начала отсчета (t = 0), связано с изображением F(p) той же функции с началом в t = 0 следующим образом:

F₁(p) = F(p) exp(-pt_и)

В рассматриваемом примере F(p) - операторное изображение косинусоиды: F(p)= I_m•p/(p²+w₀²). В результате может быть получено следующее изображение для одиночного импульса тока:

(**)

Для нахождения тока на выходе цепи воспользуемся уже известными изображениями для передаточной функции (*) и входного сигнала (**). Это дает возможность записать изображение выходного сигнала I_н(p) в виде:

I_н(p) = H_I (p) I₁(p)

Далее, используя один из упомянутых выше методов (непосредственное применение обратного преобразования Лапласа, использование таблиц соответствия оригиналов и изображений, использование теоремы разложения) можно найти ток нагрузки: i_н(t)=L^-1(I_н(p))=L^-1 (H_I(p) I₁(p)). Оригинал i_н(t), найденный одним из упомянутых выше способов, имеет вид:

i_н(t) = 3.2•10^-2•cos (62831.9t) - 2.135•10^-2•sin (62831.9t) + 4.66•10^-2•exp(-141743t)• cos(90576t) + 2.42•10^-3•exp(-141743t) •sin (90576.5t) + 1.31•10^-3•exp(-13403t) + 1 (t - 0.00005) [- 3.2•10^-2•cos (62831.9t) + 2.13542•10^-2•sin (62831.9t) - 7.335• exp(-141743t) • cos (90576.5t) - 55.3981•exp(-141743t) •sin (90576.5t) + 2.579•10^-3exp(-13403t)]

Здесь, 1 (t - 0.00005) - единичная ступенчатая функция с координатой «'ступеньки'' t = 0.00005 c.



Рис. 5. Графики входного (im) и выходного (in) сигналов

3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

Условия задачи те же, что и в п. 2.2.

Требуется:

Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функции передачи H_I(jw).

Определить полосу пропускания цепи по уровню 0,707 |H(jw)|_макс.

Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Определить ширину спектра входного сигнала по уровню 0,1|F(jw)|_макс.

Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Сверить эти качественные оценки с сигналом на выходе, полученным в п. 2.2.5.

Найти и построить амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.

Решение:

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) является одной из самых важных характеристик любой цепи и позволяет исследовать искажения вносимые цепью в спектр входного сигнала. Наличие частотно - зависимых элементов (L и C) в исследуемой цепи приводит к неравномерному изменению составляющих спектра входного сигнала. Наиболее простой способ получения АЧХ цепи - это замена в выражении для H_I (p) операторной переменной p на мнимую частоту jw и нахождение модуля полученной комплексной функции частоты: |H_I (jw)|.

|H_I (jw)| = |(jw)·(-3375w²+6.75·10⁸jw +4·10¹³)/(-8437.5jw³-2.505·10⁹·w²+2.708·10¹⁴jw + 3,2·10¹⁸)| (*)

Построенная по данному выражению АЧХ цепи имеет вид представленный на рис. 2.1a. По построенной характеристике может быть определена полоса пропускания. Полосой пропускания цепи называют диапазон частот для которых коэффициент передачи не более чем в ?2 отличается от его максимального значения. Это же соответствует снижению уровня сигнала на 3 дБ. Для рассматриваемой цепи максимальное значение передаточной функции достигается на бесконечно большой частоте и составляет |H_I(jw)|_max = 0.4.



Границе полосы пропускания соответствует значение передаточной функции |H_I(jw)|_max/?2 = 0.707|H_I(jw)|_max = 0.282842. Это значение достигается на частоте w=140000 c^-1. Таким образом полоса пропускания равна w = [140000,?].

Амплитуднофазочастотная характеристика цепи (годограф) связывает воедино изменение коэффициента передачи по току - |H_I(jw)| и фазового сдвига между выходным и входным током (?????_I2????_???? во всем диапазоне частот. Годограф включает сведения которые содержатся как в АЧХ, так и в ФЧХ.

При

При

Годограф является параметрической кривой, параметром которой является частота w. Длина вектора, проведенного из начала координат к какой-либо точке годографа соответствует абсолютному значению передаточной функции на этой частоте |H_I(jw)|, а угол между ним и положительным направлением вещественной оси - аргументу передаточной функции arg(H_I(jw)). На рисунке 3.2 представлен годограф для рассматриваемой цепи. Нулевой частоте (постоянному току) соответствует начало координат, очень большой (в пределе бесконечной) частоте соответствует точка с координатой 0.4 на вещественной оси. На этих граничных частотах влияние реактивных элементов на фазовый сдвиг отсутствует.

Для нахождения спектральной характеристики входного сигнала I₁(jw) можно воспользоваться непосредственно прямым преобразованием Фурье. Второй путь решения этой задачи основан на аналогии между преобразованиями Лапласа и Фурье и состоит в замене в операторном изображении входного сигнала операторной переменной p на мнимую частоту jw. В итоге после простых преобразований получим:

Амплитудный спектр входного сигнала I₁(w) может быть найден как модуль спектральной характеристики сигнала:



На рисунке 3.3а представлена АЧХ входного сигнала. Максимальное значение спектральной характеристики достигается при w₀ = 87000 Гц и составляет I_1макс(w) = 5.45961246·10^-6 А·с. Определенная по уровню 0.1 · I_1макс(w) ширина спектра сигнала составляет w_с 6.48·10^-5 - 5553 = 642447 c^-1. Между шириной спектра сигнала и его длительностью существует следующее соотношение: w_с· t_и = const. Для данного вида сигнала получаем: 642447·0.00005 32.12235. Такой же порядок (несколько единиц) имеет место и для сигналов других форм. Уменьшение длительности импульса в 10 раз приводит к такому же (в 10 раз) увеличению ширины его спектра. Наличие широкого спектра у коротких импульсов дает возможность использования таких импульсов для исследования частотных свойств различных цепей. В математическом смысле спектр несинусоидального сигнала неограничен. Использование теоремы Рейли позволяет обоснованно ограничить спектр сигнала полосой частот, которой соответствует основная часть энергии сигнала. Рассматривая действие импульса тока (h₁(t)) на сопротивлении в 1 Ом, определим потребляемую сопротивлением энергию следующим образом:

Энергия, определенная на основании теоремы Рейли из спектра входного сигнала I₁(w) для найденной выше ширины спектра ?w ??642447 c^-1, равна:

Таким образом, ограничивая спектр сигнала определенной по уровню 0.1 · I_1макс(w) шириной спектра w 642447 c^-1, мы учитываем ??W_?w/W_t) · 100% 96.086? от полной энергии W_t. Эта информация может быть полезной, например, для выбора полосы пропускания фильтра.

Амплитудночастотная характеристика выходного сигнала может быть получена перемножением амплитудночастотных характеристик входного сигнала и цепи (выражения):

I_н(w)=I₁(w) |H_I(jw)|



АЧХ выходного сигнала приведена на рисунке 3.4a. Также приведен увеличенный график сигнала на малых частотах, где видно искажение сигнала. Сравнение ее с соответствующей характеристикой входного сигнала позволяет предположить значительное искажение формы выходного сигнала. Искажения связаны с различием величины передаточной функции для различных составляющих спектра входного сигнала. Для резистивной цепи выходной сигнал был бы подобен входному и имел бы ту же длительность. В данном случае цепи содержащей частотнозависимые элементы значительные изменения будут иметь место и для фазового спектра входного сигнала. Это приведет к нарушению фазовых соотношений между составляющими сигнала и станет другой причиной искажения формы выходного сигнала. В литературе по импульсной технике анализ преобразования импульсного сигнала основывается на представлении о том, что искажение фронта выходного импульса по сравнению с формой входного импульса зависит от свойств цепи на высоких частотах (теоретически на бесконечно высоких частотах). Искажение формы вершины импульса определяется свойствами цепи на низких частотах. Используя подобный подход, например, для анализа искажений фронта входного импульса закорачивают конденсаторы находящиеся на пути следования сигнала в нагрузку и заменяют разрывом индуктивные элементы, включенные параллельно резистивным элементам схемы.



4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

Условия задачи те же, что и в п. 2.2.

Требуется:

Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить её амплитудный и фазовый спектры.

Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и её аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п. 2.3.3.

Используя рассчитанные в п. 2.3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

Построить напряжение или ток на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье. Графики по пп. 2.4.2 и 2.4.4 построить на одном масштабе времени и разместить их на одном листе один под другим.

Решение:

Данные задачи: I_m = 0.2 А, t_и = 510^-5 c, T = 2010^-5 c.

Разложение периодической последовательности импульсов может быть осуществлено с учетом очевидной связи комплексной амплитуды гармоники ряда Фурье и спектральной плотности одиночного импульса той же формы I₁(jw):

здесь w₁ - частота сигнала, равная частоте первой (основной) гармоники w₁ = 2/T = 2/4t_и = 10000? рад/сек. Выражение, полученное в итоге для комплексной амплитуды k - той гармоники, имеет вид:

Величины I_1m(jk) могут быть найдены непосредственно по известному выражению ряда Фурье в комплексной форме. Преимущество использования комплексной формы ряда Фурье состоит в том, что она позволяет непосредственно найти амплитуды и начальные фазы гармоник по известной I_1m(jk). Точность представления сигнала гармоническим рядом зависит от количества гармоник, удерживаемых в разложении сигнала. Определим число гармоник по известной ширине спектра входного сигнала: k_max = w/w₁ [642447/1000 +1= 20.4497+1=8.



Итак, для первых восьми гармоник входного сигнала определим амплитуды и начальные фазы. Амплитуды гармоник A_k могут быть определены из выражения:

Начальные фазы ?_k: ?_k = arg(I1_m (jk))

Таблица 1. Амплитуды и начальные фазы гармоник входного сигнала

k, номер гармоники	Амплитуда k - той гармоники I1m (k), A	Начальная фаза k - той гармоники ?k, рад
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21	0 0,030010541 0 0,054018982 0,042441319 0,021436103 0 0,014004921 0,016976527 0,010523178 0 0,008464512 0,010913482 0,007093401 0 0,006110744 0,008084061 0,005370308 0 0,004791599 0,006430503 0,004326463	0 0,785398163 0 -0,785398163 -1,570796327 -2,35619449 0 -0,785398163 -1,570796327 -2,35619449 0 -0,785398163 -1,570796327 -2,35619449 0 -0,785398163 -1,570796327 -2,35619449 0 -0,785398163 -1,570796327 -2,35619449

На рисунке 4.1а представлен амплитудный спектр входного сигнала. Огибающая дискретного спектра периодического сигнала совпадает с амплитудно-частотной характеристикой одиночного импульса. Увеличение периода следования импульсов ведет к уменьшению расстояния между соседними гармониками амплитудного спектра. При увеличении периода до бесконечности дискретный амплитудный спектр периодической последовательности переходит в непрерывный спектр одиночного импульса.

Выражение для отрезка ряда Фурье, аппроксимирующего входной сигнал, содержит восемь гармоник и может быть представлено в виде:

График выходного сигнала и аппроксимации его отрезком Фурье показан ниже (над выходным, рис 4.2).

Для определения вида выходного сигнала воспользуемся определенной выше передаточной функцией. Тогда значения амплитуд I_нm (k) и начальных фаз _kн гармоник выходного сигнала могут быть получены следующим образом:

I_нm (jk) = H_I(jw₁k) · I_1m (jk), |I_нm (k)| = |H_I(jw₁k)| · |I_1m (k)|, _kн = _H(w₁k)+?_k

Здесь |H_I(jw₁k)| - величина передаточной функции на частоте k - той гармоники: w_k = w₁k, представляет собой отношение амплитуд (и действующих значений) гармоник выходного и входного сигналов для данной частоты. Аргумент передаточной функции ?_H(w₁k) равен сдвигу фаз между соответствующими гармониками выходного и входного сигналов. Расчет величин амплитуд I_нm (k) и начальных фаз ?_kн может быть также произведен с помощью любого из методов расчета линейных электрических цепей (метод непосредственного использования законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и т.д.). Расчет проводится на основе комплексного метода для каждой из гармоник входного сигнала в отдельности, используя рассчитанные ранее амплитуды I_1m (k) и начальные фазы ?_k. Результаты расчета для первых восьми гармоник представлены в таблице 2. Затем суммирование мгновенных значений отдельных гармоник сигнала на сопротивлении нагрузки R_н позволяет получить результирующий выходной сигнал i_н(t). Оправданность такого подхода связана с применимостью принципа суперпозиции (метода наложения) к линейным электрическим цепям.

Таблица 2. Расчетные значения передаточной функции и гармоник выходного сигнала

k, номер гармоники	|HI(jw1k)|, отн. ед.	?H(w1k), рад	Iнm (k), A	?kн, рад
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21	0 0,160761938 0,192515212 0,228822007 0,268015462 0,30270765 0,329412985 0,348480432 0,361711842 0,370888027 0,37734031 0,381969377 0,385364322 0,387908853 0,38985536 0,391372571 0,392575424 0,39354375 0,394334058 0,394987086 0,395532701 0,395993153	0 0,612340424 0,587920423 0,613375678 0,599300139 0,553757039 0,497207496 0,442273922 0,393821134 0,352684338 0,318169042 0,289197767 0,264735583 0,243911068 0,226025848 0,210530258 0,196993365 0,185076297 0,174510864 0,165083102 0,156620824 0,148984246	0 0,004824553 0 0,012360732 0,01137493 0,006488872 0 0,004880441 0,006140611 0,003902921 0 0,003233185 0,004205667 0,002751593 0 0,002391578 0,003173604 0,002113451 0 0,00189262 0,002543474 0,00171325	0 1,397738588 0,587920423 -0,172022486 -0,971496188 -1,802437451 0,497207496 -0,343124242 -1,176975193 -2,003510152 0,318169042 -0,496200397 -1,306060744 -2,112283422 0,226025848 -0,574867905 -1,373802962 -2,171118193 0,174510864 -0,620315062 -1,414175503 -2,207210244

Окончательное выражение для мгновенного значения выходного сигнала - тока в сопротивлении нагрузки R_н - имеет вид:

На рисунке 4.3 приведен график i_н(t). Выходной сигнал, определяемый действием периодической последовательности импульсов, имеет такой же вид что и сигнал рассчитанный в п. 2. Удержание в разложении большего количества гармоник позволяет получить все более полное соответствие между выходными сигналами цепи при воздействии на входе одиночного импульса и последовательности импульсов тока

Литература

1. Теоретические основы электротехники / Под ред. П.А. Ионкина. Ч. I, II. - М.: Высшая школа, 1975.

2. Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. Ч. I, II. - М.: Энергия, 1981.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высш. шк., 1996.

4. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. - М.: ВШ, 1987. -512 с.

5. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986.

6. Евдокимов ФЕ. Теоретические основы электротехники. - М.: ВШ, 1971

Размещено на Allbest.ru