Применение основных теорем динамики механической системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Тульский государственный университет

Кафедра теоретической механики

Курсовая работа

по разделу “Динамика”

Вариант 11

Выполнил: студент группы 121221 Котов А.В.

Научный руководитель: Орлов А.A.

Тула, 2003

Оглавление

Аннотация

Исходные данные

1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы

1.2 Определение закона движения системы

1.3 Определение реакций внешних и внутренних связей

2. Построение алгоритма вычислений

2.1 Исходные данные

2.2 Вычисление констант

2.3 Задание начального времени

2.4 Вычисление значений функций в момент времени

2.5 Вычисление реакций связи

2.6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени 

2.7 Определение значения времени на следующем шаге

2.8 Проверка условия окончания цикла

2.9 Возврат к пункту 2.4

3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода

3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

3.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа второго рода

Список литературы

Аннотация

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости . На первое тело системы действует сила сопротивления и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определен закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведен численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

Исходные данные

1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы

Расчетная схема представлена на рис.1, здесь обозначено:

- силы тяжести, возмущающая сила,

- нормальные реакции опорных плоскостей,упругая реакция пружины,

- реакция подшипника блока 2, -сила вязкого сопротивления,

- сила сцепления.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Будем определять ее положение с помощью координаты . Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

(1.1)

где - кинетическая энергия системы;

- сумма мощностей внешних сил;

- сумма мощностей внутренних сил.

Найдем кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:



Груз 1 совершает поступательное движение, его кинетическая энергия:

Блок 2 совершает вращательное движение, его кинетическая энергия:

где - момент инерции относительно центральной оси блока;

- угловая скорость блока.

Каток 3 совершает плоскопараллельное движение, его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига: ,

где - скорость центра масс катка ;

- момент инерции относительно центральной оси катка;

- угловая скорость катка.

Кинетическая энергия всего механизма равна:

(1.2)

Выразим и через скорость груза 1:



(1.3)

Подставляя кинематические соотношения (1.3) в выражение (1.2), получаем:

или , (1.4)

где -приведенная масса:

Найдем производную от кинетической энергии по времени:

Вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному произведению вектору силы на скорость точки ее приложения:



Рассматриваемая нами механическая система является неизменной, т.е. тела входящие в систему не деформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю: .

Будут равняться нулю мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю: и Сумма мощностей остальных внешних сил: .

С учетом кинематических соотношений (1.3) сумму мощностей внешних сил определим:

или , где - приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме статического и динамического удлинений:

Сила вязкого сопротивления , тогда:

(1.5)

В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.5) и получаем условие равновесия системы:



Отсюда статическое удлинение пружины равно:

(1.6)

Подставляя выражение (1.6) в (1.5), получаем окончательное выражение для приведенной силы: (1.7)

Подставив выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.7) в уравнение (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:

или , (1.8)

где ;

Начальные условия движения при и

1.2 Определение закона движения системы

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.8). Общее решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного : Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:

Сравним характеристическое уравнение и найдем его корни:

Отсюда получаем:

Так как < решение однородного уравнения имеет вид:

где ;

Частное решение дифференциального уравнения (1.8) ищем в виде правой части:

(2.1)

Подставляя (2.1) в (1.8), после несложных преобразований получаем:



Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:

Решая эту систему, получаем следующие выражения:

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения в виде:

Постоянные интегрирования и определяются из начальных условий, при имеем:

Решая эту систему, получаем:

;

Закон движения системы имеет вид:

()

()

()

1.3 Определение реакций внешних и внутренних связей

Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.2). Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения.

Тело 1:

проекции на ось S:

проекции на ось :

Тело 2:

проекции на ось :

проекции на ось :

;

Тело 3:

проекции на ось :

проекции на ось :

:

С учетом кинематических соотношений (1.3) полученную систему уравнений преобразуем к виду:

Решая эту систему, получаем выражения для определения реакций связей:

2. Построение алгоритма вычислений

2.1 Исходные данные

2.2 Вычисление констант

2.3 Задание начального времени

2.4 Вычисление значений функций в момент времени

2.5 Вычисление реакций связи

2.6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени 

2.7 Определение значения времени на следующем шаге

2.8 Проверка условия окончания цикла

2.9 Возврат к пункту 2.4

Часть 3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода

3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа:, (3.1)

где - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

- это сумма элементарных работ сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.3). Идеальные связи и не учитываем и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и, суммируя их, получаем:

 (3.2)

Найдем возможную работу сил инерции:

Напишем выражения для главных векторов и главных моментов сил инерции:

Используя кинематические соотношения (1.3), можно записать:

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:



или (3.3)

где

Подставляя выражения (3.2) и (3.3) в общее уравнение динамики (3.1), получаем:

Поделив это уравнение на , получим дифференциальное уравнение колебаний системы:

где ;

;

Начальные условия движения при и

3.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа второго рода

Для механической системы с одной степенью свободы уравнение Лагранжа второго рода имеет вид: (3.4)

где - кинетическая энергия системы;

- обобщенная сила;

- обобщенная координата;

- обобщенная скорость.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.4):

,

где

Производные от кинетической энергии:

; (3.5)

Для определения обобщенной силы сообщим системе возможное перемещение и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил (3.2):



С другой стороны для системы с одной степенью свободы:

Сравнивая два последних соотношения, получаем:

.

Подставляя производные (3.5) и обобщенную силу (3.6) в уравнение Лагранжа (3.4), получаем:

или ,

где

Начальные условия движения при и

Литература

динамика алгоритм даламбер лагранж

1. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа,1990-607с.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1988-482с.

3. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Т.2. - М.: Высшая школа, 1984-424с.

Размещено на Allbest.ru